常用高等代数公式——精简版

高等数学公式

导数公式：

(tgx)sec2x(arcsinx)1(ctgx)csc2x1x2(secx)secxtgx(arccosx)1(cscx)cscxctgx1x2(ax)axlna(arctgx)11x2(log)1axxlna(arcctgx)11x2基本积分表：

tgxdxlncosxCdx2ctgxdxlnsinxCcos2xsecxdxtgxCsecxdxlnsecxtgxCdxcsc2sin2xxdxctgxCcscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxCdxcscxctgxdxcscxCa2x21aarctgxaCaxdxaxdx1xlnaCx2a22alnaxaCshxdxchxCdxa2x21ax2alnaxCchxdxshxCdxa2x2arcsinxaCdxx2a2ln(xx2a2)C22Innnsinxdxcosxdxn100nIn22x2a2dxx2x2a2a2ln(xx2a2)Cx2a2dxx22a22xa2lnxx2a2Ca2x2dxx22a2x2ax2arcsinaC三角函数的有理式积分：

sinx2u1u2，　cosx1u21u2，　utgx2du2，　dx1u2

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一些初等函数： 两个重要极限：

exex双曲正弦:shx2exex双曲余弦:chx2shxexex双曲正切:thxchxexexarshxln(xx21）archxln(xx21)11xarthxln21x

三角函数公式： ·诱导公式：

函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin limsinx1x0x1lim(1)xe2.718281828459045...xxcos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -ctgα ctgα tgα -ctgα ctgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -tgα tgα -ctgα -tgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1tgtgctgctg1ctg()ctgctgsinsin2sin22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22cos

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·倍角公式：

sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2

·半角公式：

sin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg313tg2sintg21cos1cos　　　　　　　　　　　　cos2221cos1cossin1cos1cossin　　ctg1cossin1cos21cossin1cosabc2R ·余弦定理：c2a2b22abcosC sinAsinBsinC2

·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx2arccosx　　　arctgx2arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：Klim.

23s0sds(1y)直线：K0;1半径为a的圆：K.a . .. . .w

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定积分的近似计算：

b矩形法：f(x)abba(y0y1yn1)nba1[(y0yn)y1yn1]n2ba[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]

梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a3n定积分应用相关公式：

功：WFs水压力：FpA引力：Fkm1m2r2,k为引力系数

函数的平均值：y1bbaf(x)dxab均方根：12baf(t)dta空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：dM21M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。Prjau(1a2)Prja1Prjaab2abcosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosaxbxaybyazbza22222xayazbxbyb2zjkcabiaxayacabsin.例：线速度：vwrz,.bxbybzayaz向量的混合积：[abc](ab)caxbxbybbczacos,为锐角时，cxcycz 代表平行六面体的体积。 . .. . .w

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1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD0xyz3、截距世方程：1abc平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2平面的方程：xx0mtxxyy0zz0空间直线的方程：0t,其中s{m,n,p};参数方程：yy0ntmnpzzpt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2221abcx2y22、抛物面：z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2221abcx2y2z2双叶双曲面：222（马鞍面）1abc

多元函数微分法及应用

全微分：dzzzuuudxdy　　　dudxdydzxyxyz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvzf[u(t),v(t)]　　　　dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，uuvvdudxdy　　　dvdxdy　xyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0，　　，　　2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFzz隐函数F(x,y,z)0，　x，　　xFzyFz

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FF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组：　　　JGG(x,y,u,v)0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)　　　　xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)　　　　yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：

FvFuGGuvFvGv

x(t)xxyy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t)(t)(t0)00z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T{,,GGGxGxyzGzG(x,y,z)0曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

FyGy}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0fff函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ffijxyf它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值ACB0时，　　　　　　无极ACB20时,　　　　　　　不确定

