《一次函数与几何图形综合》 专题

《一次函数与几何图形综合》专题

总论:函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一;函数中的几何问题,能使代数知识图形化,而几何中的函数问题,能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖,能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；

函数知识与几何知识有机结合的综合题,根据构成命题的主要要素可分为以下两类:

一类是几何元素间的函数关系问题(这类问题不妨称简称为“几函”问题）,这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例)建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题;

另一类是函数图像中的几何图形的问题(如三角形、四边形,特别是圆）(这类问题不妨简称为“函几”问题),这类问题的特点是:根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。

一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。

1.代数

(1)表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义)

（2）显现怎样的图形(自身、与坐轴、与其他图形） (３）既是一个方程，也是一个坐标 4)藏有那些数据，含有什么些关系 （５)要建立某种代数关系缺少那些数据 2.几何

（1）基本图象有几个 (2)图象之间有怎样关系 (3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联 （4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据 3．代数与几何

(1）代数(几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据 (2）几何(代数)通过什么方式为几何(代数)提供关系式 （3)怎样设数据(坐标或线段长） 函数与几何综合题的解题思想方法：

“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强,应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题,正因如此,解决这类问题时，要注意解决问题的策略,常用的解题策略一般有以下几种： 1.综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”,“从要求到需求”,通过对问题的“两边夹击”,使它们在中间的某个环节上产生联系,从而使问题得以解决。

2.运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系,建立已知量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决;在运用这种思想时,要注意充分挖掘问题的的隐藏条件,寻找等量关系建立方程或方程组;

3．注意使用分类讨论的思想(函数方法）。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、

《一次函数与几何图形综合》 专题

升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．函数与几何结合的综合题中往往注意考查学生的分类讨论的数学思想,因此在解决这类问题时，一定要多一个心眼儿，多从侧面进行缜密地思考,用分类讨论的思想探讨出现结论的一切可能性,从而使问题的解答完整无遗。

４.用数形结合的思想。数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用．在中学数学中,“数”与“形”不是孤立的,它们的辩证统一表现在:“数”可以准确地澄清“形”的模糊,而“形”能直观地启迪“数”的计算;使用数形结合的思想来解

5.运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想,由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性,因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题，可以大胆地说,不掌握转化的数学思想，就很难正确而全面地解决函数与几何结合的综合问题。

知识规律小结 ：

(１)常数k，b对直线y=kｘ+b(ｋ≠0)位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交; 当b=0时，直线经过原点;

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交. ②当k，ｂ异号时,即-当b=0时，即-

b＞０时,直线与ｘ轴正半轴相交; kb=0时，直线经过原点; kb当k，ｂ同号时,即-﹤0时,直线与x轴负半轴相交.

k③当k>O，b>O时,图象经过第一、二、三象限; 当ｋ＞０，b=0时,图象经过第一、三象限； 当b>O，b（2)直线y=kx+ｂ(k≠０）与直线y=kx(k≠0）的位置关系. 直线y=kｘ+b（k≠0)平行于直线y＝kx(ｋ≠０)

当b>0时,把直线ｙ=kｘ向上平移b个单位,可得直线y=ｋx+ｂ;

当b﹤O时，把直线ｙ＝ｋx向下平移|b|个单位，可得直线y＝kx+ｂ. (3）直线ｂ1=k1x+b1与直线y2=k２x+b２（k1≠0 ,k2≠0)的位置关系. ①k1≠k２y1与y2相交;

k1k2②ｙ1与y2相交于y轴上同一点(０,b1)或（0,b２）;

bb12③

k1k2,k1k2,y1与ｙ2平行； ④y1与y2重合.

b1b2b1b2《一次函数与几何图形综合》 专题

例题精讲：

1.已知，如图,在平面直角坐标系内，点Ａ的坐标为(0，２4）,经过原点的直线l1与经过点Ａ的直线l2相交于点Ｂ,点B坐标为（１８，６)．

（1)求直线ｌ１，l２的表达式;2(ﻫ）点C为线段OＢ上一动点（点Ｃ不与点O,Ｂ重合),作ＣＤ∥y轴交直线l2于点D，过点C,D分别向y轴作垂线,垂足分别为Ｆ,E，得到矩形CDＥF.ﻫ①设点C的纵坐标为a,求点D的坐标（用含ａ的代数式表示）；ﻫ②若矩形CDＥF的面积为１08，求出点Ｃ的坐标.

