数学模型应用问题(讲义及答案)

数学模型应用问题（讲义）  课前预习

1. 填写下列表格，并回忆相关概念．

名称 定义要点 变形依据 求解思路 转化成 x=a 的形式 通过 转化为一元一 次方程求解；常见方法有代入消元法和 一元一次 ①一元一次 等式的基本性质 方程 ②整式方程 二元一次方程组 ① 元 次 ②两个一组 分母中含有 的基本性质 分式方程 的基本性质 通过 转化为整式 方程求解，求解后需要 转化为一元一次方程求 解；主要解法：①直接开平方法；② ③ ；④ ； ． 一元二次方程 不等式 （组）

①整式方程 ③ 元 次 用 连接 的基本性质 ②化简整理 的基本性质 类比一元一次方程，转化 为 x  a 的形式 2. 解下列方程

(x 10)380 10(x 12)  1 750

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 知识点睛

应用题的处理思路

1. 理解题意，梳理信息 通过列表或画线段图等方式，对信息分类整理．

2. 辨识类型，建立模型 根据所属类型，围绕关键词、隐含的数学关系，建立数学

模型．

类型常考虑：

①所属的数学模型（方程不等式问题、函数问题、测量问题）； ②实际生活的背景（工程问题、行程问题、经济问题）．

常见关键词：

①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑方程； ②不超过、不多于、少于、至少……，考虑不等式（组）； ③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值……， 考虑函数（一次函数、二次函数），根据函数性质求取最值．

隐含的数学关系：

①原材料供应型（使用量≤供应量） ②容器容量型（载重量≥货物量）

3. 求解验证，回归实际 ①结果是否符合题目要求；

②结果是否符合实际意义．

 精讲精练

1.

某次地震后，为安置灾民，准备从某厂调拨用于搭建帐

篷的帆布 5 600 m2 和撑杆 2 210 m．

（1）该厂现有帆布 4 600 m2 和撑杆 810 m，不足部分计划安排 110 人进行生产．若每人每天能生产帆布 50 m2 或撑杆40 m，则应分别安排多少人生产帆布和撑杆，才能确保同时完成各自的生产任务？

（2）计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的帐篷共 100 顶，若搭建一顶甲型帐篷和一顶乙型帐篷所需帆布与撑杆的数量及安置人数如下表所示，则这 100 顶帐篷最多能安置多少灾民？

帐篷规格 甲型 乙型 帆布数量（m2） 撑杆数量（m） 安置人数 40 60 30 20 6 8

2.

现要把 228 吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货

车共 18 辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为 16 吨/辆和 10 吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：

运往地 车型 甲地（元/辆） 720 乙地（元/辆） 800 大货车

小货车 500 650 （ 1）求这两种货车各用多少辆． （2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地．设前往甲地的大货车为 a 辆，前往甲、乙两地的总运费为 w 元， 求出 w 与 a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）． （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．

3.

随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区

养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位数不断增加． （1）该市的养老床位数从 2013 年底的 2 万个增长到 2015 年底的 2.88 万个，求该市这两年（从 2013 年底到 2015 年底） 拥有的养老床位数的平均年增长率．

（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共 100 间，这三类养老专用房间分别为单人间（1 个养老床位），双人间（2 个养老床位），三人间（3个养老床位）．因实际需要，单人间房间数在 10 至 30 之间（包括 10 和 30），且双人间的房间数是单人间的 2 倍．设规划建造单人间的房间数为 t．

①若该养老中心建成后可提供养老床位 200 个，求 t 的值； ②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？

4.

旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用，假定

每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金 x （元）是 5 的倍数．发现每天的运营规律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆．已知所 有观光车每天的管理费是 1 100 元．

（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入-管理费）

（2）设每日净收入为 w 元，请写出 w 与 x 之间的函数关系式．

（3）若某日的净收入为 4 420 元，且使游客得到实惠，则当天的观光车的日租金是多少元？

5.

洛阳某校组织学生、家长代表与部分老师到郑州进行社会实

践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打 7.5 折，已知所有人员都买一等座单程火车票需 6 175 元，都买二等座单程火车票需 3 150 元；家长代表与老师的人数之比为 2:1．

运行区间 起点站 洛阳 终点站 郑州 票价 一等座 二等座 95（元） 60（元）

（1）参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？ （2）由于各种原因，二等座单程火车票只能买 x 张（x<参加社会实践的总人数），其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案， 并写出购买单程火车票的总费用 y 与 x 之间的函数关系式． （3）在（2）的方案下，请求出当 x=30 时，购买单程火车票的总费用．

【参】  课前预习

1. 二，一，等式，消元，加减消元法；

未知数，等式，去分母，检验；

一，二，等式，配方法，公式法，因式分解法； 不等号，不等式． x1  15，x2  45 2. （1）

x1  16，x2  12 （2）

 精讲精练

1.

（1）应安排 40 人生产帆布，70 人生产撑杆，才能确保同时完成各自的生产任务． 2.

（2）这 100 顶帐篷最多能安置 760 名灾民． （1）大货车 8 辆，小货车 10 辆．

（2）W=70a+11 550（0≤a≤8 且 a 为整数）． （3）总运费最少的货车调配方案：

大货车 甲地（辆） 5 乙地（辆） 3 小货车 4 6 即前往甲地的大货车 5 辆，前往甲地的小货车 4 辆，前往乙 地的大货车 3 辆，前往乙地的小货车 6 辆时，总运费最少， 3.

最少总运费为 11 900 元．

（1）该市这两年（从 2013 年底到 2015 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为 20%． （2）①t 的值为 25．

②该养老中心建成后最多提供养老床位 260 个，最少提供养老床位 180 个． 4.

（1）每辆车的日租金至少应为 25 元．

50x 1100（0  x ≤100且x 为5 的倍数） 

． （2） w  1 2

x 70x 1100（100  x ≤ 350且x 为5 的倍数）  5 （3）当天的观光车的日租金是 120 元．

5 人，家长代表有 10 人， （1）参加社会实践活动的老师有 学

生有 50 人．

（2）当 05.

等座学生票 x 张，其余学生、家长代表、老师买一等座火车票（65-x）张；

50≤x<65 时，最经济的购票方案为：学生都买二等座学生票 当 50 张，（x-50）名成年人买二等座火车票，（65-x）名成年人买一等座火车票．

50x  6175（0  x  50，且x 为整数） y   ．

x  65，且x 为整数） 35x  5 425（50 ≤

（3）当 x=30 时，购买单程火车票的总费用为 4 675 元．