第３０卷第１期 延安大学学报（自然科学版） ｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙａｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ Ｖ０１．３Ｏ Ｎｏ．１ Ｍａｔ．２０１１ ２０１１年３月 半 一预不变凸函数与多目标规划的最优性条件 张永战，张庆祥 （延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７１６０００） 摘 要：先对半Ｅ一预不变凸函数做了进一步研究，得到了它的几个性质及半Ｅ一严格预不变凸函 数的判定定理，进而给出了半Ｅ一预不变凸函数在多目标规划问题中的最优性条件，进一步丰富了 优化研究内容。 关键词：半Ｅ一预不变凸性；多目标规划；有效解 中图分类号：０２２１．６ 文件标识码：Ａ 文章编号：１００４－６０２Ｘ（２０１１）０１－００１０－０４ Ｅ（Ｙ）＋Ａｎ（Ｅ（ ），Ｅ（Ｙ））∈ 凸性及广义凸性是规划问题的一个重要研究内 容。目前凸函数已被沿着多种途径进行了推广。 定义３ 函数 ：Ｒ 一 被称为在集合ＭＣＲ 上 １９９９年Ｙｏｕｎｅｓｓ…通过定义Ｅ一凸集，将凸函数推 广到Ｅ一凸函数。而后Ｙａｎｇ＿２ 及Ｃｈｅｎ＿３ 指出了文 献［１］的一些错误结论并举出反例。Ｈａｎｓｏｎ＿４ 引入 不变凸函数，并证明了Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｅｒ条件的充分 的半Ｅ一凸函数，当且仅当存在映射Ｅ：Ｒ“×Ｒ 一 Ｒ ，对任意 ，Ｙ∈ＭＣＲ ，Ａ∈［０，１］，使得 是Ｅ一 凸集，且有 ＡＥ（ ）＋（１一Ａ）Ｅ（ｙ））≤Ａ厂（ ）＋（１一Ａ Ｙ）． 定义４称函数 Ｃ＿性，Ｗｅｉｒ等人 定义了预不变凸函数。１９９５年Ｍｏ－ ｈａｎ和Ｎｅｏｇｙ＿６ 证明了在条件Ｃ下，不变凸函数是预 一 是在 一不变凸集 Ｒ 上关于田的Ｅ一预不变凸函数，如果存在ｎ：Ｍ Ｅ（Ｙ）＋Ａｎ（Ｅ（ ），Ｅ（Ｙ）））≤ Ｅ（ｘ）） 不变凸函数，拟不变凸函数是预拟不变凸函数。张 庆祥 ７ ３１９９４年证明了广义不变凸多目标规划的最 优性条件。 半Ｅ一预不变凸函数是一类重要的广义凸函 数，它是半Ｅ一凸函数的推广。研究更多的半Ｅ一 × — ，对任意 ，Ｙ∈Ｍ，Ａ∈［０，１］，有 ＋（１一Ａ），（Ｅ（Ｙ））． 定义５称函数，： 一Ｒ是在Ｅ一不变凸集 ＣＲ 上关于 的半Ｅ一预不变凸函数，如果存在ｎ： Ｍ× 一 ，对任意 ，Ｙ∈Ｍ，Ａ∈［０，１］，有 Ｅ（ｙ）＋Ａ叼（Ｅ（ ），Ｅ（，，）））≤Ａｆ（ ）＋（１一Ａ）－厂（，，）． 在此定义中，显然有当ｎ（Ｅ（ ），Ｅ（Ｙ））＝Ｅ（ ） 一预不变凸函数的性质与多目标规划的最优性条件以 便于进一步认识半Ｅ一预不变凸函数，从而广泛应 用它来解决实际问题。 ｌ 预备知识 定义ｌ ＭＣ＿Ｒ 称为不变凸集，若存在ｎ：Ｍ× 一 “，Ｅ（Ｙ）时 为半Ｅ一凸函数，即半Ｅ一预不变凸函 定义６称函数厂： —Ｒ是在Ｅ一不变凸集 数是半Ｅ一凸函数的推广。 上关于 的半Ｅ一严格预不变凸函数，如果存在 ： 使得对任意 ，Ｙ∈Ｍ，Ａ Ｅ［０，１］有 Ｙ＋Ａｎ（ ，Ｙ）∈ Ｍ×Ｍ—Ｒ ，对任意 ，Ｙ∈Ｍ， ≠ ，Ａ Ｅ［０，１］，有 Ｅ（ｙ）＋Ａ叼（Ｅ（ｘ），Ｅ（ｙ）））＜Ａ厂（ ）＋（１一Ａ ｙ）． 