一．选择题（共8小题）
1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥
2．熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（ ） A．0.156×10﹣3B．1.56×10﹣3C．1.56×10﹣4D．15.6×10﹣4
3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．|b|＞|a|C．b+c＜0D．ab＞0
4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（ ）
A．35°B．70°C．85°D．95° 5．如果a2﹣a＝6，那么代数式（a﹣）•A．12B．6C．2D．﹣6
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的值为（ ）
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6．一组数据1，2，2，3，5，将这组数据中的每一个数都加上a（a≠0），得到一组新数据1+a，2+a，2+a，3+a，5+a，这两组数据的以下统计量相等的是（ ） A．平均数B．众数C．中位数D．方差
7．如图，点A，B是⊙O上的定点，点P为优弧AB上的动点（不与点A，B重合），在点P运动的过程中，以下结论正确的是（ ）
A．∠APB的大小改变
B．点P到弦AB所在直线的距离存在最大值 C．线段PA与PB的长度之和不变 D．图中阴影部分的面积不变
8．如图，抛物线y＝x2﹣1．将该抛物线在x轴和x轴下方的部分记作C1，将C1沿x轴翻折记作C2，C1和C2构成的图形记作C3．关于图形C3，给出如下四个结论，其中错误的是（ ）
A．图形C3恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
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B．图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1 C．图形C3的周长大于2π
D．图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π 二．填空题（共8小题）
9．如图，已知∠AOB，用量角器度量∠AOB的度数为°．
10．不等式组
的所有整数解是．
11．一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为． 12．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，可以得到∥，依据是．
13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果AB＝10，CD＝8，那么OE的长为．
14．如图，正比例函数y＝kx的图象和反比例函数y＝的图象交于
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A，B两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足为点C，D，则△AOC与△BOD的面积之和为．
15．经济学家在研究市场供求关系时，一般用纵轴表示产品单价（自变量），而用横轴表示产品数量（因变量），下列两条曲线分别表示某种产品数量与单价之间的供求关系，一条表示厂商希望的供应曲线，另一条表示客户希望的需求曲线，其中表示客户希望的需求曲线的是（填入序号即可）．
16．小志自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有盒装草莓、荔枝、山竹，价格依次为40元/盒、60元/盒、80元/盒．为增加销量，小志对这三种水果进行促销：一次性购买水果的总价超过100元时，超过的部分打5折，每笔订单限购3盒．顾客支付成功后，小志会得到支付款的80%作为货款．
（1）顾客一笔订单购买了上述三种水果各一盒，则小志收到的货
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款是元；
（2）小志在两笔订单中共售出原价180元的水果，则他收到的货款最少是元．
三．解答题（共12小题）
17．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：⊙O和圆外一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：①连接OP；
②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B； ③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计的作图过程，完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠＝°（）（填推理的依据）． ∴OA⊥AP，⊥BP． ∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（）（填推理的依据）．
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18．计算：4sin45°﹣19．解分式方程：
+（）﹣2+|3﹣π|． ﹣
＝
．
20．关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0． （1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你选择一个合适的m的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．
21．如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF． （1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，1）和点B，与y轴交
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于点C． （1）求k的值；
（2）如果AC＝2AB，求一次函数的表达式．
23．如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F． （1）求证：点D为的中点；
（2）如果BC＝5，sinC＝，求AF的长．
24．2020年3月至5月，某校开展了一系列居家阅读活动．学生利用“宅家”时光，在书海中遨游，从阅读中获得精神慰藉和自我提升，为了解学生居家阅读的情况，学校从七、八两个年级各随机抽取50名学生，进行了居家阅读情况调查、下面给出了部分数据信息：
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a．两个年级学生平均每周阅读时长x（单位：小时）的频数分布直方图如下（数据分成4组：0≤x＜3，3≤x＜6，6≤x＜9，9≤x≤12）：
b．七年级学生平均每周阅读时长在6≤x＜9这一组的是： 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 c．两个年级学生平均每周阅读时长的平均数、中位数、众数、方差如表：
七年级 八年级
平均数 中位数 6.3 6.0
m 7
众数 8 7
方差 7.0 6.3
根据以上信息，回答下列问题： （1）补全图2； （2）写出表中m的值；
（3）返校后，学校计划将平均每周阅读时长不低于9小时的学生授予“阅读之星”称号，小丽说：“根据频数分布直方图中的数据信息，估计七年级约有20%的学生获得该称号，八年级约有18%的学生获得该称号，所以七年级获得该称号的人数一定比八年级获
