九年级数学教材(几何)分析

第23章 圆

1、 新教材与老教材比较：

删除部分内容：弦切角、和圆有关的比例线段、两圆的公切线、正多边形和圆的有关问题。

2、 教学目标、教材特点、课时安排见《教师用书》第59页

3、 加强数学思想方法的教学

●如运动变化的思想（直线与圆、圆与圆等）●化归的思想（圆周角与圆心角的关系）

●分类的思想（直线与圆、圆与圆的位置关系等）

●数形结合（点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等）●特殊和一般的关系（圆周角与圆心角的关系）四、教学建议23.1 圆的认识

1、“圆的基本元素”中，教材中没有严格定义“弦”、“弧”等概念，而是通过图形直观认识。教学中可适当引入反例，以便学生形成正确的概念。要让学生能从具体图形中识别出圆的这些基本元素。

2、“圆的对称性”的教学中，要突出“圆的对称性”是圆的一个本质属性，教材中利用圆是一个旋转对称图形的性质来研究圆的圆心角、弧、弦间的关系。（也可以利用它的轴对称性来研究）

3、用圆是轴对称图形来发现“垂径定理”，教材中只要求能发现结论，但对于较好的同学可以要求说明理由。

4、“圆周角”中，“圆周角”的概念教材中也没有给出严格的文字定义，而是通过具体的图形直观认识。教学中可举出更多的例子。 5、圆周角和圆心角的关系：从特殊到一般。

三种情况实际上就是圆心角的顶点（圆心）在圆周角的“一边上”、“内部”、“外部”上.图23.1.11中(2)、(3)两种情况的理由尽管要求学生自己完成,但教师要提供必要的指导,如提示学生“（2）、（3）两种情况能否利用（1）的结论？、为什么书上的图形要上加上虚线（即辅助线）”等，从而渗透“化归”的数学思想方法。另外，说理的部分对不同的学生应该有不同的要求。

§23.2 与圆有关的位置关系

1、“三角形的外接圆”等概念是放在“点与圆的位置关系”中的，向学生讲明“确定”的含义：存在性、惟一性。对于惟一性：可让学生自己去探索，能否发现过三点有另外一个圆？

2、“直线与圆的位置关系”的教学中，可以先回顾点与圆的位置关系的类型再鼓励学生大胆的猜测直线与圆的位置关系的类型。同样联系点和圆的位置关系得出直线到圆心的距离与圆的半径的关系的不同，又可以有直线与圆相离、相切、相交三种情况。培养学生类比的思维方法。3、让学生体会除了从图形上定义直线与圆的位置关系之外，从数量关系上也可以反映直线与圆三种位置关系的特征。它们反映的是同一件事。

4、教材中没有明确其中的等价关系，而是通过教材中的“思考”要让学生体会“反过来”的情况。教学中可举一些简单的例子帮助学生理解：如“两个角是对顶角，那么这两个角相等”，反之却不一定成立等。5、对于“切线的判定方法”，只要求通过“做一做”的作图过程，引导学生从直观上总结得出结论。同时通过“做一做”也可以得出一种画切线的方法(不要求尺规作图) 。

6、教材中P58“试一试”是通过轴对称变换的方法来研究切线长的有关结论，可以利用书上的图形，通过说理的方式，以培养学生的空间观念和推理能力。

7、教材通过研究P60“试一试”的实际问题来引出内切圆的概念。对于“内切圆”的惟一性，可让学生动手画，看能否画出别的内切圆来，从而得出它的惟一性。

8、圆和圆的五种位置关系要结合图形辨识,要求学生能根据具体的图形说出相应位置关系的名称.同直线和圆的位置关系一样，圆和圆的位置关系也是通过公共点的数量来决定的。在点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的学习基础上，学生已获得探究此类型问题的方法，在圆与圆的位置关系教学过程中，可更多的让学生去探索、发现。

9、通过数量关系来判断两圆的位置关系是教学中的难点和重点，要留给学生足够的探索时间.§23.3 圆中的计算问题

1、教材由实际的铁轨问题引入,通过直观求解,暗示了这将作为下一步分析探索一般情况的方法,体现了从“特殊到一般”的数学思想方法.在“思考”中,又通过对各种特殊角度的圆心角所对的弧长的分析,逐步推出任意角度的圆心角所对应的弧长的计算公式,在此过程中要注意培养学生的归纳推理能力.扇形面积的公式推导方式与弧长公式类似,教学中可以放手让学生自己去完成.

