高阶导数和高阶微分泰勒公式

1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数

yy(x)的n阶导数就是

y(n)(x)[y(n1)y(n1)(xh)y(n1)(x)(x)]lim y(0)(x)y(x) h0h而n阶微分就是

dnyd[dn-1y]d[y(n1)(x)dxn1][y(n)(x)dx]dxn1y(n)(x)dxn (x是自变量；dx被看成与x无关的有限量)

因此，按照莱布尼茨的记法，函数yy(x)的n阶导数y(n)(x)也可记成

dny(x)dny 或简记成 n (注意) ．．n的位置．．．ndxdx这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n阶导数与n阶微分的关系中.

例33 因为指数函数ex的导数(ex)ex，所以(ex)(ex)ex. 依次类推，则有

(ex)(n)ex,dn(ex)(ex)(n)dxnexdxn(n1,2,)

ysinxsin2x,22 例34 对于函数ysinx，则

 ycosxsinx,2一般地，

nnx； dnyy(n)dxnsinxdxn(n1,2,). y(n)sin22同理，对于函数ycosx，有

nnx； dnyy(n)dxncosxdxn(n1,2,). y(n)cos22例35 对于函数yln(1x)，则

y一般地，

1122,y,y(1),231x(1x)(1x)(1)n1

(n1)!(n1,2,)

(1x)nn(n)nn1(n1)!n （n阶微分）dyydx(1)dx(n1,2,) n(1x) （n阶导数）y(n)例36 设函数f(x)e1x2(x0),f(0)0.证明：f(n)(0)0(n1,2,).

证 一方面，函数f(x)在点0是连续的，因为

limf(x)x011ux21xlimelim2x0ueu0f(0)

另一方面，

x0limf(x)12limexx012ueu22u36u2u3lim2lim3lim22ueuu2ueuueuxu21ux 3lim0f(0) [点0的导数等于点0近旁导数的极限]

因此，一阶导数f(x)在点0是连续的. 一般地，当x0时，

1122f(x)3ex,x容易看出，对于任何正整数n，

1624f(x)64ex,xx

1x2(n) [其中P(u)为关于u的多项式] f(x)Pex且根据洛必达法则，

P(u)P(u)lim0 2uu2x0uueu(e)于是，因为一阶导数f(x)在点0是连续的，根据式(※)，所以f(0)limf(x)0且f(x)在

(※) limf(n)(x)limP(u)eulim21uxx0点0也是连续的.依次类推(或用数学归纳法)，可得

f(n)(0)limf(n)(x)0

x02.泰勒公式 一个n次多项式

P(x)b0b1(xa)b2(xa)2b3(xa)3中，它的系数bk(k0,1,2,bn(xa)n

,n)与P(x)有什么关系呢？显然，b0P(a)；又因为

P(x)b12b2(xa)3b3(xa)2P(x)2b232b3(xa)nbn(xa)n1

n(n1)bn(xa)n2

P(x)32b3

n(n1)(n2)bn(xa)n3

321bn

P(n)(a)， bn

n!P(n)(a)(xa)n

n!P(n)(x)n(n1)(n2)所以，

P(a)P(a)， b3，b1P(a)， b22!3!因此，

P(a)P(a)P(a)P(x)P(a)(xa)(xa)2(xa)31!2!3!⑴带皮亚诺余项的泰勒公式 对于一般的函数f(x)，若它在某点a有一阶导数f(a)(即可微分)，根据定义，则有

f(ax)f(a)f(a)xo(x)

即(xxa)

f(x)f(a)f(a)(xa)o[(xa)]

若函数f(x)在点a有二阶导数f(a)，令

f(a)f(a)R(a,x)f(x)f(a)(xa)(xa)2

1!2!则有

f(a)f(a)f(x)f(a)(xa)(xa)2R(a,x)1!2!0 limlimxa(xa)2xa(xa)20lim[f(x)f(a)]f(a)(xa)01f(x)f(a)limf(a)0 xaxa2(xa)xa02即R(a,x)o[(xa)2]. 因此，

f(x)f(a)f(a)f(a)(xa)(xa)2o[(xa)2] 1!2!一般地，用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).

泰勒定理1 若函数f(x)在点a有n阶导数f(n)(a)，则函数f(x)在点a有展开式

f(a)f(a)f(n)(a)2f(x)f(a)(xa)(xa)(xa)no[(xa)n]

1!2!n!与上面多项式的情形不同，这里多出最后的“余项”o[(xa)n]，称它为皮亚诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数f(x)在点a带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.

需要指出，习惯上把函数f(x)在点0的泰勒公式

f(0)f(n)(0)nf(x)f(0)xxo(xn)

1!n!称为麦克劳林(Maclaurin)公式

x（*）

.特别，根据例33、例34和例35中的高阶导数公式，则有

xno(xn)， n!x2n1n1(1)o(x2n1)，

(2n1)!2nnx(1)o(x2n)， (2n)!nn1x(1)o(xn).

n⑵带拉格朗日余项的泰勒公式 假若函数f(x)在含点a的某区间内有一阶导数f(x)，根

（*）

x2x3e1x2!3!x3x5sinxx3!5!x2x4cosx12!4!x2x3ln(1x)x23《微积分学教程》([俄]菲赫金哥尔茨著)中说, 这是没有根据的。

据微分中值定理，当x足够小时，则有

f(ax)f(a)f(ax)x(01)（拉格朗日公式）

或(xxa)

f(x)f(a)f[a(xa)](xa)(01)

一般情形下，有下面的结论.