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得该称号的人数多．”你认为她的说法（填入“正确”或“错误“）； （4）请你结合数据对两个年级的居家阅读情况进行评价． 25．小腾的爸爸计划将一笔资金用于不超过10天的短期投资，针对这笔资金，银行专属客户经理提供了三种投资方案，这三种方案的回报如下：
方案一：每一天回报30元；
方案二：第一天回报8元，以后每一天比前一天多回报8元； 方案三：第一天回报0.5元，以后每一天的回报是前一天的2倍． 下面是小腾帮助爸爸选择方案的探究过程，请补充完整： （1）确定不同天数所得回报金额（不足一天按一天计算），如表： 天数
1
2 30 16 1
3 30 24 2
4 30 32 4
5 30 40 8
6 30 48 16
7 30 56 32
8 30 64
9 30 72
10 30 80
方案一 30 方案二
8
方案三 0.5 其中m＝．
64 128 m
（2）计算累计回报金额，设投资天数为x（单位：天），所得累计回报金额是y（单位：元），于是得到三种方案的累计回报金额y1，y2，y3；与投资天数x的几组对应值： x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方案一 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 方案二 8
24 48 80 120 168 224 288 360 440
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方案三 0.5 1.5 3.5 7.5 15.5 31.5 63.5 127.5 255.5 n 其中n＝．
（3）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），（x，y3），并画出y1，y2，y3的图象；
（4）结合图象，小腾给出了依据不同的天数而选择对应方案的建议：．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）已知点P（a，0），Q（0，a﹣2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．
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（1）根据题意补全图形； （2）判断△ACD的形状，并证明；
（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．
温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路． 解法1的主要思路：
延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形． 解法2的主要思路：
过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME． 解法3的主要思路：
过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b的式子表示AB，BC． ……．
28．过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的
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点线圆．特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆．
在平面直角坐标系xOy中，点P（0，2）．
（1）已知点A（0，1），B（1，1），C（2，2），分别以A，B为圆心，1为半径作⊙A，⊙B，以C为圆心，2为半径作⊙C，其中是点P和x轴的点线圆的是；
（2）记点P和x轴的点线圆为⊙D，如果⊙D与直线y＝没有公共点，求⊙D的半径r的取值范围；
（3）直接写出点P和直线y＝kx（k≠0）的最小点线圆的圆心的横坐标t的取值范围．
x+3
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
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A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥
【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱． 【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱． 故选：A．
2．熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（ ） A．0.156×10﹣3B．1.56×10﹣3C．1.56×10﹣4D．15.6×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000156＝1.56×10﹣4． 故选：C．
3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．|b|＞|a|C．b+c＜0D．ab＞0
【分析】根据实数a，b，c在数轴上的对应点的位置，可以得到﹣4＜a＜﹣3，﹣1＜b＜0，2＜c＜3，进而对每一个选项进行判断即可．
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【解答】解：由数轴上的点所表示的数可知，﹣4＜a＜﹣3，﹣1＜b＜0，2＜c＜3，
因此有a＜b＜c，|a|＞|b|，b+c＞0，ab＞0， 故选：D．
4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（ ）
A．35°B．70°C．85°D．95°
【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再根据角平分线的性质得到∠BAD的度数，最后再由三角形的内角和定理求得∠ADB的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝12∠BAC＝35°．
∵在△ABD中，∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAC． ∴∠BDA＝180°﹣60°﹣35°＝85° 故选：C．
5．如果a2﹣a＝6，那么代数式（a﹣）•A．12B．6C．2D．﹣6
的值为（ ）
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【分析】先把括号内通分，再约分得到原式＝a2﹣a，然后利于整体代入的方法得到代数式的值． 【解答】解：原式＝＝
•
•
＝a（a﹣1） ＝a2﹣a， ∵a2﹣a＝6， ∴原式＝6． 故选：B．
6．一组数据1，2，2，3，5，将这组数据中的每一个数都加上a（a≠0），得到一组新数据1+a，2+a，2+a，3+a，5+a，这两组数据的以下统计量相等的是（ ） A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】可通过计算两组数据的平均数、众数、中位数、方差，比较得结论．
【解答】解：数据1，2，2，3，5的平均数为位数为2， 方差为：[（1﹣（5﹣＝
．
+a，众数为2+a，
）2]
）2+（2﹣
）2+（2﹣
）2+（3﹣
）2+
，众数为2，中
数据1+a，2+a，2+a，3+a，5+a的平均数为中位数为2+a，
