厦门市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

厦门市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 四面体ABCD 中,截面 PQMN是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）

A．ACBD B．ACBD

C.ACPQMN D．异面直线PM与BD所成的角为45 2． 定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＞0的解集为（ ） A．（2，+∞）

B．（0，2） C．（0，4） D．（4，+∞）

3． 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）

＜0，且f（2）=4，则不等式f（x）﹣

A．﹣3 B．﹣ C． D．2

4． 已知抛物线C：y24x的焦点为F，定点A(0,2)，若射线FA与抛物线C交于点M，与抛 物线C的准线交于点N，则|MN|:|FN|的值是（ ）

A．(52):5 B．2:5 C．1:25 D．5:(15) 5． 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（ ） A．{5，8}

B．{7，9}

C．{0，1，3} C．1﹣2i D．1+2i

D．{2，4，6}

6． 已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（ ） A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i

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7． 已知M={（x，y）|y=2x}，N={（x，y）|y=a}，若M∩N=∅，则实数a的取值范围为（ ） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]

8． 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（ ） A．28

B．76

C．123 D．199

个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能值为（ ）

9． 将y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移A．

B．﹣

C．﹣

D．

10．设x，y满足线性约束条件的值为（ ） A．2

B．

C．

D．3

，若z=ax﹣y（a＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a

11．已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（ ）

A．C． （ ）

B．D．

12．e1,e2是平面内不共线的两向量，已知ABe1ke2，CD3e1e2，若A,B,D三点共线，则的值是A．1 B．2 C．-1 D．-2

二、填空题

13．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm） ．

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14．【南通中学2018届高三10月月考】定义在

对15．抛物线

恒成立，则

上的函数满足，为的导函数，且

的取值范围是__________________.

的两条渐近线所围成的三角形面积为__________

的准线与双曲线

16．B={x|﹣2＜x＜4}， ∩B=∅，设集合A={x|x+m≥0}，全集U=R，且（∁UA）求实数m的取值范围为 ．17．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过M作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.

（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；

（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值． 18．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记则S的最小值是 ．

，

三、解答题

19．在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4． （1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程； （2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．

（t为参数），以坐标原点为极点，

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20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为

极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．

21．根据下列条件求方程．

2

（1）若抛物线y=2px的焦点与椭圆

+

=1的右焦点重合，求抛物线的准线方程 +

（2）已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆

=1有相同的焦点，求此双曲线标准方程．

22．已知函数f（x）=loga（x2+2），若f（5）=3； （1）求a的值； （2）求

的值；

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（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．

23．已知函数g（x）=f（x）+（1）求实数a的值；

（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （3）设x1、x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b

24．已知数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2（1）求an和bn； （2）设cn=

*

（n∈N），记数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．

*

（n∈N），若{an}为等比数列，且a1=2，b3=3+b2．

﹣bx，函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直．

，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．

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厦门市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ//MN,QM//PN，则PQ//平面ACD,QM//平面BDA，所以PQ//AC,QM//BD,由PQQM可得ACBD，所以A正确；由于PQ//AC可得AC//截面所以C正确；因为PNPQ，所以ACBD，由BD//PN，所以MPN是异面直线PM与BDPQMN，

PNANMNDN0,所成的角，且为45，所以D正确；由上面可知BD//PN,PQ//AC，所以，而BDADACADANDN,PNMN，所以BDAC，所以B是错误的，故选B. 1 考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 2． 【答案】B

【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：∵f（2）=4，则2f（2）=8， f（x）﹣＞0化简得当x＜2时，

⇒

故得x＜2，

∵定义在（0，+∞）上．

∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）． 故选B．

【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．

3． 【答案】 B

【解析】解：由程序框图得：第一次运行S=

=﹣3，i=2；

成立． ，

＜0．

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第二次运行S==﹣，i=3；

第三次运行S==，i=4；

第四次运行S==2，i=5；

第五次运行S==﹣3，i=6，

…S的值是成周期变化的，且周期为4，

当i=2015时，程序运行了2014次，2014=4×503+2， ∴输出S=﹣． 故选：B．

【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据程序的运行功能判断输出S值的周期性变化规律是关键．

4． 【答案】D 【解析】

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考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.

【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的.

5． 【答案】B

【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，

所以CUA={2，4，6，7，9}，CUB={0，1，3，7，9}， 所以（CUA）∩（CUB）={7，9} 故选B

6． 【答案】A

【解析】解：由z•i=2﹣i得，故选A

7． 【答案】D 【解析】解：如图，

，

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M={（x，y）|y=2x}，N={（x，y）|y=a}，若M∩N=∅， 则a≤0．

∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]． 故选：D．

【点评】本题考查交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

8． 【答案】C

【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．

1010

继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a+b=123，．

故选C．

9． 【答案】D

【解析】解：将y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移

）的图象， ∴φ﹣

=kπ+

，即 φ=kπ+

，k∈Z，则φ的一个可能值为

，

个单位后，得到一个奇函数y=cos=cos（2x+φ﹣

故选：D．

10．【答案】B

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z， ∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0． 平移直线y=ax﹣z，

由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．

当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．

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此时a=． 故选：B．

11．【答案】 B

=

，

，

【解析】解：∵函数的周期为T=∴ω=

又∵函数的最大值是2，相应的x值为∴

=

，其中k∈Z

取k=1，得φ=

因此，f（x）的表达式为故选B

【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质，周期与相位等概念，属于基础题．

12．【答案】B 【解析】

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考点：向量共线定理．

二、填空题

13．【答案】

cm3 ．

【解析】解：如图所示， 由三视图可知：

该几何体为三棱锥P﹣ABC．

该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，

2

由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm，

由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，

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故几何体的体积V=×8×4=故答案为：

cm3

cm3，

【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．

14．【答案】

【解析】点

睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。 15．【答案】

【解析】【知识点】抛物线双曲线 【试题解析】抛物线双曲线所以

的准线方程为：x=2;