条件Ｃ向量函数．，７满足条件Ｃ是指：对任意 定义２ ＭＣ＿Ｒ 称为关于卵的Ｅ一不变凸集， 如果对任意 ，Ｙ∈Ｍ，Ａ∈［０，１］，有 收稿日期：２０１１—０３—０１ 基金项目：陕西省教育厅专项科研基金资助课题（０６ＪＫ１５２） 作者简介：张永战（１９８５一），男，陕西定边人，延安大学在读硕士研究生。 第１期 半 一预不变凸函数与多目标规划的最优性条件 ｘ，ｙ∈Ｍ，Ａ∈［０，１］，Ｃｌ：ｒｌ（Ｙ，Ｙ＋Ａ＇７（ ，，，））＝一Ａｔ／ （ ，ｙ）；Ｃ２：ｒ／（ｘ，ｙ＋Ａ （戈，Ｙ））＝（１一Ａ）叼（ ，Ｙ）． ＋ ＝ ㈤ ）＋／３２７１（ ） ），） ㈣Ｅ） ｙ））））， 叼（Ｅ㈩，Ｅ 引理１ 向量函数 满足条件Ｃ，则有 （ｙ＋ Ａ叩（ ，，，），，，）＝Ａ叩（ ， ）． ｙ））一 证明过程见文献［９］的定理１。 条件Ｄ ＭＣ＿Ｒ 称为不变凸集，称函数，： ∈ 一 （Ｙ）＋／３ ．，７（Ｅ（ ），Ｅ（Ｙ）））， ＝Ｅ（），）＋（ 一ａ（ 一卢。））ｎ（Ｅ（ｘ），Ｅ（ｙ））， 即 满足条件Ｄ是指： ）。 对任意 ，ｙ∈Ｍ，有 ｙ＋ （ｚ，ｙ）） Ｅ（ｙ）＋ｏｔｒ／（Ｅ（ ），Ｅ（，，））＝Ｅ（ｙ）＋Ａ （Ｅ（ ），Ｅ（ｙ））． ２主要结果 ２．１半Ｅ一预不变凸函数性质 定理１ Ｍ是关于叼的Ｅ一不变凸集，Ｅ（ ）是 不变凸集， ：Ｍ× 一 且满足条件Ｃ，ｆ：Ｒ 一Ｒ是 在Ｅ一不变凸集Ｍ上关于相同ｒｌ的半Ｅ一预不变凸 函数，且 ）≤ Ｅ（ ）），若存在 ∈［０，１］，使得 对任意 ，ｙＥＥ（Ｍ）Ｃ＿Ｍ， ≠ｙ有 Ｅ（，，）＋Ｏｔｒｌ（Ｅ（ｘ），Ｅ（），）））＜ｑ ）＋（１一 ） Ｙ） （１） 则 ）是在 上关于 的半Ｅ一严格预不变凸函 数。 证明假设 ）不是在 上关于叼的半Ｅ一 严格预不变凸函数，则存在 ，），∈Ｍ， ≠ｙ，Ａ∈［０， １］有 （，，）＋Ａ （Ｅ（ ）， （，，）））１＞ｆ（ｙ）＋Ａ（厂（ ） －ｆ（ｙ））． （２） 选取 ，卢２满足０≤卢。＜卢２≤１，且Ａ＝ 。＋（１一 ） ， 由Ｅ（ ）是不变凸集，故令 Ｅ（ｘ）＝Ｅ（），）＋ 。ｒ／（Ｅ（ｘ），Ｅ（，，））， （ ）＝ （ ）＋ 叼（ （ ）， （ｙ））， 因为 ）是关于 的半Ｅ一预不变凸函数，故有 Ｅ（ ））≤ ｙ）＋卢 （ ）一，（Ｙ））； （３） （ｙ））≤ ，，）＋ （厂（ ）－ｆ（ｙ））． 由条件Ｃ，我们有 Ｅ（Ｙ）＋ａｔ／（Ｅ（ ），Ｅ（ｙ）） ＝ （，，）＋ ｒ／（ （ ）， （，，））＋唧（ （，，）＋ ７＂／（Ｅ （ ），Ｅ（ ）），Ｅ（），）＋卢２．，７（Ｅ（ ），Ｅ（ｙ）））， ＝Ｅ（ｙ）＋卢２叼（Ｅ（ ），Ｅ（Ｙ））＋ ７７（Ｅ（ｙ）＋ｐｌ叼（ （ ）， （，，））， （，，）＋ 。叼（ （戈），（ （，，）） ＋（卢 一卢 ）ｒ／（Ｅ（ｘ），Ｅ（ｙ）））， ＝Ｅ（），）＋ ２ｒ／（Ｅ（ ），Ｅ（ｙ））＋叩（Ｅ（Ｙ）＋／３１ （Ｅ （戈）， （，，））， （，，）＋卢 ｒ／（ （ ），Ｅ（ｙ）） 由（１）我们有 ，（ （ｙ）＋Ａ叼（Ｅ（ ），Ｅ（ ）））＝ Ｅ（ｙ）＋ｏｔｒ／（Ｅ（ ）， Ｅ（ｙ）））＜ｑ ）＋（１一 ）厂（ｙ）． （４） 由（３）和（４）及 ） （ ））有 Ｅ（ｙ）＋Ａ （Ｅ（ ），Ｅ（），）））＜ ）＋（１—０ｆ） ，，） ≤ｏｆ（Ｅ（ ））＋（１一 ）－厂（Ｅ（ｙ）） ≤ａ（厂（，，）＋ 。