2、 圆柱和圆锥都是旋转体，它们的侧面都是曲面，而且都可以展开铺在平面上,这种特性使得他们在日常的生产和生活中得到广泛应用,如工厂的工人师傅要制造各种圆柱、圆锥的工件时，常常要根据工件的尺寸，通过计算，在材料板上画出图形，然后再裁下制作．在圆锥的侧面

积的教学中要强调它的应用性，以培养学生的应用意识。在“想一想”中,让学生复习圆柱的侧面积的知识,以和圆锥的侧面积进行比较和联系. 五、温馨提示：

不要照搬旧教材的一些已删减的内容，增加学生的负担；对于一些数学结论的得出，既要重视合理运用操作确认，又要重视学生逻辑推理能力的培养。对不同的学生要有不同的要求。

第24章 图形的全等

1、 教学目标 、教材的特点 、课时安排见《教师用书》第93~94页二、教学建议§24.1 图形的全等

本节主要是对全等图形、全等多边形、全等三角形的认识，使学生知道能够完全重合的图形是全等图形，而全等多边形的对应边、对应角分别相等。在教学中要注意以下几点：

1．日常生活中，学生接触图形全等的例子很多，如数学课本的封面、光盘的表面、名片等等，教学中要充分让学生举生活中的例子，并试着用一个名词概括这些例子，由此体验数学概念由具体现象抽象出来的过程，体验数学术语表达的精练、简洁。

2．图形的全等是图形相似的特例，教学中要注意把相似多边形和全等多边形概念和特征的类比，区分之间的异同。

3．教学中要让学生理解图形的翻折、旋转、平移变换只改变了图形的位置，图形的大小和形状都没有改变，变换前后的两个图形是全等的。4．教材练习2要求学生画全等的四边形，教学时可让学生说出两个图形的变换过程。教学时要充分利用网格纸让学生画多个全等的多边形。§24.2 全等三角形的识别

本节的主要内容有三角形全等的三个识别方法和直角三角形全等的识别方法，识别方法的得出不同于传统教材的处理，教学时要根据教材的要求，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程。具体建议如下：

1．教学中注意把三角形全等的识别方法和三角形相似的识别方法相对照。三边对应成比例，三角形相似；三边对应相等，则三角形全等。两边对应成比例且夹角相等，则三角形相似；两边对应相等且夹角也相等，三角形全等。两角对应相等且夹边对应成比例，三角形相似；两角对应相等，且夹边对应相等，三角形全等。这样做的好处一是把全等看成相似的特例，使学生把知识前后连贯起来，形成知识系统，便于掌握；二是让学生逐步学会类比地思考问题，学会思考问题 的方法。2．根据三角形全等的概念，要判定两个三角形是否全等，要检验两个

三角形的对应边和对应角是否分别相等，这样检验起来比较复杂，能否有简便的方法？这是我们解决问题时常用的思维方式，化繁为简，化难为易。教学时要让学生体验这种方法。本节中先从满足一对量相等（边或角）入手，看是否全等，再从满足两对量相等，看是否全等，这样，就逐步获得问题的答案。

3．在探索比较简便的识别三角形全等方法的时候，还利用一个非常重要的数学思想，那就是分类思想。在讨论问题时，我们常常用分类的方法。分类要有标准，标准不同，分出的结果也不同。在分类讨论时，要注意标准的一致性，做到讨论的对象不重、不漏。教学时让学生体验这种思想方法。如教材中思考题：如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，有几种情况。尽量让学生独自解决。

4．教材中处理几种识别方法时采用分类讨论，由简到繁，一步步得出。可能在相似三角形学习时，有的老师已采用这种方法得出相似三角形的识别方法，在这里若再来一边，可能对部分同学缺少吸引力。建议教学时也可运用类比的思想，直接和相似三角形的识别方法相类比，逐一考察相似三角形的识别方法，看是否能作为三角形全等的识别方法。当然，考察的方法仍然是直观感知、操作验证。

