黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第四次模拟考试数学(理)试题含答案

模拟考试数学（理）试题

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时

间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字

笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，

在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．)

1. 若复数z12i，则复数z的模等于 A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 2. 设集合Axylog2(x1)，Byy2x，则AB

 D.1,2A.0,2 B.1,2 C.1，

3. 已知数列{an},那么“对于任意的nN，点Pn(n,an)都在曲线y3上”是“数列

x{an}为等比数列”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 对于平面和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是 A．如果m,n∥，m、n共面，那么m∥n B．如果m,n与相交，那么m、n是异面直线 C．如果m,n，m、n是异面直线，那么n∥ D. 如果m，nm，那么n∥

1

5. 若圆x1y1r2上有且只有两个点到直线xy10的距离等于半径r的取值范围是 A.

222,则22,22 B.

2,22 C. 2,22 D.2,22

6. 下面几个命题中，真命题是 A.“若xy,则

11

”的否命题； xy

B.“a1，函数ylogax在定义域内单调递增”的否定；

C.“是函数ysinx的一个周期”或“的一个周期”；

D.“xy1”是“xy1”的必要条件

7. 执行如图所示的程序框图，若输出S16，则框图中①处 可以填入

S0,n1 SSn nn2 否 A.n2 B.n4 C.n6

D.n8

开始 是函数ysin2x 2①？ 是 输出S 结束 8. 已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回

地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，

2

第二次也抽到红球的概率是 A.

1321B.C.D. 255529. 已知数列an的前n项和Sn满足Sn2n-n，则数a2n的前10项和等于

A.380 B.390 C. 400 D. 410

10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为

2 4 正视图

3 侧视图

俯视图

A.36 B.30 C.29 D.20 11. 已知函数f(x)sin(x3)0，若函数fx在区间，上为单调递减函32数，则实数的取值范围是 A.[,2115112325] B. [,] C. [,] D. [,] 39693436

12. f(x)为定义在R上的偶函数，f(x)为其导函数，当x0时，有f(x)1f(x)且f(-1)-，则下列结论正确的是ex成立，ex

A.f(x)在(0，)单调递增 B.f(x)在(0，)单调递减 C.f(x)在(,0)有极大值 D.f(x)在(,0)有极小值

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）

3

（x13.二项式

2x)6的展开式中常数项为 14. 已知随机变量X服从正态分布N(1.5,2)，P(X2.5)0.78，则P(X0.5)

15. 已知P为ABC内一点，满足PAPB2PC0，则PAB和ABC的面积比为 16.已知ann(1b)3b2(b1,n2)，若对不小于4的自然数n，恒有不等式

bn1an1an成立，则实数b的取值范围是

17. （本小题满分12分）

在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 sinAsinCsinB3sinAsinC.

（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）点D在线段BC上，满足DADC，且BC11，cosAC段DC的长.

18． （本小题满分12分）

为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格： 日期 温差x/℃ 发芽数y/颗 4月1日 12 26 4月2日 11 25 4月3日 13 30 4月4日 10 23 4月5日 8 16 2225，求线5（Ⅰ）从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率； （Ⅱ）请根据4月1日，4月2日，4月3日这3天的数据，求出y关于x的线性回归

4

ˆaˆbxˆ； 方程y（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程， 预测温差为16C时，种子发芽的颗数.

ˆ（参考公式：bxyii1ni1ninxy2ˆx） ˆyb，axinx2

19. （本小题满分12分）

如图，四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形， DABDBF60，且

FAFC．

（Ⅰ）求证：FC∥平面EAD； （Ⅱ）求二面角DFCB的余弦值.

20. （本小题满分12分）

ADBCEFy2x2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：221ab0经过点A3,0和点

abB0,2，斜率为kk0的直线经过点P2，0且交E于M,N两点.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）当AOM与AON面积比值为，求实数的取值范围.