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方差为：[（1+a﹣a）2+（3+a﹣＝[（1﹣）2] ＝
．
﹣a）2+（2+a﹣﹣a）2+（2+a﹣﹣
﹣a）2+（5+a﹣
）2+（2﹣
﹣a）2] ）2+（3﹣
）2+（5﹣
）2+（2﹣
故选：D．
7．如图，点A，B是⊙O上的定点，点P为优弧AB上的动点（不与点A，B重合），在点P运动的过程中，以下结论正确的是（ ）
A．∠APB的大小改变
B．点P到弦AB所在直线的距离存在最大值 C．线段PA与PB的长度之和不变 D．图中阴影部分的面积不变
【分析】根据圆周解的性质，点到直线的距离，三角形的面积进行解答便可．
【解答】解：A．无论P运动到什么位置，∠APB所对的弧为始终不变，则∠APB的大小不改变，故A错误；
B．当P运动到优弧的中点时，P点到AB的距离最大，则B选项正确；
C．P点位置改变PA+PB值会发生变化，则C错误；
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D．P点在运动过程中，P到AB的距离会改变，则△PAB的面积会改变，而弓形AB面积不改变，于是阴影部分的面积会改变，则D错误； 故选：B．
8．如图，抛物线y＝x2﹣1．将该抛物线在x轴和x轴下方的部分记作C1，将C1沿x轴翻折记作C2，C1和C2构成的图形记作C3．关于图形C3，给出如下四个结论，其中错误的是（ ）
A．图形C3恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B．图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1 C．图形C3的周长大于2π
D．图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π
【分析】画出图象C3，以及以O为圆心，以1为半径的圆，再作出⊙O内接正方形，根据图象即可判断． 【解答】解：如图所示，
A、图形C3恰好经过（1，0）、（﹣1，0）、（0，1）、（0，﹣1）4个整点，故正确；
B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1，
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故正确；
C、图形C3的周长小于⊙O的周长，所以图形C3的周长小于2π，故错误；
D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确； 故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．如图，已知∠AOB，用量角器度量∠AOB的度数为 47 °．
【分析】直接利用量角器得出∠AOB的度数．
【解答】解：如图所示：用量角器度量∠AOB的度数为：47°． 故答案为：47．
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10．不等式组的所有整数解是﹣＜x≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x＞﹣1，得：x＞﹣， 则不等式组的解集为﹣＜x≤1， 故答案为：﹣＜x≤1．
11．一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为． 【分析】由于一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：故答案为：．
12．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，可以得到AC∥DE，依据是 内错角相等，两直线平行 ．
＝．
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【分析】根据平行线的判定方法即可解决问题．
【解答】解：小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，可以得到AC∥DE，依据是内错角相等，两直线平行．
故答案为：AC，DE，内错角相等，两直线平行．
13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果AB＝10，CD＝8，那么OE的长为 3 ．
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CE的长度，在Rt△OCE中，根据CE和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OE的长． 【解答】解：连接OC；
Rt△OCE中，OC＝AB＝5，CE＝CD＝4； 由勾股定理，得：OE＝即线段OE的长为3．
14．如图，正比例函数y＝kx的图象和反比例函数y＝的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足为点C，D，则△AOC与△BOD的面积之和为 1 ．
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＝3；
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【分析】由函数的对称性知，△AOC与△BOD的面积相等，由反比例函数y＝中k＝1的意义知△AOC的面积为，即可求解． 【解答】解：由函数的对称性知，△AOC与△BOD的面积相等， 由反比例函数y＝中k＝1的意义，知△AOC的面积为， 故△AOC与△BOD的面积之和为1．
15．经济学家在研究市场供求关系时，一般用纵轴表示产品单价（自变量），而用横轴表示产品数量（因变量），下列两条曲线分别表示某种产品数量与单价之间的供求关系，一条表示厂商希望的供应曲线，另一条表示客户希望的需求曲线，其中表示客户希望的需求曲线的是②（填入序号即可）．
【分析】根据函数图象、结合实际意义解答．
【解答】解：图①是产品单价随产品数量的增加而增加，是厂商希望的供应曲线，
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图②是产品单价随产品数量的增加而减小，是客户希望的需求曲线，
故答案为：②．
16．小志自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有盒装草莓、荔枝、山竹，价格依次为40元/盒、60元/盒、80元/盒．为增加销量，小志对这三种水果进行促销：一次性购买水果的总价超过100元时，超过的部分打5折，每笔订单限购3盒．顾客支付成功后，小志会得到支付款的80%作为货款．
（1）顾客一笔订单购买了上述三种水果各一盒，则小志收到的货款是 112 元；
（2）小志在两笔订单中共售出原价180元的水果，则他收到的货款最少是 128 元．
【分析】（1）根据小志收到的货款＝（100+超出100元的部分×0.5）×80%，即可得出结论；
（2）设两次共售出x盒草莓，y盒荔枝，z盒山竹，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y，z的三元一次方程，结合x，y，z均为非负整数，即可得出x，y，z的可能值，再分各种出售方式求出小志收到的货款，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）[100+（40+60+80﹣100）×0.5]×80%＝112（元）．
故答案为：112．
（2）设两次共售出x盒草莓，y盒荔枝，z盒山竹，
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依题意，得：40x+60y+80z＝180， ∴y＝3﹣x﹣z． ∵x，y，z均为非负整数， ∴