（ ）－ｆ（，，）））＋（１一 ）（ ｙ）＋ ）一 Ｙ））） ＝（０ ＋（１一 ） ）－厂（ ）＋（ （１一卢。）＋（１一 ）（１ 一 ） ），）， ＝Ａ厂（ ）＋（１一Ａ）．厂（），）． 这与（２）矛盾。 定理２设 （ｉ）Ｅ（Ｍ）Ｃ＿Ｍ是关于’７的不变凸集， 是关于 叼的Ｅ一不变凸集； （ｉｉ）ｒ／满足条件Ｃ 满足条件Ｄ； 则，关于相同的叼是Ｅ一预不变凸函数的充要条件 是： （ ）＝ Ｅ（Ｙ）＋ｏｔｒ／（Ｅ（ ），Ｅ（ｙ））） 在［Ｏ，１］上是凸函数。 证明必要性：若／是 上关于叼的半Ｅ一预 不变凸函数，则由定义得， 对任意 ，Ｙ∈Ｍ，Ａ∈［０，１］及 ，仅２仨［０，１］有 若口ｌ＝ａ２，则 （Ａｎ１＋（１一Ａ）８２）： （口２）≤Ａ （口１）＋（１一Ａ） （Ⅱ２）． 另外，假设口１—０ｆ２＞０，由口ｔ，口２∈［０，１］可知口２≠１， ０＜ ≤１， ｌ一口一 （Ａ口ｌ＋（１一Ａ）口２）：，（Ｅ（ｙ）＋（ａ２＋Ａ（ａ１一ａ２）） 叼（Ｅ（ ），Ｅ（ｙ））） ＝ Ｅ（ｙ）＋。 叼（Ｅ（ ），Ｅ（ｙ））＋ Ａ（口，一０ ）ｎ（Ｅ（ｘ），Ｅ（ｙ）））． （５） 由引理１，有 １２ Ａ（口 一口２）叼（Ｅ（ ），Ｅ（，，）） ＝Ａ叼（Ｅ（），）＋口２ｒ／（Ｅ（ ），Ｅ（Ｙ））＋（口ｌ一口２）ｒ／（Ｅ （ ），Ｅ（ｙ）），Ｅ（ｙ）＋口２７／＂（Ｅ（ｘ），Ｅ（），））） ｒｒａｉｎ ）＝（ｆｌ（ ） （ ）…． （ ）） ， ｛ｓ．ｔ．ｇ（ｘ）＝（ｇ。（ ），ｇ：（ ），…ｇ （ ）） ≤０， 【ｈ（ｘ）＝（ｈ （ ），ｈ （ ），…ｈ。（ ）） ＝０． ＝Ａ＇７（Ｅ（ｙ）＋０ｌ叼（Ｅ（ ），Ｅ（ｙ）），Ｅ（Ｙ）＋０２叼（Ｅ （ ），Ｅ（），）））． 由此及Ｅ（ ）的不变凸性和／的Ｅ一预不变凸性， （５）式可以写成如下形式 （Ａ口１＋（１一Ａ）口２） ： Ｅ（ｙ）＋口２叼（Ｅ（ｘ），Ｅ（ｙ））＋Ａ叼（Ｅ（ｙ）＋０ｌ ７７（Ｅ （ ），Ｅ（ｙ）），Ｅ（，，）＋口 （Ｅ（ ），Ｅ（，，）））） ≤Ａ厂（Ｅ（Ｙ）＋口， （Ｅ（ ），Ｅ（Ｙ）））＋（１一Ａ） Ｅ（Ｙ） ＋０ 叼（Ｅ（ ），Ｅ（Ｙ）））， ≤Ａ （口１）＋（１一Ａ） （８２）． 当口。一口 ＜０，利用条件Ｃ中的Ｃ，可证得 （Ａ口 ＋（１一Ａ）０２）≤Ａ （口。）＋（１一Ａ） （ａ ）． 故 （０）为区间［０，１］上的凸函数。 充分性：因 （０）为区间［０，１］上的凸函数，又 厂满足条件Ｄ，所以对任意 ，Ｙ∈Ｍ，Ａ∈［０，１］有 Ｅ（Ｙ）＋Ａ叼（Ｅ（ ），（Ｅ（Ｙ）））≤ （Ａ）＝ （Ａ・１＋ （１一Ａ）・０）， ≤Ａ （１）＋（１一Ａ） （０）≤ （Ｅ（ｙ）＋ｒ／（Ｅ（ ），Ｅ （），）））＋（１一Ａ） Ｅ（ｙ））， ≤Ａ厂（Ｅ（ ））＋（１一Ａ） Ｅ（Ｙ））． 注对于半预不变凸函数，上述充分性成立，必 要性不一定成立。 定理３设 是关于卵的Ｅ一不变凸集 关于 相同的 是半Ｅ一预不变凸函数， Ｈ＝｛口∈ＲＩｆ（ ）≤口，Ｖ ∈ ）， 则日为凸集。 证明 对任意的口１，８２∈日，存在 １， ２∈Ｍ，使 得口ｌ，口２∈Ｒ，且ｆ（ １）≤０ｌ，ｆ（ ２）≤０２。由 的 不变凸性，对ＶＡ∈［０，１］，有Ｅ（ｘ：）＋）ｔｒ／（Ｅ（ｘ，），Ｅ （ ））∈Ｍ。又 ）为 上的关于Ｖ的半Ｅ一预不 变凸函数，所以 Ｅ（ ２）＋Ａ，７（ ）Ｅ（ｘ ）））≤Ａ厂（ ，）＋（１一Ａ） ２）≤Ａ０１＋（１一Ａ）０２，且Ａ口１＋（１一Ａ）口２∈Ｒ． 