yl2ABOl1x 解:（1)设直线l１的表达式为y=ｋ1ｘ ∵点（18，6)在直线l1上 ∴6= 18k１ ∴ｋ１=∴y=yl2AEFODBCl1x1 31x 3设直线l2的表达式为y=k2x +ｂ ∵点A(０，24）,B(１８,6）在l2上 待定系数法可得直线l２的解析式为：y=-ｘ+2４ （2)①∵点C在直线l1上,且点C的纵坐标为ａﻫ∴ x＝３ａ， ∴点C的坐标为（3ａ,ａ） ∵CD∥y轴 ∴点D的横坐标为3aﻫ∵点D在直线l2上，ﻫ∴y=-3ａ+24 ∴D(3a,－３a+24) ②∵Ｃ（３a,ａ)，Ｄ(3a,－3a+24)ﻫ∴CF=３a，CD＝-3ａ+2４-a=-4ａ＋24ﻫ∵矩形CDEF的面积为１0８ ∴Ｓ矩形CDEF=CF•ＣD=３a×（-4a＋2４)=108，解得a=3ﻫ当a=３时，3a＝9ﻫ∴C点坐标为（9,3） 2.如图①所示，直线L：ymx5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于Ａ、B两点。

(1)当ＯA=ＯB时，试确定直线L的解析式;

（2)在(１)的条件下，如图②所示,设Ｑ为ＡB延长线上一点，作直线OQ,过A、B两点分别作ＡＭ⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4,BＮ＝3，求MN的长。

(3)当m取不同的值时,点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,连EF交y轴于Ｐ点,如图③。问：当点Ｂ在 ｙ轴正半轴上运动时,试猜想PB的长是否为定值,若是,请求出其值,若不是,说明理由。

《一次函数与几何图形综合》 专题

第2题图② 第2题图③ 考点：一次函数综合题;直角三角形全等的判定． 专题:代数几何综合题． 分析：（1)是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；ﻫ（２)由OA=OＢ得到启发,证明∴△AＭＯ≌△ＯNＢ,用对应线段相等求长度； （3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长． 解答：解:(1）∵直线L:ｙ=mx＋5m， ∴A(-5，0),B(0，５m），ﻫ由OA＝OB得5ｍ＝5,m＝1，ﻫ∴直线解析式为：y=x＋5．ﻫ(2)在△AMO和△OＢN中OＡ=OB，∠ＯＡＭ＝∠BON，∠AMO=∠BNＯ, ∴△ＡMO≌△ＯNB.ﻫ∴AＭ=ON=4， ∴BN=OＭ=3. (３）如图，作EK⊥y轴于K点．ﻫ先证△AＢO≌△BEK,ﻫ∴OＡ=BK,EK＝OB. 再证△ＰBＦ≌△PKE,ﻫ∴PK=PB. ∴PB＝115BＫ=ＯA=. 222直关点评:本题重点考查了直角坐标系里的全等关系,充分运用坐标系里的垂系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题.

３．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、Ｂ两点，直线l2与直线l1关于x轴对称,已知直线l1的解析式为

yx3(1）求直线l2的解析式;(３分）

（2)过A点在△ABC的外部作一条直线l3,过点Ｂ作BE⊥l3于E,过点Ｃ作CＦ⊥l3于F分别,请画出图形并求证：BE+ＣＦ=EF

(3）△AＢＣ沿ｙ轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交与点M，且BP=ＣQ,在△ＡＢC平移的过程中，①OM为定值;②ＭC为定

y值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论,并求出其值。（6分)

