含参三次函数高考题例析

2009-04-02 07:40:00 来源: 天津网-城市快报(天津)

三次函数作为一个重要函数，经常作为高考考查重点出现，同学们有必要熟练掌握三次函数的图象及相关性质，能够熟练、条理清晰地解决三次函数问题。我们经常会面对作为解答题出现的含参三次函数问题，下面就以最近几年高考试题为例，解决三次函数含参问题，并寻找其中求解规律。

我们知道导数是研究函数的重要工具，三次函数的导数是二次函数，正因如此，三次函数问题的解决往往关键转化为二次函数问题，如二次函数方程根的问题，二次不等式解集问题等常见题型。

首先，回顾一下三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象 题型1含参三次函数单调性问题 例1.（2008 全国 文 21）

已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R。

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，求a的取值范围。

解法分析：对于问题（Ⅰ）我们往往采用的解题思路是：求函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的导数为f（x）=3ax2+2bx+c，然后往往按以下步骤进行讨论分析：

（1）讨论导数二次项系数是否为零 （2）讨论导数判别式

（3）≤0则原函数为单调增（减）函数

（4）>0求导函数等于0时的根，并比较根的大小 （5）结合到导函数图象，得出三次函数单调性 下面我们按照这个思路解决一下： f（x）=x3+ax2+x+1则f（x）=3x2+2ax+1 （1）讨论导数二次项系数是否为零 （2）讨论判别式，=4a2-12

（3）≤0，则原函数为单调增（减）函数

即≤0时，-≤a≤，f（x）≥0恒成立，则f（x）为单调增函数，单调增区间为（-∞，+∞）

（4）>0 求导函数等于0时的根，并比较根的大小

>0时，a>或a<-时，f（x）=0存在零解，此时x1=，x2=，显然x2>x1

（5）结合到导函数图象，得出三次函数单调性，所以此时函数f（x）的单调递增区间为（-∞，）和，+∞），单调递减区间为（，）

对于问题（Ⅱ），设函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，求a的取值范围。往往转化为二次函数不等式问题，采用根的分布数形结合、主参分离求最值、求根公式三种方法解决。

f（x）在区间（-，-）内是减函数，则f（x）=3x2+2ax+1≤0对x∈（-，-）恒成立。（周六继续刊登）