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重积分及其应用：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf(x,y)的面积ADzz1dxdyxy22平面薄片的重心：xMxMx(x,y)dD(x,y)dDD,　　yMyMy(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,　　对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：FxfD(x,y)xd(xya)2222，　　Fyf3D(x,y)yd(xya)2222，　　Fzfa3D(x,y)xd(xya)22322柱面坐标和球面坐标：

xrcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,　　　zz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐标：yrsinsin，　　dvrdrsinddrrsindrddzrcos2r(,)2F(r,,)rsindr0f(x,y,z)dxdydzF(r,,)rsindrdddd002重心：x1Mxdv,　　y1Mydv,　　z1Mzdv，　　其中Mxdv转动惯量：Ix(y2z2)dv，　　Iy(x2z2)dv，　　Iz(x2y2)dv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(t),则：y(t)Lxt22f(x,y)dsf[(t),(t)](t)(t)dt　　()　　特殊情况：y(t) . .. . .w

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)设L的参数方程为，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：()dxdyPdxQdy格林公式：()dxdyPdxQdyxyxyDLDLQP1当Py,Qx，即：2时，得到D的面积：Adxdyxdyydxxy2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：QP在＝时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP＝。注意奇点，如(0,0)，应xy

u(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0y00。曲面积分：

22对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1z(x,y)z(x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；DxyP(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式：

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(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz高斯公式的物理意义——通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失...xy通量：AzndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(RyQz)dydz(PzRx)dzdx(QxPy)dxdyRdzPdxQdydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：RQPRQPyz，　zx，　xy

旋度：rotAijkxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzAtds常数项级数：

1qq2qn11qn等比数列：1q等差数列：123n(n1)n2 调和级数：112113n是发散的级数审敛法：

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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n

交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理：unun1如果交错级数满足su1,其余项rn的绝对值rnun1。limu0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛：

(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1　　级数：n2收敛；ｐ１时发散1　　p级数：np　　p1时收敛幂级数：

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1x1时，收敛于1x1xx2x3xn　　x1时，发散对于级数(3)a0a1x　a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定10时，R求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Rnan时，R0函数展开成幂级数：

f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!f(n1)()余项：Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxx2!n!一些函数展开成幂级数：

m(m1)2m(m1)(mn1)nxx　　　(1x1)2!n! 2n1x3x5xsinxx(1)n1　　　(x)3!5!(2n1)!(1x)m1mx欧拉公式：

eixeixcosx2 eixcosxisinx　　　或ixixsinxee2三角级数：

a0f(t)A0Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[,]上的积分＝0。傅立叶级数：



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a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期22n11(n0,1,2)anf(x)cosnxdx　　　其中b1f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)n112122835　111224224262正弦级数：an0，bn余弦级数：bn0，an11121222（相加）623411121222（相减）12234f(x)sinnxdx　　n1,2,3　f(x)b0

2nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdx　　n0,1,2　f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

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a0nxnxf(x)(ancosbnsin)，周期2l2n1lll1nxdx　　　(n0,1,2)anf(x)coslll其中lb1f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)nlll

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，yCeP(x)dxP(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edxC)e

dy2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dx全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydyP(x)Q(x)yf(x)， 2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r2 . .. . .w

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3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r1，r2的形式 两个不相等实根(p4q0) 两个相等实根(p4q0) 一对共轭复根(p4q0) 222(*)式的通解 yc1er1xc2er2x y(c1c2x)er1x yex(c1cosxc2sinx) r1i，r2i4qp2 p，22二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

§3-6 常用积分公式表·例题和点评

kdxkxc (k为常数)

1⑵xdx(1)xc 1⑴

1特别，

11dxc, 2xx1dxln|x|c xx2xdxx2c,

331xdx2xc

⑶

axc, 特别，exdxexc ⑷adxlna⑹cosxdxsinxc 1⑺

sinxdxcscxdxcotxc

1⑻

cosxdxsecxdxtanxc

⑸sinxdxcosxc

2222 . .. . .w

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⑼

1ax22dxarcsinxc(a0),特别，a11x2dxarcsinxc

⑽

11x1,特别，dxarctanc(a0)dxarctanxc

aaa2x21x2⑾

11axdxlnc(a0)