B yy l1BBP

A00xx

AA0xMCQCl2C

《一次函数与几何图形综合》 专题 考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质. 分析：（1)根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点Ａ、Ｂ的坐标，再根据轴对称的性质求直线ｌ２的上点C的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式;ﻫ（２)根据题意结合轴对称的性质,先证明△BEA≌△AＦC,再根据全等三角形的性质，结合图形证明BＥ+ＣF＝EF; （3）首先过Q点作ＱH⊥y轴于H，证明△QＣH≌△ＰBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△ＰＯM，从而得HM=OM,根据线段的和差进行计算OM的值. 解答：解：（1)∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，ﻫ∴A(－3，0）,B(0,３）， ∵直线l２与直线ｌ1关于ｘ轴对称， ∴C（0,-3）ﻫ∴直线l２的解析式为：y=-x-３;2(ﻫ）如图１. 答：BE+ＣF=ＥF． ∵直线l2与直线l∠EBA=∠FAC,ﻫ∵ＢＥ⊥l3,CＦ⊥l３ １关于x轴对称,ﻫ∴AB=BC，∴∠BＥA=∠ＡFC=9０°ﻫ∴△BEA≌△ＡFCﻫ∴ＢＥ=AＦ,EA＝ＦC，ﻫ∴ＢE+CF＝AＦ＋EA=EF；ﻫ(3)①对，OM=3 过Q点作QH⊥y轴于H,直线l２与直线ｌ1关于x轴对称 ∵∠POB=∠QHC＝90°，BP＝CQ， 又AB=AC， ∴∠ＡＢＯ=∠ACＢ=∠HＣQ,ﻫ则△QCH≌△PBO(AAS）, ∴ＱH＝PO＝OB＝ＣHﻫ∴△QHM≌△POM ∴ＨＭ=ＯMﻫ∴OＭ=BC-(OB+CM)=BC-（CＨ＋CM）=BC-OMﻫ∴４.如图,在平面直角坐标系中，Ａ(a,0),B(0，b）,且ａ、b满足OM=1BC=3． 2（a2)2b40.

(１）求直线ＡＢ的解析式；

(２)若点Ｍ为直线y＝mx上一点,且△ＡBM是以AＢ为底形，求m值;

(3)过Ａ点的直线ykx2k交ｙ轴于负半轴于P，N点点的直线y为定值．

的等腰直角三角的横坐标为-1，过N

kkx交ＡP于点Ｍ,试证明22PMPN的值

AM

考点:一次函数综合题；二次根式的性质与化简;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求正比例函数解析

式；全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

分析:（1)求出a、b的值得到A、Ｂ的坐标，设直线AB的解析式y=kx＋b，代入得到方程组，求出即可；2(ﻫ）

当ＢM⊥BA，且BM=BA时，过Ｍ作MN⊥Y轴于Ｎ，证△ＢＭN≌△ＡBO(AＡＳ）,求出M的坐标即可;②当AM⊥ＢA,且AM=BA时，过M作MN⊥X轴于Ｎ，同法求出Ｍ的坐标;③当AM⊥ＢM,且AM=ＢM时,过M作MＮ⊥X轴于N，ＭH⊥Y轴于Ｈ,证△ＢＨＭ≌△AMＮ，求出M的坐标即可．ﻫ（3）设NＭ与x

