高中数学必修一章末检测试卷(三)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f(x)＝

x－1

x－2

的定义域为( ) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)

答案 D

解析 根据题意有

x－1≥0，

≥1且x≠2.

x－2≠0，

解得x2．已知f x2－1

＝2x＋3，则f(6)的值为( )

A．15 B．7 C．31 D．17 答案 C

解析 令x

2

－1＝t，则x＝2t＋2.

将x＝2t＋2代入f x2－1

＝2x＋3， 得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.

所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31. 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( ) A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝1

x D．y＝x|x|

考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 判断函数的单调性、奇偶性 答案 D

4．若函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[－3,0)，则f(x)的值域为( A．[2,6] B．[2,6) C．[2,3] D．[3,6] 答案 B

解析 f(x)＝(x＋2)2＋2， 当x＝－2时，f(x)min＝2， 又f(－3)＝3，f(0)＝6，

所以f(x)在[－3,0)上的值域为[2,6)．

1 / 9

)

5．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于( ) A．2 B．－2 C．－3 D．3 考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数值 答案 C

解析 ∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数， ∴f(3)＝－f(－3)＝－3.

6．函数y＝3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为( ) A．9 B.932

2 C．3 D.2

答案 B

解析 因为3－aa＋6＝18－3a－a2 ＝

－a＋32

2＋81

4(－6≤a≤3)，

所以当a＝－32时，3－aa＋6的值最大，最大值为9

2

.故选B.

7．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( A．y＝1

22x

B．y＝4x C．y＝

28

x D．y＝

216

x 答案 C

解析 正方形边长为x

4

，

而(2y)2＝x42＋x4

2， 所以y2＝x2

32. 所以y＝x2

42＝8

x.

8．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法： ①f(0)＝0；

②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；

2 / 9

) ③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C

解析 ①f(0)＝0正确；②正确；③不正确；奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性． 9．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象不过原点，则m的取值范围为( ) A．1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1

答案 B

解析 由题意得



m－2≤0，m2－3m＋3＝1，

解得

m≤2，

2.

m＝1或m＝2，

∴m＝1或m＝10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2) C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)

答案 D

解析 设x<0，则－x>0， f(x)＝f(－x)＝x2－2(－x)＝x2＋2x. 故f(x)＝|x|(|x|－2)．

11．已知函数f(x)＝

x2＋2x，x<0，

x2－2x，x≥0，

若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是( )

A．[－1,1] B．[－2,0] C．[0,2] D．[－2,2]

答案 D

解析 方法一 依题意，可得

a>0，

－a2＋2－a＋a2－2a≤0

或

a<0

－a2－2－a或a＝0，



＋a2＋2a≤0



202

－2×0≤0，

解得－2≤a≤2.

方法二 f(x)是偶函数，其图象如图所示．

3 / 9

)

f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤0，即f(a)≤0. 由图知－2≤a≤2.

312．二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大2

小关系为( )

3A．g答案 A

a≠0，

解析 由题意得

－a＝－a2，

3B．g(0)23D．g(3)解得a＝1，

所以f(x)＝x2＋2，

所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.

因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以g(0)＝g(2)．

又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，

3所以g二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

113．若幂函数y＝f(x)的图象过点3，，则f(2)的值为________． 3

1答案 2

1解析 设幂函数为y＝xα，过点3，， 3

1

则＝3α，所以α＝－1， 3所以y＝x1， 1－

则f(2)＝21＝. 2

－

4 / 9

x，x14．设f(x)＝

x2，x≥a，

若f(2)＝4，则a的取值范围为________．

考点 分段函数 题点 分段函数求参数值 答案 (－∞，2]

解析 若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意． ∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.

15．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________. 答案 －10

解析 设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数， 则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，

于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，

所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.

16．若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有

<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f(x)＝

－x2，x≥0，



x2，x<0.

fx1－fx2

x1－x2

1

；(2)f(x)＝x2；(3)f(x)＝x

能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)

答案 (3)

解析 ①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1. (1)求f(m＋1)的值；

(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明． 解 (1)由f(1)＝2，f(2)＝－1， 得a＋b＝2,2a＋b＝－1，

即a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5， f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2. (2)函数f(x)在R上单调递减，证明如下： 任取x1则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)

5 / 9

＝3x1－3x2＝3(x1－x2)， 因为x1所以函数f(x)在R上单调递减．

18．(12分)已知f(x)＝2x2＋mx＋n(m，n为常数)是偶函数，且f(1)＝4. (1)求f(x)的解析式；

(2)若关于x的方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围． 解 (1)因为f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)(x∈R)，

即2(－x)2－mx＋n＝2x2＋mx＋n(x∈R)， 解得m＝0.

又f(1)＝4，所以2×12＋n＝4，解得n＝2. 所以f(x)＝2x2＋2.

(2)由(1)知f(x)＝2x2＋2，方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根， 转化为方程2x2－kx＋2＝0有两个不相等的实数根， 由Δ＝k2－16>0，解得k<－4或k>4.

所以实数k的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 1

1＋，x>1，x

19．(12分)已知函数f(x)＝x2＋1，－1≤x≤1，

2x＋3，x<－1.(1)求f(f(－2))的值； 3

(2)若f(a)＝，求a.

2

解 (1)因为－2<－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1， 所以f(f(－2))＝f(－1)＝2.

13

(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，所以a＝2>1；

a23

当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，

2所以a＝±2

∈[－1,1]； 2

3

当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，

2

6 / 9

3

所以a＝－>－1(舍去)．

4综上，a＝2或a＝±

2. 2

2－2m－m＋320．(12分)已知幂函数y＝f(x)＝x，其中m∈{x|－2(1)在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.

求同时满足条件(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,3]时，f(x)的值域． 解 因为m∈{x|－2因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足； 当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足． 因此m＝0，且f(x)＝x3在区间[0,3]上是增函数， 所以0≤f(x)≤27，故f(x)的值域为[0,27]．

21．(12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N*)：

x y

(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；

(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润．

30 60 40 30 45 15 50 0

解 (1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们分布在一条直线上．

7 / 9

设它们所在直线为y＝kx＋b(k≠0)，

50k＋b＝0，则

45k＋b＝15，

k＝－3，

解得

b＝150，

所以y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)， 经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上，

所以所求函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)． (2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30) ＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50，且x∈N*)．

所以当x＝40时，P有最大值300，即销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润． t

22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：

x

如果常数t>0，那么该函数在(0，t]上是减函数，在[t，＋∞)上是增函数． 4x2－12x－3

(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；

2x＋1

(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．

考点 函数的单调性、最值的综合应用 题点 单调性及最值的综合问题

4x2－12x－34

解 (1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，

2x＋12x＋1设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3， 4

则y＝u＋－8，u∈[1,3]．

u

1

由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减；

21

当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，

2

1所以f(x)的单调递减区间为0，， 21单调递增区间为，1； 2

8 / 9

111由f(0)＝－3，f ＝－4，f(1)＝－，

32得f(x)的值域为[－4，－3]． (2)g(x)＝－x－2a为减函数， 故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．

由题意得，当x∈[0,1]时，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，

所以

－1－2a≤－4，



－2a≥－3，

所以a＝32

.

9 / 9