5．已知三边画三角形，书中的做一做给出了三边的具体长度，便于学生的统一操作和比较。课堂教学中，可以让学生自己选择三边长度，可能有的学生选出的长度作不出三角形，可以引发学生进一步的思考。6．教材中几种识别方法都是采用直观感知、操作确认的方式得到。按传统的数学思想观念，这种方式是不严谨的，甚至是错误的。但这确实是数学发现的一种重要方法。教学中让学生体验这种由特殊事例推出一般结论的方法。但也要告诉学生这种方法得出的结论并不一定是正确的，在以后我们会学习到。

7．课后的练习、习题是巩固识别方法的，要利用已得出的结论加以说明，不能再让学生再通过直观感知、操作确认的方法，要让学生进行简单的说理。

8．如果两个三角形有两个角及其其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等的结论没有作为黑体字出现，这是课程标准的要求。教学时可让学生通过简单的说理推出结论。

9.教材中关于直角三角形全等的识别方法结论的得出，采取的是直观感知、操作确认的方式。也可直接利用勾股定理得出另一条直角边也相等，从而两个直角三角形的三条边分别对应相等，利用SSS可知两个直角三角形全等。这种简单说理的推理思想在教学中要不断地渗透。10．直角三角形是特殊的三角形，因此，一般三角形全等的识别方法都适用于直角三角形。解决问题时，可根据具体条件选用。

§24.3 命题与证明

本节内容为进一步学习逻辑证明作数学术语的准备，并进行了简单的证明。具体的教学中提出如下建议：

1．定义是一个科学术语，我们要深刻地认识某一个事物或对象，必须要能给出描述它特征的定义。定义反映了事物或对象的根本特征。教学中要让学生体验定义的含义与作用。试着让学生给一些数学概念下定义。

2．命题教学的重点是让学生分清命题的条件和结论，通过大量的例子让学生逐步熟悉命题的表达方式。

3．推理要有前提，数学推理的前提建立在公理之上。按课程标准的要求，本教材把四条基本事实作为公理，是以后证明推理的依据，另外，等式、不等式的有关性质以及等量代换都作为我们今后推理的依据。4．证明某件事情或结论，可以有多种方法，找权威人事验证、查资料、自己设计实验验证等等。本节中的证明是指的逻辑证明。关于逻辑证明的必要性，教材中举了三个例子，教学中还可举出一些例子。5．证明举例的内容是把以前通过直观感知、操作确认的结论，利用我们承认的基本事实进行证明。本节涉及的主要是有关平行线的结论。§24.4 尺规作图

本节主要内容是介绍五种基本作图，作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线，作直线的垂线，作角的平分线。具体教学建议如下：

1．教学时要求学生作图要规范，作图题目要保留作图痕迹。

2．要注意区分对不同学生的要求，一般的学生只要求学生会作就可以了，而程度好的学生要能说明这样作图的理由。三、温馨提示：

本章的教学要进一步加强数学理性的训练，在推理论证的过程中注意知识的前后联系，培养学生言之有据的正确的思维习惯。为后面学习《证明 》打下坚实的基础。

第27章 证明

一、教学目标

1、进一步了解证明的含义,理解证明的必要性,掌握证明的书写格式,能灵活地应用学过的公理,定理,定义进行逻辑推理；

2、理解逆命题,逆定理的概念,会识别互逆命题,知道原命题成立逆命题不一定成立；

3、体会反证法的含义，了解使用反证法证明一个命题的步骤；4、通过对欧几里得《Elements》 的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展的价值。

二、教材特点

1、内容 教材中用逻辑推理方法研究的几何图形仅限于三角形、四边形。

2、控制难度 教材中所选例题、练习题和习题均经过挑选，难度适中。

3、重视分析 在许多命题的证明过程中，教材充分重视分析过程.4、留有余地 教材为学生留下了一定的自行探索研究的空间，将一些难度适中的命题证明留给了学生自行完成，充分调动学生的学习积极性。教材中的阅读材料、课题学习:中点四边形，都为学生留下自行探索、想象的空间.三、课时安排

本章的教学时间为18课时，建议分配如下：§27.1 证明的再认识 2课时§27.2 用推理方法研究三角形 5课时 §27.3 用推理方法研究四边形 7课时 复习 2课时课题学习：中点四边形 2课时四、教学建议

§27.1 证明的再认识

1、本节首先回顾了探索几何图形性质的常用的两种方法：

（1）通过看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜，并在实验、操作中对它们作出解释的方法。 （2）用逻辑推理的方法。