《一次函数与几何图形综合》 专题 轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为Ｇ，ＨＤ交ＭP于D点,求出H、G的坐标,证△AＭG≌△AＤＨ,△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出ＰN＝PD=AD=AM代入即可求出答案． （a2)2b40有意义, 解答:解：(1）要使必须(a-2)=0，b-4=0,ﻫ∴a=２，b=4， ２∴A(2,０），B（0，4)，ﻫ设直线AB的解析式是y＝kx＋b，ﻫ代入得：０=２k+b,4＝b, 解得:ｋ=－2,ｂ=４，ﻫ∴函数解析式为：y=-2x+4,ﻫ答：直线AB的解析式是ｙ=-２x+4. （2）如图2，分三种情况：ﻫ①如图(1)当BM⊥BA,且ＢM＝BＡ时,过M作MN⊥Y轴于N,ﻫ△BＭＮ≌△ABO(AAＳ)，ﻫＭN=OＢ=4，BN=OＡ=2， ∴OＮ＝2+４=6, ﻫ3,ﻫ②如图(2）当AＭ⊥ＢA,且AM=ＢA时,过M作MN⊥X轴于21N,△BOA≌△ANM（ＡAS),同理求出M的坐标为(6，２)，m=， 3∴M的坐标为（4,６ )，ﻫ代入y=mx得:m=③当ＡM⊥ＢM,且AM＝BM时，过M作MＮ⊥X轴于Ｎ,ＭH⊥Ｙ轴于Ｈ,则△BＨM≌△AMＮ,ﻫ∴MN＝ＭH, 设Ｍ(ｘ，x）代入y=mx得：ｘ=ｍx，(2）ﻫ∴m＝1，ﻫ答:m的值是31或或1.ﻫ(３）解:如图3，结论2是23正确的且定值为2，ﻫ设ＮM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，kkx－与x轴交于H点， 22kk∴H(１,０），ﻫ由y=x-与y＝kx-２k交于M点， 22ﻫ由y=∴M（3，K), 而A（2，0)，ﻫ∴A为HG的中点， ∴△AMG≌△ADＨ（AＳA）, 又因为N点的横坐标为-１,且在y=kkx－上， 22ﻫ∴可得N 的纵坐标为-Ｋ，同理P的纵坐标为－２K,ﻫ∴NＤ平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、１ﻫ∴N与D关于ｙ轴对称， ∵△ＡMＧ≌△ADH≌△DPC≌△ＮPC,∴ＰN＝ＰD=ＡD=AM, ∴PM-PN＝2． AM《一次函数与几何图形综合》 专题

点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的

解析式，全等三角形的性质和判定,二次根式的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.

5． 如图,直线ＡB交X轴负半轴于B(ｍ，0)，交Ｙ轴负半轴于A（０，ｍ），OC⊥ＡB于C（-２,-2)。 （1求m的值；（2直线AＤ交ＯC于D,交X轴于E，过B作BF⊥ＡD于F,若OD＝OE，求

BF的值； AE(３如图，P为ｘ轴上B点左侧任一点,以AP为边作等腰直角△ＡPM,其中PＡ=PM,直线MB交y轴于Q，当P在ｘ轴上运动时,线段OQ长是否发生变化?若不变，求其值；若变化,说明理由。

解答:（１)设直线ＡB的方程为y=ｋｘ+m,将点（m,0)代入方程得k= -1,则方程可写为y＝ -ｘ+m

再将点Ｃ(-2,2）代入方程得-2＝(-1）×(-2)+m,即ｍ= －4

过C作OB的垂线，垂足为GOBOAAOB为等腰直角三角形CBO45 CGB,CGO,OCB都是等腰直角三角形GBOGCG2m-4（2)直线AD交ＯＣ于Ｄ，交X轴于E，过B作ＢF⊥AD于Ｆ，若OＤ=OE，求

BF的值; AE《一次函数与几何图形综合》 专题

HBOFAH（同角的余角相等）OEODOEDODEFEBOED，ADCODE(对顶角相等)ADCFEBHBOCADCADFAH在AFB和AFH中AFBAFH90AFAF（公共边）BAFFAH(已证)AFBAFH（ASA）BFHF(全等三角形对应边相等)在BOH和AOE中，HBOEAO（已证）BOAO（已知）BOHAOE90BOHAOE（ASA）BHAE（全等三角形对应边相等）BHBFBH2BFBFBFBF1AEBH2BF2(3）如图，Ｐ为x轴上B点左侧任一点,以AP为边作等腰直角△ＡPM,其中PA=PM,直线MB交y轴于Ｑ,当P在x轴上运动时,线段OQ长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。