2aaxa2x211xadxlnc(a0)

2axax2a2或

tanxdxlncosxc

⒀cotxdxlnsinxc ⑿

⒁cscxdxlncscxcotxc1dx xlntancsinx2⒂

secxdx1x2a222lnsecxtanxc1dx xlntanccosx24(a0)⒃

dxlnxx2a2c

⒄

a2xx2axdxarcsinax2c

2a2(a0)⒅

xa222xadxxalnxx2a2c

2222(a0)asinbxbcosbxaxaxesinbxdxec22ab⒆

bsinbxacosbxeaxcosbxdxeaxc22ab⒇

1x2n3dxn1c（递推公式） n(a2x2)n2(n1)a2(a2x2)n12(n1)a2跟我做练习

(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24 含根式axbxc的积分

. .. . .w

2 . .. . .

⑴

x24x5dx(x2)21d(x2)[套用公式⒅]

x21(x2)21ln(x2)(x2)21 22⑵xx24x5dx12(2x4)4x24x5dx

12⑶

x24x5d(x24x5)21x24x5dx

(请你写出答案)

1x24x5dx(x2)21(x2)(x2)21 d(x2)ln[套用公式⒃]

⑷

1dx2x24x5x(2x4)41dx2x24x5d(x24x5)x4x5221x4x52dx

(请你写出答案)

⑸

54xxdx232x2x223(x2)2 3(x2)d(x2)arcsin23222[套用公式⒄]

⑹

x54xx2dx12(42x)454xx2dx

1254xx2d(54xx2)254xx2dx

(请你写出答案)

⑺

dx54xx2d(x2)32(x2)2[套用公式⑼]arcsinx2 3⑻

154xx22xdx(42x)4dx54xx212d(54xx2)54xx22dx54xx2 (请你写出答案)

例25 求原函数解 因为

1dx. 1x41x4(12x2x4)2x2(1x2)2(2x)2(12xx2)(12xx2)

. .. . .w

. .. . .

所以令

1AxBCxD(A,B,C,D为待定常数）1x4x22x1x22x1

(AxB)(x22x1)(CxD)(x22x1)x22x1x2x12 从恒等式(AxB)(x22x1)(CxD)(x22x1)1(两端分子相等)，可得方程组

BD1(常数项)A2BC2D0（一次项系数）2AB2CD0（二次项系数）AC0（三次项系数）解这个方程组(在草纸上做)，得A

122,B111,C,D. 因此， 2222右端的第一个积分为

1dx41x1222dx2x2x1x11222dx 2x2x1x1

111222dxx22x142x1(2x2)2x22x11dx142(2x2)dx1x22x14x212x1dx

42142d(x22x1)124x2x1x212222dx(套用积分公式)

ln(x22x1)122arctan(2x1)

类似地，右端的第二个积分为

11x112222dxln(x2x1)arctan(2x1) 2x2x14222所以

1x22x1111lnarctan(2x1)arctan(2x1) dx421x42x2x12222 . .. . .w

. .. . .

x22x112xln2arctan（见下注）

1x242x2x1221【注】根据tan()tantan,则

1tantantanarctan(2x1)arctan(2x1)因此,

(2x1)(2x1)22x2x 1(2x1)(2x1)2(1x2)1x2arctan(2x1)arctan(2x1)arctan2x 21x例26 求

dxdx(01). [关于(01)，见例17]

1cosx1cosx解 令ttanx(半角替换)，则 221txxx22 cosxcossin22cos211122221t2x2xsec1tan222dxd(2arctant)dt 21t2于是，

dx1cosx12dt2dt21t21t2(1)(1)t2111t21t1dt

2212arctan21x1tcarctantanc

211212【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数yy(x)的导数或微分可以用一个“构造性”的公式

y(x)limh0y(xh)y(x) 或dyy(x)dx

h确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如

ex2dx,1dx,lnxexdx,xsinxdx等 x都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难

. .. . .w

. .. . .

得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.

. .. . .w