的两条渐近线方程为：

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故答案为：

16．【答案】 m≥2 ．

【解析】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以CUA={x|x＜﹣m}， 又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁UA）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2． 故答案为m≥2．

17．【答案】

【解析】解：（1）证明：l1的斜率显然存在，设为k，其方程为y－2pt2＝k（x－2pt）．① 将①与拋物线x2＝2py联立得， x2－2pkx＋4p2t（k－t）＝0，

解得x1＝2pt，x2＝2p（k－t），将x2＝2p（k－t）代入x2＝2py得y2＝2p（k－t）2，∴P点的坐标为（2p（k－t），2p（k－t）2）．

由于l1与l2的倾斜角互补，∴点Q的坐标为（2p（－k－t），2p（－k－t）2）， ∴kPQ＝

2p（－k－t）2－2p（k－t）22p（－k－t）－2p（k－t）

＝－2t，

即直线PQ的斜率为－2t.

x2x

（2）由y＝得y′＝，

2pp

2pt

∴拋物线C在M（2pt，2pt2）处的切线斜率为k＝＝2t.

p其切线方程为y－2pt2＝2t（x－2pt）， 又C的准线与y轴的交点T的坐标为（0， p

－）． 2p

∴－－2pt2＝2t（－2pt）．

2

11

解得t＝±，即t的值为±.

2218．【答案】

【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S=令3﹣x=t，t∈（2，3），

=

，（0＜x＜1）

．

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∴S=立； 故答案为：

==，当且仅当t=即t=2时等号成

．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵直线l的参数方程为∴直线l的普通方程为

．

（t为参数），

2

∵曲线C的极坐标方程是ρ=4，∴ρ=16， 22

∴曲线C的直角坐标系方程为x+y=16．

（2）⊙C的圆心C（0，0）到直线l：d=∴cos∵0∴

． =2，

， ，∴

，

+y﹣4=0的距离：

20．【答案】

2

【解析】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ=4ρsinθ， 将极坐标与直角坐标互化公式

代入上式，

22

整理得圆C的直角坐标方程为x+y﹣4y=0．

（2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，

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因为点M（﹣2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为代入圆C的方程中，得于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=即|MA|+|MB|=

．

， ．

，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得

＞0，t1t2=1＞0，

【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ，

2

ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，（x≠0）等．

2.参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．

3.运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为直线向上时，t=

21．【答案】

，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量；当

沿直线向下时，t=﹣

．

的数量，即当

沿

+

=1的右焦点为（2，0），

+

【解析】解：（1）易知椭圆

2

由抛物线y=2px的焦点（，0）与椭圆

=1的右焦点重合，

可得p=4，

2

可得抛物线y=8x的准线方程为x=﹣2．

（2）椭圆+=1的焦点为（﹣4，0）和（4，0），

﹣

=1（a，b＞0），

可设双曲线的方程为

22

由题意可得c=4，即a+b=16，

又e==2， 解得a=2，b=2

，

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则双曲线的标准方程为﹣=1．

【点评】本题考查圆锥曲线的方程和性质，主要是抛物线的准线方程和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．

22．【答案】

【解析】解：（1）∵f（5）=3， ∴

即loga27=3 解锝：a=3… （2）由（1）得函数则即为化简不等式得

∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且

22

∴x+2＜x+4x+6…

，

， …

…

的定义域为R．

=

（3）不等式f（x）＜f（x+2），

即4x＞﹣4， 解得x＞﹣1，

所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…

23．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）=x+alnx， ∴f′（x）=1+，

∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直， ∴k=f′（x）|x=1=1+a=2， 解得a=1．

2

（2）∵g（x）=lnx+x﹣（b﹣1）x，

∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=

由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，

，x＞0，

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即x++1﹣b＜0有解， ∵定义域x＞0， ∴x+≥2， x+＜b﹣1有解，

只需要x+的最小值小于b﹣1， ∴2＜b﹣1，

解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．

2

（3）∵g（x）=lnx+x﹣（b﹣1）x，

∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=

由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解， x1+x2=b﹣1，x1x2=1，

2

∵x＞0，设μ（x）=x﹣（b﹣1）x+1，

，x＞0，

22

则μ（0）=[ln（x1+x1﹣（b﹣1）x1]﹣[lnx2+x2﹣（b﹣1）x2]

=ln=ln=ln

+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2） +（x12﹣x22）﹣（x1+x2）（x1﹣x2） ﹣（

﹣

），

∵0＜x1＜x2， ∴设t=

，0＜t＜1，

令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1， 则h′（t）=﹣（1+

）=

＜0，

∴h（t）在（0，1）上单调递减，

2

又∵b≥，∴（b﹣1）≥

，

由x1+x2=b﹣1，x1x2=1， 可得t+≥

，

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2

∵0＜t＜1，∴由4t﹣17t+4=（4t﹣1）（t﹣4）≥0得0＜t≤，

∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣4）=故g（x1）﹣g（x2）的最小值为

﹣2ln2，

﹣2ln2．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．

24．【答案】

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2∴∴b1=1，

32

又b3=3+b2．∴2=2q，解得q=2． n

∴an=2．

*

（n∈N），a1=2，

，，

=2q＞0，

， =2q2，

∴∴（2）cn=

=a1•a2•a3…an=2×22×…×2n=

． ==

=

﹣

，

，

﹣+…+

∴数列{cn}的前n项和为Sn=

=﹣2

==

﹣

﹣2+﹣1．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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