《一次函数与几何图形综合》 专题

线段OＱ的长度不变

如图，过Ｐ作x轴的垂线交AB的延长线为N，PM=ＰA，PB=PN,∠NPＡ=∠ＢPM, △NＰA≌△BPM（边角边),则有∠ＰMＢ=∠PAN=∠ＰＡＢ，

由题意可知∠OＡＢ=∠ABO=4５°,∠OAP+∠APO＝∠OAB+∠PAＢ+∠AＰB=9０°=∠MPＡ，

在△PMB中∠ＰMB＋∠MＢＰ＋∠MPＢ=∠PMB+∠ＭBP+∠ＭPA+∠APB＝180° ∠PMB+∠MBP＋∠AＰB=1８０°-∠ＭPＡ=90°

∠MＢP=9０°-∠PMＢ－∠APB=90°-∠PＡB-∠APB=９0°-(９0°－∠OAB)=45° 所以∠MBＡ=1８0°-∠ABO-∠MBP=1８0°-45°-4５°=９0° 故直线MB与直线AB互相垂直，所以线段ＯQ值不变(直线AB固定）。

向左转|向右转

《一次函数与几何图形综合》 专题

5６.在平面直角坐标系中，一次函数ｙ=ax＋b的图像过点Ｂ（-1， ）,与ｘ轴交于点A（4，0)，与y轴交

2于点C，与直线ｙ=kｘ交于点P,且PO=ＰＡ （1）求a+b的值;（2)求k的值；

（2）（3)Ｄ为PＣ上一点，DF⊥x轴于点Ｆ，交OP于点Ｅ,若DE=2ＥF,求Ｄ点坐标.

考点：一次函数与二元一次方程(组)． 专题:计算题；数形结合；待定系数法. 分析:（1）根据题意知，一次5）和点A（4,0），把Ａ、B代入求值即可;ﻫ(2)设P(x，y）,根据PO=PA,211列出方程，并与y=kx组成方程组，解方程组;ﻫ（3)设点D(x，- x＋2)，因为点E在直线ｙ= x上,所以221E（ｘ,ｘ），F(ｘ，０),再根据等量关系DE=２EF列方程求解． 2函数y=ax+b的图象过点B(-1， 解答：解：(1）根据题意得: 5=-a+b 20＝4a+b 解方程组得:ａ=1133, b=２ﻫ∴a＋b＝-＋2＝,即a+ｂ=;ﻫ(2)设P(x,y)，则点P即在一次函数y＝ａx+ｂ22221x＋2，ﻫ又∵PO＝PA，ﻫ∴x2+ｙ2＝(4-x)2+ｙ2 2上,又在直线y＝ｋx上， 由(1）得:一次函数y＝ax+b的解析式是y=-y=ｋｘ 111 x＋2，ﻫ解方程组得：x=2，y=1,k= ∴k的值是; 22211（3)设点D（ｘ，-x+2），则E（x，x)，F(x，0)，

22ｙ=

∵DE=2EF， ∴-

1111133x+2-x＝2×x,ﻫ解得:x=１,ﻫ则-x+2=-×１+2=,ﻫ∴D（1,). 2222222点评:本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标,一次函数与一元一次方程组之间的内在联系.

7. 在直角坐标系中,Ｂ、A分别在x，y轴上,B的坐标为(3,0),∠ABO＝30°，AＣ平分∠ＯAB

交x轴于C;

(1)求C的坐标 （2若D为AB中点，∠EDＦ=６0°,证明:CE+CＦ=OC (３)若Ｄ为AB上一点,以D作△DＥＣ，使DC=DE,∠ＥDC=１20°,连BE,试问∠EＢＣ的度数是否发生变化;若不变,请求值。

《一次函数与几何图形综合》 专题

. 在直角坐标系中，B、A分别在ｘ,y轴上,B的坐标为(3,0),∠ＡBO=30°,AC平分∠OAB交ｘ

轴于C；

解：∵∠AＯB=9０° ∠ABO=30° ∴∠ＯＡB=30°

又 ∵ ＡＣ是∠OAB的角平分线 ∴∠OAＣ=∠CＡB=30° ∵OＢ=3

∴OA＝3 OC＝１

即 C(1，0)