从而 Ａ口１＋（１一Ａ）口２∈Ｈ（ （ ２）＋Ａ叼（ （ １），Ｅ （ ））））． 所以 为凸集。 ２．２半Ｅ一预不变凸多目标规划的最优性条件 考虑如下多目标规划 （ ） 其中 ＭＣ＿Ｒ ，Ｍ是关于卵的Ｅ一不变凸集， 一 ，ｇ：Ｍ—Ｒ ，九：Ｍ一 ． 且三者均为 上的关于相同卵的半Ｅ一预不变凸 函数。记 Ｍ＝｛ ∈Ｍ Ｒ“Ｉｇ （ ）≤Ｏ，ｈ （ ）＝０√＝１，２…．， Ｐ； ＝１，２，…，Ｉｎ，｝， ｌ（ｘ。）＝｛ Ｉｇ （ 。）＝０， 。∈ ）． 定理４ 设 （ ）， （ ）…．， （ ）是 。＝Ｅ （ 。）处关于叼的半Ｅ一预不变凸函数，则（ ）的局 部有效解也是全局有效解。 证明设 。＝Ｅ（ 。）是（ ）的局部有效解，则 存在一个邻域ＩＶ（ｘ。， ），不存在 ∈ＭＣｌＩＶ（ｘ。，占） 使得 ）≤，（ 。）． （６） 假设 。不是全局有效解，则存在 ∈ 使得 ） ≤乏 。），尽ｐ有 （ ）≤ （ 。），ｉ＝１，２，…，Ｐ． 因为 （ ），ｉ＝１，２…．，Ｐ是半Ｅ一预不变凸函数， 所以对任意Ａ∈［０，１］，有 Ｅ（ ）＋￣Ｌｒｌ（Ｅ（ｘ ）， （ ）））≤ 厂（ ）＋（１一Ａ ＾（Ｘ，０） 当Ａ＿＋ｏ 时 Ｅ（ｘ。）＋Ａ叼（Ｅ（ ’），Ｅ（ 。））∈ＭｎｌＶ（ｘ。，占）． 且ｐ／ Ｅ（ｘ。）＋Ａ （Ｅ（ ‘），Ｅ（ 。）））≤；厂（ 。），（７） 与（６）矛盾，证毕。 定理５ 设 是关于叼的开Ｅ一不变凸集。厂 （ ）是 上关于．，７的半Ｅ一预不变凸函数，且在 。 ：Ｊｚ（ｘ。）∈Ｍ处沿任何方向的方向导数非负，则 。 是（ ）的全局有效解。 证明 因为／（ ）在 。处是半Ｅ一预不变凸函 数，则对任意 ，ｙ∈Ｍ，Ａ∈［０，１］ Ｅ（ ）＋Ａ叩（Ｅ（ ），Ｅ（ ）））≤ ）＋（１一Ａ ）， Ｅ（ ）＋￣Ｌｒｌ（Ｅ（ｘ），Ｅ（ｘ。）））≤ ）＋ＡＯ ）＿厂（ｏ））， Ｅｆ（Ｅ（ ）＋ａｎ（Ｅ（ｘ），Ｊｚ（ｘ。））） 跏／Ａ ） 令人＿＇０ ，我们有 ＿ ａ卵（Ｅ（ ），Ｅ（ ））ＩＪ≤，（ 、。 ）一 。、 ）． 由已知条件有 卸（ ）Ｅ—（ｘ Ｅ，（ ））Ｉｌ ≥Ｏ，’ 因此有，（ ）－－ｆ（ｘ。）≥０，即 。是（ ）的全局有效解。 构造如下的单目标问题 第１期 半 一预不变凸函数与多目标规划的最优性条件 １３ （ｓＰ） ｍｉｎ∑Ａ （ ）＝Ａ ＾（ ）， Ｅ…１ Ｉ 同理 Ｈ－，Ｔ （ ）一 －，Ｔ （ 。）≥叼（Ｅ（ ），Ｅ（ ）） －，Ｔ （ ）．（９） ｒｈ（ｘ）一ｖｒｈ（ｘ。）≥ （Ｅ（ ），Ｅ（ｘ。）） Ｖｖ ｈ（ｘ。）．（１０） 其中Ａ＝（Ａ ，…，Ａ。） ∈Ａ ，Ａ ｖ＝｛（Ａ１，Ａ２，…，ＡＰ）∈ Ｉ Ａ ＝１，Ａ ＞ｏ，ｉ＝１，２，… ）． 将（８），（９），（１０）三式左右两边分别相加并由（口）得 ）一 ＾（ 。）＋Ｍ－，Ｔｇ，（ ）一 －，Ｔｇ，（ 。）＋ｖｒｈ（ｘ）一 ｖ引理２ 对每个给定的Ａ∈Ａ～，则相应于 （ ） 的最优解必是（ ）的有效解。 ｒｈ（ｘ０）≥０． 定理６设 是关于ｎ的开Ｅ一不变凸集 ： 一 ，ｇ： 一 ，ｈ： 一 ，若存在 。＝Ｅ（ｘ。）∈Ｍ满 另外由ｇｌ（ ）≤ｇ，（ 。）＝０，ｈ（ｘ）＝ｈ（ｘ。）＝Ｏ有 ）一 厂（ 。）≥一ｕ－，Ｔｇ，（ ）≥０． 即 。是（ ） 的最优解。 根据引理ｌ 。为（ＶＰ）的有效解。 