Cauchy积分定理

Cauchy积分定理证明及讨论

Cauchy积分定理是复变函数学中极为重要的理论，它给出了解析函数积分与路径无关的几个等价定理，提供了计算复变函数积分的一种简便方法，并成为证明复变函数问题的一种有力工具，同时与后面章节中的留数紧密相关。课本在“f'(z)是G内的连续函数”这一条件下给出了黎曼证明，本论文将给出严谨的古莎证明，并进一步讨论与Cauchy积分定理相关的内容。

1.Cauchy积分定理基础知识 .................................................................................................... - 2 -

1.1.Cauchy积分定理定义 ................................................................................................ - 2 -

1.2.黎曼证明 ....................................................................................................................... - 2 - 1.3.Cauchy积分定理的推广 ............................................................................................ - 3 - 2.古莎证明 .................................................................................................................................. - 4 -

2.1.证明思想 ....................................................................................................................... - 4 - 3.一种新的证明方法 .................................................................................................................. - 4 - 4.Cauchy积分定理应用 ............................................................................................................ - 6 - 5.Cauchy积分定理与其他定理的关系 .................................................................................... - 7 -

5.1.Cauchy积分定理与柯西积分公式的关系 ................................................................. - 7 - 5.2.Cauchy积分定理与留数定理的关系 ......................................................................... - 8 - 5.3.Cauchy积分定理与高阶导数公式的关系 ................................................................. - 9 - 6.小结 .......................................................................................................................................... - 9 -

1.Cauchy积分定理基础知识

1.1.Cauchy积分定理定义

首先给出Cauchy积分定理的定义：设f(z)是单连通区域G上的解析函数， 是G中任意一条回路，则



f(z)dz0

1.2.黎曼证明

在“f(z)是G内的连续函数”条件下，很容易得到黎曼证明：



f(z)dzu(x,y)dxu(x,y)dyiv(x,y)dxu(x,y)dy

- 2 -

另一方面，f '(x(x,y) - uy(x,y)i = vx(x,y) + vy(x,y)i，

zG

f(z)是G内的连续函数,则ux(x,y)， uy(x,y)， vx(x,y)，vy(x,y)在单连通区域G内连续且

满足C-R条件：

ux(x,y) = vy(x,y)， uy(x,y) = -vx(x,y)， (x,y)G

又G是单连通区域，的内部I()G，故在I()的闭包上对第一式的两个第二型曲 线积分使用格林公式，且由C-R条件，可得：

u(x,y)dxv(x,y)dy[v(x,y)u(x,y)]dxdyv(x,y)dxu(x,y)dy[u(x,y)v(x,y)]dxdy(I()xyI()0dxdy0I()xyI()0dxdy0 由此可得：

f(z)dz0

1.3.Cauchy积分定理的推广

Cauchy积分定理不仅仅是用于上述情况，对于单连通解析域中的闭合回路、分段光滑的闭曲线(可自交有限次)、复连通域中的回路和含洞复连通区域，都有相应的推论。

.设是一条回路，f(z)在的内部I()中解析，在其闭包I()U上连续，则

f(z)dz0

特别的，当f(z) 在I()I()U上解析时成立。

.设f(z)是单连通区域G上的解析函数，是G中任何一条分段光滑闭曲线（可以自交有

限次），按右手定则定向，则

f(z)dz0

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.设f(z)是复连通区域G上的解析函数，是G中的回路满足I()G,则

f(z)dz0

l，j，l=1，2，...，

.设有界复连通区域G含有k-1个洞，其边界G由k条回路0,1,...,k1组成，其

中1,...,k1包含在0的内部I(0)中。它们互不相交并且对任何j

k-1都有I(j)I(l) Ø成立；又设f(z)在G上解析，在G上连续，则

k1j1

if(z)dzf(z)dz;

rj其中

0,1,,k1均取逆时针方向。

2.古莎证明

2.1.证明思想

古莎证明不需要f(z)连续的前提，其证明的核心不是C - R条件和格林公式，它的基

础是一个归纳演绎、又特殊到一般的过程。

由于任意分段光滑曲线可以被折线逼近，而任意一条闭折线可分为一些三角形之和，所以我们得到如下证明思路：

(1)证明定理对任一个三角形边上的积分为零，认为任意一条闭折线可分成一些三角形之和；

(2)证明对任一条闭折线定理都成立，由于任一条逐段光滑(或可求长)曲线可被折线逼近，从而就证明了对任一条逐段光滑(或可求长)曲线定理也成立。

3.一种新的证明方法

古莎证明思路简单，但是具体证明较为复杂，先给出一种基于构造和一致收敛的新

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证明。

a)首先给出黎曼引理：

设函数f(z)u(x1,x2)iv(x1,x2)在区域D上有定义，则f(z)在D内解析的充分条件为：

(1)

u(x)，v(x)在区域D内连续，i = 1，2； xixi (2)

ux1vx2，vx1ux2；

 b)再考虑这样的函数：Ф(x)为偶函数，且

(x)dx1， Ф（x）≥0，> 0,

令 g(x)=2 Ф(

x)，且使得hf(x)=g(xt)f(t)dt，则 

lim0xt2lim[()f(t)dtf(x)] (hf(x)f(x))0

lim[f(xt)f(t)](t)dt

0

0

即hf(x)一致收敛于f(x)，对于hf(x)的积分与求极限顺序可以交换。 c)对于函数f(z)u(x1,x2)iv(x1,x2)在单连通区域D上连续，则f(x)在D内满足Cauchy积分公式。

d)此时考虑函数f(z)u(x1,x2)iv(x1,x2)在D内解析，构造函数

w(z)hu(x)ihv(x)