（1）若D为AB中点，∠ＥDＦ＝60°，证明：ＣE＋CＦ=ＯC 证明：取CB中点H,连CD,ＤH ∵ AＯ=

3 ＣO=1

∴AＣ=2

又∵D，Ｈ分别是ＡB,CD中点

1 ∴DＨ=AC ＡB＝23

21 ∵ DB=AB=3 BC＝2 ∠ABC＝３0°

2 ∴ BC＝２ CD=２ ∠CDＢ=60° ＣＤ＝1＝DH

∵ ∠EＯF＝∠ＥDC＋∠ＣDF=6０ ° ∠ＣＤB＝∠CＤF＋∠FＤH=60° ∴∠EDC=∠FDH ∵AC＝BC=2

∴CD⊥AB ADC＝90° ∵∠ＣBA=30° ∴∠ECD=60° ∵HD=HB=1 ∴∠ＤHＦ=60°

在△DCE和 △DHF中

∠EDC=∠FDH ∠DCE=∠DHF

DC=DＨ

∴△DCＥ≌ △DＨF（AＡS） ∴CE=HF

∴CH＝CF+FH＝ＣＦ＋ＣE=1 OＣ=1 ∴CH=OC

∴ＯC=ＣE＋ＣF

（2）若D为AB上一点,以Ｄ作△DＥC，使ＤC=DE,∠EDC=120°,连BＥ,试问∠ＥBＣ的度数是否发生变化;若不变,请求值。

《一次函数与几何图形综合》 专题

解：不变 ∠EBC=６０°

设DB与CE交与点G

ＤC=DE ∠ＥDC=１２0° ∴∠DＥC=∠DＣＥ＝30° 在△DGC和△ DＣB中 ∠ＣDG=∠BDＣ ∠DCG=∠DＢC=30

∴△DGＣ∽ △ＤＣB ∴

DCDB= DGDC DC=ＤE ∴

DEDB= DGDE在ＥDG和BDE中

DEDB＝ DGDE ∠EＤG=∠BＤE

∴△EDG ∽ △BＤＥ

∴∠DEG=∠ＤBE=30°

∴∠ＥBD=∠DBE+∠DBC＝60°

8.如图,直线AＢ交ｘ轴正半轴于点Ａ（ａ,0）,交ｙ 轴正半轴于点B（0, b)，且ａ 、ｂ满足

a4 + |4－b|＝0

（１）求Ａ、B两点的坐标;

（2)D为ＯA的中点，连接BD，过点O作ＯE⊥BＤ于F，

E，求证∠BDO=∠ＥＤA；

y B 交AB于

y M B O E F A P x Q O D A x

（３)如图,P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Ｒｔ△PBM,其中PＢ=PＭ,直线MＡ交y 轴于

点Ｑ，当点P在x轴上运动时，线段ＯQ的长是否发生变化?若不变,求其值；若变化,求线段OQ的取值范围.

《一次函数与几何图形综合》 专题

解答:解:①∵a4+|4-b｜＝０ﻫ∴a=4，b=４,ﻫ∴A（4，０），B（0，4）;ﻫ(２)作∠AOB的角平分线,交BD于G, OG=∠ＯAE＝4５°，ＯB=OA,ﻫ∠OＢG=∠AOE＝90°－∠BOF,ﻫ∴≌△OAE, ＝ＡE． GOD=∠A=４５°,OD=AＤ，ﻫ∴△GOＤ≌△EＤA.ﻫ∴∠GＤO=∠（３)过Ｍ作MN⊥x轴，垂足为N．ﻫ∵∠BＰＭ=９０°,ﻫ∴∠BPO+N=90°．ﻫ∵∠AOB=∠MNP=9０°，ﻫ∴∠BPO＝∠PMN,∠PBO=∠∵ＢP=MＰ, ＢO≌△ＭＰＮ,ﻫＭN=OP，PN=AＯ＝BO，ﻫＯP=ＯＡ+ＡP=PN＋=AN，ﻫ∴MN=AＮ,∠ＭAN=45°.ﻫ∵∠BAＯ=45°，ﻫ∴∠ＢＡO+∠９0° ∴△BAQ是等腰直角三角形．ﻫ∴OB＝ＯQ=4． 么动OQ的长不变． ∴∠Ｂ△BOＧ∴OG∵∠ADＥ. ∠ＭＰＭPN.ﻫ∴△PAＰOAQ=∴无论P点怎三角形的判定（3)本题灵活点评:（1)考查的是根式和绝对值的性质.ﻫ（２)考查的是全等和性质． 考查的是全等三角形的判定与性质,还有特殊三角形的性质. ９.如图，平面直角坐标系中,点A、Ｂ分别在ｘ、y轴上,点Ｂ的坐标为(0，1），∠BAO＝30°. （1）求AB的长度;