参考文献： 足如下条件： （ｉ）ｆ，ｇ，，ｈ均为 。处关于田的可微半Ｅ一预不 变凸函数； （ｉｉ）存在Ａ∈Ａ～，ｕ∈Ｒｍ， Ｅ Ｒ 使得 （ａ） Ｖｆ（ｘ。）＋ｕｒＶｇ，（ 。）＋ｖ ＴＶｈ（ｘ。）：Ｏ； （ｂ）ｇ（ｘ。）≤Ｏ； （ｃ）＾（ 。）＝０． ［１］Ｙｏｕｎｅｓｓ Ｅ Ａ．Ｅ—ｃｏｎｖｅｘ ｓｅｔｓ，Ｅ—ｃｏｎｖｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｅ —ｃｏｎｖｅｘ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９９，１０２（２）：４３９—４５０． ［２］Ｙｕｎｇ Ｘ Ｍ．Ｏｎ Ｅ—ｃｏｎｖｅｘ ｓｅｔｓ，Ｅ—ｃｏｎｖｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｅ —则 。为（ＶＰ）的有效解。 证明因为，是Ｍ上关于 的半Ｅ一预不变凸 ｃｏｎｖｅｘ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｈｅｏｒＴｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００１，１０９（３）：６９９—７０３． 函数，所以对任意的 ∈Ｍ，有 Ｅ（ ）＋Ａｒｌ（Ｅ（ｘ），Ｅ（ ）））≤厂（ ）＋Ａ ｆ（ｘ） ＿厂（Ｅ（ ）＋Ａｒ／（Ｅ（ｘ）， （ ）））－ｆ（ 。）≤Ａ ） 由 。＝Ｅ（ 。）∈Ｍ得 Ｅ（ｘ。）＋Ａ （Ｅ（ ），Ｅ（ 。）））一厂（Ｅ（ 。））≤Ａ（， （ ）一 。））． ）－ｆ（ “）≥ ．［３］Ｃｈｅｎ Ｘ Ｓ．Ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｓｅｍｉ—Ｅ—ｃｏｎｖｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００２，２７５：２５１—２６２． ［４］Ｈａｎｓｏｎ Ｍ Ａ．Ｏｎ ｓｕｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｅｒ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ））， ））， ［Ｊ］．Ｍａｔｈｉｍａｔｉｃａｌ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，１９８１，８０：５４５—５５０． ［５］ｗ Ｔ．ａｎｄ Ｍｏｎｄ Ｂ．Ｐｒｅ—ｉｎｖｅｘ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ ０ｂｊｅｃ－ ｉｆｖｅ Ｏｐｔａ－，ａｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐ ，１９８８，１３６：２９—３８． ［６］Ｍｏｈａｎ Ｓ Ｒ．，Ｎｅｏｇｙ Ｓ Ｋ．Ｏｎ ｉｎｖｅｘ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｐｒｅｉｎｖｅｘ ｆｕｎｃ・ ｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，１９９５，１８９：９０１—９０８． 厂（Ｅ（ｘ。）＋Ａ叼（Ｅ（ｘ），Ｅ（ｘ。）））