设u(x)、v(x)满足黎曼条件，则可证hu(x)、hv(x)也满足该条件，即w(z)在D上解析，

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则w(z)在D内连续，满足Cauchy积分公式:w(x)dx0

c又limw(z)f(z)，即

0w(z)dz=limw(z)dz=0。 f(z)dz=limcc00c 即柯西积分公式得证。

4.Cauchy积分定理应用

Cauchy积分定理的应用十分广泛，主要用于计算复积分和证明复分析问题。

沿指定路径C：

3zi计算下列积分：

2 (1)C1z(z1)2dz;ez(2)dz.

Cz(z21) 解: (1)原函数在C内有两个奇点z = 0 及 z = i，分别以z = 0及z = i为圆心，以1/4为半径做圆C1及C2，则由复合闭路定理有： C1z(z1)12dz1z(z1)2C1dz1z(z1)2C2dz 解法一：利用柯西-古萨基本定理及基本公式

111112z(z1)z2zi2zi 由柯西-古萨基本定理： 11C12zidz0, - 6 -

1z(z21)dz11CCdz1zCdz22(zi)2i122ii.11C12zidz0,1Cdz0211z,C22zidz0,

解法二： 利用柯西积分公式

f(z)11fz)1z(zi)在Cz21在C1内解析,2(2内解析,1dz1Cz(z21)dz1C1z(z21)C2z(z21)dz1(z21)Cdz1z1[z(zi)]Cdz2zi2if1(0)2if2(i)2i2i1i.25.Cauchy积分定理与其他定理的关系

Cauchy积分定理是一项重要定理，它和许多重要定理之间都有紧密联系的关系。

5.1.Cauchy积分定理与柯西积分公式的关系

柯西积分定理可写成：

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C0f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzC1C2Cn

F() 任意固定z∈D，

f()z作为的函数在D内除点z外均解析。以点z为心，充分小

的>0为半径做圆周，使及其内部含于D，应用复周线Cauchy积分定理得：

f()f()ddzzC2idz

又f(z)与积分变量无关，而

，于是有：

|f()f()f()f()f(z)d2if(z)||df(z)d||d|zzzz

根据f()的连续性，对任给的>0，存在>0,只要|z|，就有

|f()f(z)|,()2，所以 |

f()f(z)d||d|2z22f()d2if(z)z

因此有

f(z) 即

1f()zd,(zC)2iC

故由柯西积分定理推广到柯西积分公式。

5.2.Cauchy积分定理与留数定理的关系

f(z)在周线或复周线C所围区域D内，除了a，a，···，an外解析，在闭区域12

D=D+C上

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除了a1，a2，···，an外连续。

以ak为心，充分小的正数k为半径画圆周k:|zak|k(k1,2,,n)，使这些圆

周及其内部均含于D，并且彼此互相隔离，由柯西积分定理得： Cf(z)dzf(z)dzk1kn

由留数的定义，有 kf(z)dz2iResf(z)zak

代入上式可得 Cf(z)dz2iResf(z)k1zakn

即由柯西积分定理推广得到留数定理。

5.3.Cauchy积分定理与高阶导数公式的关系

由上面推导可得柯西积分定理到留数定理，下面再由留数定理推广到高阶导数公式。

若被积函数在积分回路C内有n+1阶极点，考察积分

f(z)dzn1(za)C，其中a围积分回路

C的内点，则z+a是被积函数的n+1阶级点。由留数定理以及n+1阶级点留数的计算公式，有：

f(z)1dnf(z)1(n)n1dz2iResF(a)2ilim[(za)]2if(a)n1nn1za(za)n!dz(za)n!Cf(n)(a) 所以

n!f(z)(za)n1dz2iC

故由留数定理可以推广到高阶导数公式。

6.小结

可以看出，Cauchy积分定理的证明，是经过一个由简到繁、由理想到现实、由特殊到

一般的过渡过程。先证明定理对任一个三角形边上的积分为零以及对任一条闭折线定理都成

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立，再由此过渡到解析函数的证明。数学中大多数定理的证明经过的都是这样的一个过程，不断猜想、创新、归纳、演绎，最终得到期待的结果。Cauchy积分定理的相关推论也是通过的不断的拓展、完善而推导出来的，以Cauchy积分定理为基础而又高于Cauchy积分定理。学习数学是一门艺术，如何从一点出发而发散至面、在有限的问题中拥抱无限的思维，是我们需要琢磨一辈子的深刻问题。不断创造、尝试、总结、归纳，并付出应有的汗水和钻研，我们才能最终在数学之路上走的更远、更高。

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