泰勒定理2 若函数f(x)在点a及其近旁有(n1)阶导数f(n1)则在点a及其近旁有 (x)，

f(a)f(a)f(x)f(a)(xa)(xa)21!2!其中余项

f(n)(a)(xa)nRn(a,x)

n!f(n1)[a(xa)]Rn(a,x)(xa)n1(01)

(n1)!称为拉格朗日余项，而称上面的展开式为带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.

特别，当n0时，泰勒公式

f(x)f(a)f[a(xa)](xa)(01)

就是拉格朗日公式.

证 为书写简单起见，以下记hxa，并考虑等式

f(a)f(a)2f(x)f(a)hh1!2!f(n)(a)nhChn1 （※）

n!其中C为待定数(当a,h,n确定后，它是常数).作辅助函数

f(a)f(a)g(t)f(ath)f(a)(th)(th)21!2!f(n)(a)(th)nC(th)n1(0t1)

n!它在区间[0,1]上满足罗尔定理的条件，所以有t1(0t11)使g(t1)0；而

f(a)2g(t)f(ath)hf(a)hth1!f(n)(a)n1nthC(n1)tnhn1 (n1)!所以g(0)0.因此，g(t)在区间[0,t1]上满足罗尔定理的条件，所以又有t2(0t2t1)使

g(t2)0.依次类推，就会有tn(0tntn1t11)使g(n)(tn)0，而

(n)nn1g(n)(t)f(n)(ath)hnf(a)hC(n1)!th

且g(n)(0)0.最后，函数g(n)(t)在区间[0,tn]上满足罗尔定理的条件，所以有tn1(0,tn)使

g(n1)(tn1)0，即g(n1)(tn1)f(n1)(atn1h)hn1C(n1)!hn10.因此， f(n1)(atn1h)f(n1)(ah)C(01)

(n1)!(n1)!把它代入式(※)，则得

f(a)f(a)2f(x)f(a)hh1!2!因为其中hxa，所以它就是泰勒公式

f(n)(a)nf(n1)(ah)n1hh

n!(n1)!f(a)f(a)f(x)f(a)(xa)(xa)21!2!其中余项

f(n)(a)(xa)nRn(a,x)

n!f(n1)[a(xa)]Rn(a,x)(xa)n1(01)

(n1)! 需要指出，习惯上也把函数在点0的泰勒公式

f(0)f(n)(0)nf(x)f(0)xxRn(x)

1!n!称为麦克劳林公式.其中余项

f(n1)(x)n1x(01) (拉格朗日余项) Rn(x)(n1)!总结：令hxa，则

f(a)f(a)2f(ah)f(a)hh1!2!和

f(n)(a)nho(hn)

n!f(n)(a)nf(n1)(ah)n1hh

n!(n1)!f(a)f(a)2f(ah)f(a)hh1!2!都称为泰勒公式，但有下面的不同处：

第一，前者只假设f(x)在点a有n阶导数，并且推广了f(ah)f(a)f(a)ho(h)；后者要假设f(x)在含点a的某个区间内有(n1)阶导数，并且推广了拉格朗日公式

f(ah)f(a)f(ah)h(01)

第二，前者的余项只给出极限形式，不能估计近似公式

f(a)f(a)2f(n)(a)nf(ah)f(a)hhh（泰勒多项式）

1!2!n!的误差，而后者的余项给出的是有限形式，能够用来估计上述近似公式的误差，即

f(a)f(a)2f(ah)f(a)hh1!2!f(n1)(ah)n1f(n)(a)nh h(n1)!n!譬如，近似计算函数f(x)在点a近旁的函数值f(ah)时，可由给出的精确度和hxa的变化范围(|h|)，根据上面的估计式，确定多项式的次数n；或者根据次数n和h的变化范围，确定一个近似公式的精确度.

例37 设f(x)ex. 因为(ex)(n)ex(n1,2,函数ex的麦克劳林公式为

所以f(n)(0)1(n0,1,2,).因此，)，

x2 e1x2!xxnxn1xe(01) n!(n1)!由此得近似公式

x2e1x2!xxn n!问：当|x|1时，取多么大的n，才能使这个近似公式的精确度解 当|x|1时，

1. 104xn1xe3 Rn(x)e(n1)!(n1)!(n1)!经过试算，只要取n7，近似公式

x2x7 (|x|1) e1x2!7!x的误差不超过

1，因为 410x8xe331R7(x)e4

8!8!8!4032010例38 函数yln(1x)的n阶导数为

y(n)(1)n1(n1)!(n)n1(n1,2,)，y(0)(1)(n1)!(n1,2,) n(1x)所以，函数ln(1x)的麦克劳林公式为

nx2x3n1xln(1x)x(1)Rn(x) 23n其中余项的拉格朗日形式为

f(n1)(x)n1(1)n(1)nn1Rn(x)xxn1(n1)!n1(n1)(1x)取x1,n9，则有近似公式

x1xn1(01)

ln21而误差

1111 238910111R9(1) 10110习 题

1.求y(n)：其中

⑴ya0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n； ⑵y(1x)(为常数)； ⑶yax； ⑷yx； ⑸y1x21)； (提示：y1x1x1111(提示：y)； ⑺y2；

x1xx(1x)x3x21cos2xabx⑻ysin2x(提示：y)； ⑼yln.