5

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)4lnxax1(aR)． x（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程与直线x4y10垂直， 求a的值；

（Ⅱ）若f(x)在(0,)上为单调递减函数，求a的取值范围； （Ⅲ）设0mn，求证：

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，将圆O:xy4上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的

222lnnlnm4nm1． mn1，得到曲线C. 2（Ⅰ）求曲线C的参数方程；

（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线0与圆O和曲线C分别交于点A,B，求AB的最大值.

23. （本小题满分10分）

已知函数fx（Ⅰ）当ttx2tx1（aR）

1时，解不等式f(x)1；

bcm（Ⅱ）若对任意实数t，fx的最大值恒为m，求证：对任意正数a,b,c，当a时，abcm .

6

参考答案

一、选择题：

1-12：ACAAB DDCDC BA 二、填空题

13. 240； 14. 0.22； 15. 1:2； 16. （3， ）三、解答题

17. 解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，acb3ac所以cosB因为B0,，所以B2223. 26..............................................6分

（Ⅱ）由条件.由cosAC525sinAC。设ADx，则CDx， 55BD11x，在ABD中，由正弦定理得

故BDAD. sinBADsinB11xxx455.所以ADDC455...................12分 12525C32718.解：（Ⅰ）P12；……………… 4分

C510（Ⅱ）y^5x3； ……………… 9分 2^（III）x16时，y37，种子发芽数为37 ………………12分 19解：（Ⅰ）因为FB//ED,ED平面EAD,FB平面EAD,所以FB//平面EAD

同理BC//平面EAD, …………………………..3分

又FBBCB,FB平面EAD,BC平面EAD,所以平面FBC/平面EAD 又FC平面FBC,所以FC//平面EAD ………………………….6分

（Ⅱ）设ACBDO,易证FO平面ABCD,又ACBD 以O为圆心,OB,OC,OF分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则 易得平面FCB的一个法向量为n1(3,1,1),

7

平面FCD的一个法向量为n2(3,1,1),……………………8分 则二面角余弦值为

1 …………………………………….12分 5y2x21…………………………..4 20. 解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为43（Ⅱ）设点Mx1,y1，Nx2,y2

y2x21，有(3k24)y216ky4k20 43yk(x2)16kyy2213k4 有2y1y24k3k24且256k16k3k400k4…..………..6

2222

SAOMyy21y2y1y1y21 2SAONy2y1y2y2-16k1y264123k242有…..…………….……………….8 24k3k42y223k4那么有实数的范围是7-43,11,743……………………………….12

21．解：（Ⅰ）fx41a2,f14a13a4， xx所以，a1. …………………………..3分.

4114a20在0,恒成立，即a2在0,xxxx14恒成立.设gx2,x0,，则agxmax。 xx（Ⅱ）由题意fx1gx244,，所以a4. ………………………….7分

x8

22lnnlnm（III）因为0mn，不等式

4nmlnnn1m2.令tmm2n214nmlnnlnm,即mn2mnn1122，则t1，则lnt2t,即4lnt4t0. m2tt令ht4lnt4t11t1，由（Ⅱ）知，fx4lnx24x在0,上单调递tx2lnnlnm4nm1mn减，所以当t1时，不等式hth130.故当0mn时，成立。…………………………..12分

x2cos为参数 22. 解：（Ⅰ）圆的参数方程为y2sin 根据题意，曲线C的参数方程为x2cos为参数……………………………….4

ysin213sin2（（2,） （Ⅱ） 令，则极坐标系中A，B

213sin2,）

则AB2-，当2是AB取最大值1………….…………….10

23. 解：（Ⅰ）t1时，fxx2x1

3,x1fx2x1,1x2 所以fx1，解集为0，……….5

3（Ⅱ）由绝对值不等式得tx2tx1tx2tx13 所以fx最大值为3，

abc1a1b1c当且仅当abc1时等号成立。……….10

1a1b1c3abc3 22229