高中物理奥林匹克竞赛专题---相对论习题及答案

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（2）如有另一事件发生于 S系中 t = 3.0×107 s，x = 10 m处，在 S′系中测得这两个事件的

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时间间隔为多少？

题16.1解：（1）由洛伦兹变换可得S′系的观察者测得第一事件发生的时刻为

（2）同理，第二个事件发生的时刻为 所以，在S′系中两事件的时间间隔为

题16.2：设有两个参考系S和S′，它们的原点在t = 0和t′ = 0时重合在一起。有一事件，在 S′

系中发生在 t′ = 8.0×108 s，x′ = 60 m，y′ = 0，z′ = 0处，若S′系相对于S系以速率v = 0.6c沿xx′轴运动，问该事件在S系中的时空坐标各为多少？

题16.2解：由洛伦兹逆变换得该事件在S系的时空坐标分别为 题16.3：一列火车长 0.30 km（火车上观察者测得），以 100 km/h的速度行驶，地面上观察

者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端。问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两端的时间间隔为多少？

题16.3解：设地面为S系，火车为S′系，把闪电击中火车前后端视为两个事件（即两组不同

的时空坐标）。由洛伦兹变换可得两事件时间间隔为

t2t1(t2't1')v(x'2x1')c2（1）

221v/c t2't1'(t2t1)v(x2x1)c2（2）

221v/c 利用这两式都可以得到结果。

解法1：由题意闪电在S系中的时间间隔t = t2 t1 = 0。两事件在 S′系中的空间间隔即火车

的长度为Δx′ = x2′ x1′ = 0.30  103 m。则由（1）式可得 负号说明火车上的观察者测得闪电先击中车头x2′ 处。

解法2：可利用（2）式求解，此时应注意式中x2x1为地面观察者测得两事件的空间间隔，v即S系中测得的火车长度，而不是火车原长。根据长度收缩效应有x2x1(x2'x1')1c考虑这一关系由（2）式可得

结果与解法1相同，相比之下解法1较简单，这是因为解法1中直接利用了x2x1 = 0.3 km这一已知条件。

2题16.4：在惯性系 S中，某事件 A发生在x1处，2.0  106 s后，另一事件 B发生在 x2处，

已知 x2xl = 300 m。问：（1）能否找到一个相对 S系作匀速直线运动的参考系S′，在S′系中，两事件发生在同一地点？（2）在S′系中，上述两事件的时间间隔为多少？

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题16.4解：设惯性系S′以速度v相对S系沿x轴正向运动，因在S系中两事件的时空坐标已

知，由洛伦兹时空变换式，可得 （1）令x2'x1'0，由式（1）可得 （2）将v值代入式（2），可得 这表明在S′系中事件A先发生

题16.5：设想有一粒子以0.050c的速率相对实验室参考系运动。此粒子衰变时发射一个电子，

电子的速率为0.80c，电子速度的方向与粒子运动方向相同。试求电子相对实验室参考系的速度。

题16.5解：由洛伦兹速度逆变换式可得电子相对S系的速度为

题16.6：设在宇航飞船中的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为1.2  108 m/si。

同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为 1.0  108 m/si。问：（l）此火箭相对宇航飞船的速度为多少？（2）如果以激光光束来替代空间火箭，此激光光束相对宇航飞船的速度又为多少？请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比较，并理解光速是运动体的极限速度。

题16.16解：设宇航飞船为S系，航天器为S′系，则S′系相对S系的速度v = 1.2  108 m/s，

空间火箭相对航天器的速度为u'x1.0108ms1，激光束相对航 天器的速度为光速c。 由洛伦兹变换可得：

（1） 空间火箭相对S系的速度为 （2） 激光束相对S系的速度为

即激光束相对宇航飞船的速度仍为光速c，这是光速不变原理所预料的。如用伽利略变换，则有uxcvc。

这表明对伽利略变换而言，运动物体没有极限速度，但对相对论的洛伦兹变换来说，光速是运动物体的极限速度

题16.7：在惯性系S中观察到有两个事件发生在同一地点，其时间间隔为4.0 s，从另一惯性

系S中观察到这两个事件的时间间隔为6.0 s，试问从S′系测量到这两个事件的空间间隔是多少？设S′系以恒定速率相对S系沿xx'轴运动。

题16.7解：由题意知在 S系中的时间间隔为固有时，即Δt = 4.0 s，而Δt′ = 6.0 s。根据时间

延缓效应的关系式

可得S′系相对S系的速度为 两事件在S′系中的空间间隔为

题16.8：在惯性系S中，有两个事件同时发生在xx'轴上相距为 1. 0  103 m的两处，从惯性

系 S′观测到这两个事件相距为 2. 0  103 m，试问由 S′系测得此两事件的时间间隔为多少？

题16.8解：设此两事件在S系中的时空坐标为（xl, 0, 0, t1）和（x2, 0, 0, t2），且有

x2x11.0103m，t2t10。而在 S′系中，此两事件的时空坐标为(x'1，0,0,t'1)和

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(x'2,0,0,t'2)，且x2'x1'2.0103m,，根据洛伦兹变换，有

x2'x1'(x2x1)v(t2t1)1v/c22 （1）

(t2t1)

t2't1'1v2/c2v(x2x1)c2 （2）

由式（1）可得

将v值代人式（2），可得

题16.9：若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，试问宇宙飞船相对此惯

性系的速度为多少？（以光速c表示）

题16.9解：设宇宙飞船的固有长度为l0，它相对于惯性系的速率为v，而从此惯性系测得宇宙飞船的长度为l02，根据洛伦兹长度收缩公式，有 可解得

题16.10：一固有长度为 4.0 m的物体，若以速率0.60c沿x轴相对某惯性系运动，试问从该

惯性系来测量，此物体的长度为多少？

题16.10解：由洛伦兹长度收缩公式

题16.11：半人马星座星是离太阳系最近的恒星，它距地球为4.3×1016 m。设有一宇宙飞船自地球往返于半人马星座星之间。（1）若宇宙飞船的速率为0.999C，按地球上时钟计算，

飞船往返一次需多少时间？（2）如以飞船上时钟计算，往返一次的时间又为多少？

题16.11解：（1）以地球上的时钟计算，飞船往返一次的时间间隔为

（2）以飞船上的时钟计算，飞船往返一次的时间间隔为

题16.12：若一电子的总能量为5.0 MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率。 题16.12解：电子静能为

电子动能为

由E2p2c2E0，得电子动量为 v2由EE01c2－122可得电子速率为

题16.13：一被加速器加速的电子，其能量为 3. 00  109 eV。试问：（1）这个电子的质量是

其静质量的多少倍？（2）这个电子的速率为多少？

题16.13解：（1）由相对论质能关系Emc2和E0m0c2可得电子的动质量m与静质量m0

之比为

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v2（2）由相对论质速关系式mm01c2－12可解得

可见此时的电子速率已十分接近光速了

题16.14：在电子偶的湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射。

假定正负电子在湮没前均静止，由此估算辐射的总能量E。

题16.14解：辐射总能量为 题16.15：如果将电子由静止加速到速率为0.10c，需对它作多少功？如将电子由速率为0.80 c

加速到0.90c，又需对它作多少功？

题16.15解：由相对论性的动能表达式和质速关系可得当电子速率从 v1增加到v2

时，电子动能的增量为

根据动能定理，当v1 = 0， v2 = 0.10c时，外力所作的功为 当v1 = 0.80c，v2 = 0.90c时，外力所作的功为

由计算结果可知，虽然同样将速率提高0.1c，但后者所作的功比前者要大得多，这是因为随着速率的增大，电子的质量也增大。

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