2abx答案：⑴n!an；⑵(1)(2)(n1)(1x)n；⑶ax(lna)n；

⑹y11 ⑷1222(1)nn!12n；⑹n!(1)nx(1n)n!(1x)(1n)； n1x；⑸n1(1x)2n(n1)(n1)n12cos2x⑺n!(1)n；⑻(x2)(x1)； 21(n1)!bnann1n⑼2. (abx)(1)(abx)x22n(abx)b2.将多项式P(x)13x5x22x3表示成(x1)的正整指数幂的多项式.

提示：选取a1. 答案：P(x)513(x1)22(x1)212(x1)3. 3.设P(x)为n次多项式.证明：a是P(x)的k(1kn)重根的充分必要条件为

P(a)P(a)4.求极限

P(k1)(a)0

xe2xxex2e2x2ex limx3x0(e1)1x2x3xnxo(xn). 答案：. 提示：e1x62!3!n!11112x5.求极限 lim123ln. 答案：. x012x2xx 提示：首先作恒等变换

x2x2ln1xln1x (x2) lnlnx2x22121然后注意

xx1x1xln1o(x3)， 222232xx1x1x ln1o(x3).

2222326.若函数f(x)在点a有直到n(n2)阶的导数，且

2323f(a)f(a)证明：

f(n1)(a)0,f(n)(a)0

⑴当n为偶数且f(n)(a)0时，f(a)是极大值； ⑵当n为偶数且f(n)(a)0时，f(a)是极小值；

⑶当n为奇数时，a不是函数f(x)的极值点，而a是函数f(x)的拐点.

12【注】函数f(x)ex,x0在点x0取到极小值f(0)0(也是最小值)，而

0,x0f(n)(0)0(n1,2,).

这说明题中的条件是函数取到极值的充分条件，不是必要条件！

7.设函数f(x)在区间[a,b]上有二阶导数f(x)，且f(a)f(b)0.证明：至少存在一点

c(a,b)，使

f(c)4f(b)f(a)

(ba)222提示：取区间[a,b]的中点(ab)2，根据带拉格朗日余项的泰勒公式，则

f(c1)baababf(c1)abf(a)f(a)aa①f

222222f(c2)abababf(c2)abf(b)f(b)bb②f

2222228.设函数f(x)在区间(0,)内有二阶导数f(x).若

22nlubf(n)(x)(n0,1,2)

0x证明：12402.

提示：根据带拉格朗日的泰勒公式，对于任意正数t，

t2f(xt)f(x)f(x)tf(xt)(01)

2从而对任意正数t，有

2tf(x)02

t29.设函数f(x)在区间[0,2]上有二阶导数.证明：若

f(x)1,则f(x)2(0x2).

f(x)1(0x2)

【注】结论f(x)2(0x2)是最好的估计式，因为有例子

f(x)说明不能再改进了.

12x1(0x2) 2(n2)10.设函数f(x)在点a近旁有(n2)阶连续导数，且f日余项为

(a)0，而泰勒公式中的拉格朗

f(n1)[a(xa)]Rn(a,x)(xa)n1(01)

(n1)!1其中(a,n,x).证明：lim.

xan2提示：因为函数f(x)在点a近旁有(n2)阶连续导数，所以

f(n1)(a)Rn(a,x)(xa)n1Rn1(a,x)

(n1)!其中

f(n2)[a1(xa)]Rn1(a,x)(xa)n2(011)

(n2)!11.证明莱布尼茨公式：若函数uu(x)和vv(x)都有n阶导数，则它们的乘积uv也有n阶导数，而且n阶导数为

(uv)而n阶微分为

(n)i0inii(ni)(i)Cnuv (其中v(0)v,u(0)u,Cnn!)

i!(ni)! d(uv)(uv)提示：根据

(uv)uvuv

n(n)dxnCdi0ininiudivn (其中d0uu,d0vv)

(uv)(uvuv)(uvuv)(uvuv)uv2uvuv (uv)(uv2uvuv)uv3uv3uvuv 我们看出，右端各项的系数就是牛顿二项式公式

(ab)3a3b03a2b3ab2a0b3

中各项的系数。通过对比，并注意两者的相似处和不同处，请你用数学归纳法证明上面的n阶导数公式.

12.设方程arccosynlnx(n为正整数).证明：

x2y(n2)(2n1)xy(n1)2n2y(n)0

提示：先证明x2yxyn2y0，然后在两端同时关于x求n阶导数.