2、本节通过对“三角形的内角和是180”的回顾，使学生认识到有些命题可以通过观察和实验得到，但也有一些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性。

3、有关辅助线的概念，本教材作了较为淡化的处理，仅在云图中提出“图中的虚线为证明需要所添加的辅助线”。

4、阅读材料：图形中的“裂缝”想说明的是视觉上的错觉往往会欺骗我们，从而使学生体会到证明的必要性。图4和图5中最大的直角三角形的两边直角边分别为5个单位长与12个单位长。因此斜边并没有经过任何方格的顶点，因此图4和图5的分割都是视觉上的错觉。§27.2 用推理方法研究三角形

1、本节通过对等腰三角形识别方法的回顾，使学生进一步体会到证明的必要性。

2、在证明等腰三角形的性质定理时,可以通过添加顶角的平分线或添加底边上的中线，证明底角相等。

3、在证明斜边、直角边定理时,可以通过运动，将三角形拼在一起,使学生找到证明的途径.在解答几何问题时，通过图形的运动,往往能找到证明的突破口。

4、用逻辑推理的方法，还可进一步探索图形的性质。

5、通过对角平分线的两条定理的类比，可以得出线段垂直平分线的相应定理,这两对定理是为逆命题逆定理的教学作准备的.因此对这两对定理,学生必须分清什么是条件,什么是结论,防止条件与结论之间混淆不清.

6、每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设,便可得到原命题的逆命题。在原命题与逆命题的教学中,要尽量避免对题设多于一个和结论多于一个的命题进行讨论.

7、对于勾股定理的逆定理,教材中是用构造法证明的.有了它,就可判定符合条件的三条边能构成直角三角形,并可得出哪个角是直角.但它并不能判定不符合条件的三条边（如3、4、6）不能构成直角三角形.只有学了反证法后,才能对此作出判断.§27.3 用推理方法研究四边形

1、本节利用逻辑推理的方法证明了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。

2、在平行四边形的判定和性质的教学中,可引导学生按边的关系、角的关系以及对角线的关系进行分类.引导学生根据已知条件的特点,正确合理地使用平行四边形的判定和性质定理,可以用平行四边形知识证明的问题,不要再倒退到用三角形的全等来证明.

3、教材将矩形和菱形放在一起进行类比，是为了更好地掌握矩形和菱形的特殊性质。

4、正方形既是矩形又是菱形,因此正方形具有矩形和菱形的所有性质.教学中要抓住正方形的这一本质.

5、反证法也是一种重要的证明方法.教材中通过简单的例子，使学生了解反证法的证明步骤，体会反证法的思想.

6、等腰梯形是一种特殊梯形，是日常生活中常见图形之一，因此教材专门对等腰梯形作了研究。在教学等腰梯形的有关定理时，可通过平移腰或对角线，将等腰梯形分解成平行四边形和等腰三角形，然后利用平行四边形和等腰三角形的有关知识证得结论，这就是教材中辅助线的由来。

7、三角形的中位线与三角形的中线是不同的概念.教学时要加强类比,还要注意加强梯形中位线与三角形中位线之间的对照.教材将梯形的中位线定理的证明转化为三角形的中位线问题,利用三角形中位线定理证明了梯形的中位线定理.事实上,将梯形的上底逐渐缩短而变为一点

时,梯形成了三角形,因此,三角形中位线定理是梯形中位线定理的特殊情况.

课题中点四边形

1、当原四边形ABCD的对角线互相垂直时,中点四边形EFGH是一个矩形，当原四边形ABCD的对角线相等时,中点四边形EFGH是一个菱形,当原四边形ABCD的对角线互相垂直且相等时,中点四边形EFGH是一个正方形.2.、三角形的面积是它的中点三角形的面积的4倍,四边形的面积是它的中点四边形的面积的2倍,那么五边形的面积是它的中点五边形的面积的多少倍呢？六边形呢？如果有条件的话，不妨让学生利用计算机中的数学软件探索一番，以增加动手探索的能力。事实上，五或六边形的面积与它的中点五或六边形的面积并没有固定的倍数关系.五、温馨提示：

对本章的教学可根据学生掌握逻辑推理能力的程度进行灵活的教学设计。

整理分析： 花地中学 黄永凤

2006年10月10日