一 Ｅ（ 。）） Ａ ［７］张庆祥．广义不变凸多目标规划的最优性条件［Ｊ］．延 安大学学报，１９９４（１）：２６—３２． ＝ｒｌ（Ｅ（ｘ），Ｅ（ｘ。）） ．［８］彭建文，杨新民．严格预不变凸函数的两个性质（英文 版）［Ｊ］．运筹学学报，２００５（９）：３７—４２． 厂（Ｅ（ｘ。）＋Ａ （Ｅ（ｘ），Ｅ（ 。）））一 Ｅ（ｘ。 Ａｒ／（Ｅ（ｘ），Ｅ（ｘ。）） 由／的可微性得 ［９］赵克全．卜－预不变凸函数的一个充分条件［Ｊ］．重庆师 范大学学报（自然科学版），２００６，２３（１）：１０—１３． ［１Ｏ］林锉云，董家礼．多目标优化的方法与理论［Ｍ］．长 春：吉林教育出版社，１９９２． 八 ）一，（ 。）≥ （Ｅ（ ），Ｅ（ 。）） Ｖｆ（Ｅ（ 。）） ＝卵（Ｅ（ ），Ｅ（ｘ。）） Ｖｆ（ｘ。）． ＴｇＸ￣ｆ（ｘ）一 ）≥叼（Ｅ ）， （ ）） ）． （８） ［责任编辑贺小林］ Ｔｈｅ Ｓｅｍｉ Ｅ——Ｐｒｅｉｎｖｅｘ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ＺＨＡＮＧ Ｙｏｎｇ—ｚｈａｎ．ＺＨＡＮＧ Ｑｉｎｇ—ｘｉａｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｙａｈ ａｌｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎ ａｌｌ ７ １６０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｓｅｍｉ Ｅ—ｐｒｅｉｎｖｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｔｕｄｉｅｄ，ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｓｅｍｉ Ｅ—ｐｒｅｉｎｖｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ａ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｏｆ ｓｅｍｉ Ｅ—ｓｔｉｒｃｔｌｙ ｐｒｅｉｎｖｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｙｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｌａｓｔｌｙ ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｍｕｈｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｐｒｏ— ｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｍｉ Ｅ—ｐｒｅｉｎｖｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｍｉ Ｅ—ｐｒｅｉｎｖｅｘｉｔｙ；ｍｕｈｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；ｅｆｉｃｉｆｅｎｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