(2)以AＢ为一边作等边△ABE,作OＡ的垂直平分线MN交AB的垂线ＡD于点D.求证:BD=ＯE． （３)在(２)的条件下，连结DＥ交ＡB于F.求证：Ｆ为DＥ的中点.

yMEyEBOAxBOFAxNDD

考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质;含30度角的直角三角形． 专题:计算题;证明题．

分析:（1）直接运用直角三角形３0°角的性质即可．ﻫ(2)连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD

≌△AEO即可．

(3)作EＨ⊥AB于Ｈ,先证△ABＯ≌△AEH,得AＯ=EH,再证△AFD≌△EFＨ即可．

《一次函数与几何图形综合》 专题

解答：（1)解：∵在Rt△ABO中，∠ＢAO＝３０°,ﻫ∴AＢ=２ＢO=2； 证明:连接ＯＤ, ABE为等边三角形, ＝AE,∠EAＢ＝60°,ﻫ∵∠BＡＯ=30°，作OA的垂直平分线MN交AB线ＡD于点D,ﻫ∴∠ＤAO=６0°.ﻫ∴∠ＥAO=∠NABﻫ又∵ＤO=DA,ﻫ∴△为等边三角形． ＝AO． AＢD与△AＥＯ中, AB=AＥ，∠ＥＡＯ=∠NAB，DA=ＡO ∴△ＡBＤ≌△ＡＥＯ． BD=OE.ﻫ(3)证明：作EH⊥AB于H.ﻫ∵AE=BE，∴Ａ（2）∵△∴AB的垂ADO∴DA在△∵∴

1AB， 21∵BO=AB,∴AＨ=BO,ﻫ在Rt△ＡEH与Rt△BAO中，ﻫA2H=Ｈ=BＯ ,AＥ=ＡＢﻫ∴Ｒt△AEＨ≌Ｒt△BAO,ﻫ∴EH＝ＡO=AD.ﻫ又∵∠ＥHF＝∠DAF=9０°， 在△HFＥ与△ＡFD中, ∠EHF=∠ＤAＦ,∠EFH＝∠ＤFA，EH=AD Ｅ≌△∴F为点.

∴△ＨFAFＤ，ﻫ∴EF=DF.ﻫDE的中

点评:本

查全等等边三妙结合,

1０．如图，直线ｙ＝

来证明角相等和线段相等.

题主要考三角形与角形的巧

1x+1分别与坐标轴交于A、Ｂ两点，在y轴的负半轴上截取OC=ＯB. 3(1)求直线AC的解析式；

(2）在x轴上取一点Ｄ（-１，０),过点D做AＢ的垂线，垂足为E，交AC于点F,交y轴于点G，求Ｆ点的坐标；

(3过点B作AＣ的平行线BM，过点Ｏ作直线y=ｋx（k>０),分别交直线ＡC、ＢM于点H、Ｉ,试求的值。

AHBIAB《一次函数与几何图形综合》 专题

解：(1）∵ 直线y=

1x+１分别与坐标轴交于A、Ｂ两点 3 ∴ 可得点Ａ坐标为（-3，0）,点Ｂ坐标为（0，１) ∵ ＯC=OＢ

∴ 可得点Ｃ坐标为（0,-1)

设直线AC的解析式为ｙ=ｋx＋b

将A（-３,0)，C(０,-１）代入解析式

1,ｂ=－1 31 ∴ 直线AＣ的解析式为y=x－1

3 -３k+b=0且b=-1可得k＝-(２)在x轴上取一点D(-１，0)，过点D做ＡＢ的垂线，垂足为E，交ＡC于点Ｆ，交ｙ轴于点G，求F点的坐标；

解:∵ GE⊥AB ∴ ∴

kEGkAB13

kGE=11=3

'y=-3x+b设直线GE的解析式为

'y=-3b0 将点D坐标(－1，0）代入,得

'∴ b3

∴ 直线GE的解析式为y＝－3x-3

1x34, 联立y=x-1与ｙ＝-3x-3,可求出334

将其代入方程可得y＝∴ F点的坐标为(

3344

,

,）

(3）过点Ｂ作AC的平行线BM，过点O作直线y＝kx(k>0），分别交直线AC、ＢＭ于点H、Ｉ,试求的值。

解:过点O作ＡC的平行线ON交AB于点N ∵ＢＭ//ＡC

OIOBOC ∴OHAHBIAB∵OＢ=OC ∴OI＝OH

∴O为IH的中点 ∵BM/／AC

NB ∴NAOI=OH

∵ ＯI=OＨ

∴ NＢ=NＡ ∴ Ｎ为AB中点

∴ ON是四边形AＢIH的中位线 ∴ AH+ＢI=２ON

《一次函数与几何图形综合》 专题

∵ N是ＡB的中点,AOB是直角三角形

∴ AB＝2OＮ(直接三角形斜边的中线等于斜边的一半) ∴ AＨ＋BI＝AＢ ∴

AHBI=1 AB

1１.如图,直线AＢ：y=－x-b分别与x、y轴交于A(６，0）、B两点，过点B的直线交ｘ轴负半轴于C,且OB:OC=3：1. （１）求直线BＣ的解析式；

(2)直线EF:y=kx-k（k≠0)交ＡB于E，交BC于点F,交ｘ轴于Ｄ，是否存在这样的直线EF,使得S△EBＤ=Ｓ△FBD?若存在,求出ｋ的值;若不存在，说明理由?

（3)如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点,ＢP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ,连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变,请求出它的坐标;如果变化，请说明理由。

《一次函数与几何图形综合》 专题

考点:一次函数综合题；一次函数的定义;正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式. 专题:计算题． 分析：代入点的坐标求出解析式y＝3x+6,利用坐标相等求出k的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐标. 解答:解：（１）由已知：0＝－6－b,ﻫ∴b=－6, ∴AB：y=-x+6．ﻫ∴B(０，6）ﻫ∴OB=６ﻫ∵OＢ:OC=3：1， OC=OB＝2，ﻫ∴Ｃ（-2,0) 3设c, 式x轴,∵Ｓ∴Ｄ∴BC的解析式是Y=ax+c,代入得；6=0•a+c, ０=-２a＋解得:ａ＝3, ｃ=6,ﻫ∴BＣ：y=3x+6．ﻫ直线BＣ的解析是：y=３x+6；ﻫ（2）过E、Ｆ分别作EＭ⊥x轴,FN⊥则∠EMD=∠FＮD=90°. △EBD=S△FBD， E=DF．ﻫ又∵∠NDF=∠EDM,ﻫ∴△NFＤ≌△EＤM， FN=ME．ﻫ联立y=kx－k, y=-x+6 5k,ﻫ联立y＝kｘ-ｋ，y＝3ｘ+6 k19k5k-9k得ｙF=．ﻫ∵FN=－ｙF，ME=yE，ﻫ∴=. k-3k1k-33k≠0，ﻫ∴5(k-3）=-9(ｋ+１),ﻫ∴k=; 7得yE＝K(０，－６). 轴于H，ﻫ∵△BPQ是等腰直角三角形, PB=PQ， QHA=90°,ﻫ∴∠BPO=∠PQH,ﻫ∴△ＢＯP∴PH=BO,OＰ=QH, ∵（3)不变化过Q作QH⊥x∴∠BPQ=90°，∵∠BＯA＝∠≌△HPQ, ∴PＨ＋《一次函数与几何图形综合》 专题

PO=BO＋QH，

即OA+AＨ＝BO+ＱＨ,ﻫ又OＡ＝ＯB，ﻫ∴ＡH＝QH， ∴△AHQ是等腰直角三角形, ∴∠ＱAH＝4５°,ﻫ∴∠OＡK=４５°， ∴△ＡＯK为等腰直角三角形, ∴OK=OA＝６,ﻫ∴K（0,-6).

点评:此题是一个综合运用的题,关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解.