，
，
．
（i）当x＝0，y＝3，z＝0时，一笔订单售出2盒荔枝，另一笔订单售出1盒荔枝，
∴此时小志收到的货款为[100+（60×2﹣100）×0.5+60]×80%＝136（元）；
（ii）当x＝3，y＝1，x＝0时，分三种情况考虑：①一笔订单售出3盒草莓，另一笔订单售出1盒荔枝；②一笔订单售出2盒草莓，另一笔订单售出1盒草莓、1盒荔枝；③一笔订单售出1盒草莓，另一笔订单售出2盒草莓、1盒荔枝，
按照售出方式①，小志收到的货款为[100+（40×3﹣100）×0.5+60]×80%＝136（元）；
按照售出方式②，小志收到的货款为[40×2+（40+60）]×80%＝144（元）；
按照售出方式③，小志收到的货款为[40+100+（40×2+60﹣100）×0.5]×80%＝128（元）；
（iii）当x＝1，y＝1，z＝1时，分三种情况考虑：①一笔订单售出1盒草莓、1盒荔枝，另一笔订单售出1盒山竹；②一笔订单售出1盒草莓、1盒山竹，另一笔订单售出1盒荔枝；③一笔订单售
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出1盒荔枝、1盒山竹，另一笔订单售出1盒草莓，
按照售出方式①，小志收到的货款为（[40+60）+100]×80%＝144（元）；
按照售出方式②，小志收到的货款为[100+（40+80﹣100）×0.5+60]×80%＝136（元）；
按照售出方式③，小志收到的货款为[100+（60+80﹣100）×0.5+40]×80%＝128（元）． ∵128＜136＜144，
∴小志收到的货款最少是128元． 故答案为：128． 三．解答题（共12小题）
17．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：⊙O和圆外一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：①连接OP；
②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B； ③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计的作图过程，完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝ 90 °（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填
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推理的依据）． ∴OA⊥AP，OB⊥BP． ∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（ 过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可． 【解答】证明：连接OA，OB． ∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）． ∴OA⊥AP，OB⊥BP． ∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）．
故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线． 18．计算：4sin45°﹣
+（）﹣2+|3﹣π|．
【分析】根据绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次
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根式化简的计算法则进行计算即可求得结果． 【解答】解：4sin45°﹣＝4×＝2
﹣2﹣2
+4+π﹣3 +4+π﹣3
+（）﹣2+|3﹣π|
＝π+1． 19．解分式方程：
﹣
＝
．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：3﹣2（x+3）＝x﹣3， 去括号得：3﹣2x﹣6＝x﹣3， 移项合并得：﹣3x＝0， 解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
20．关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0． （1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你选择一个合适的m的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．
【分析】（1）先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可； （2）根据求根公式得出x1＝﹣1，x2＝﹣，即可求出m的值和方程的根．
【解答】（1）证明：△＝（m+2）2﹣4×2×m，
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＝（m﹣2）2，
无论m取任何实数，（m﹣2）2≥0，即△≥0， ∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵△＝（m﹣2）2，由求根公式，得 x1＝
，x2＝
，
∴原方程的根为：x1＝﹣1，x2＝﹣， ∵方程的两个根都是整数，
∴取m＝﹣2，方程的两根为x1＝1，x2＝﹣1．
21．如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF． （1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，求得AE＝AC，EF＝CF，根据平行线的性质得到∠EAD＝∠AFC，求得AE＝EF＝AC＝CF，于是得到结论；
（2）如图，根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，根据直角三角形的性质得到BC＝2
，CE＝4，由勾股定理得到
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BE＝＝2，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴AF⊥CE， ∵CD＝DE，
∴AE＝AC，EF＝CF， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵AE∥CF， ∴∠EAD＝∠AFC， ∴∠CAD＝∠CFA， ∴AC＝CF，
∴AE＝EF＝AC＝CF， ∴四边形ACFE是菱形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB， ∵AB＝2，CD＝DE， ∴BC＝2∴BE＝
，CE＝4，
＝2
，
∵AB＝CD＝DE，∠BAE＝∠EDG＝90°，∠AGB＝∠DGE， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴BG＝EG， ∴BG＝BE＝
．
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22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，1）和点B，与y轴交于点C． （1）求k的值；
（2）如果AC＝2AB，求一次函数的表达式．
【分析】（1）把点A（2，1）代入y＝（x＞0）即可得到结论； （2）如图，由（1）知，反比例函数的解析式为y＝，求得B点的横坐标为1，由于点B在y＝（x＞0）的图象上，得到B（1，2），把A（2，1），B（1，2）代入y＝mx+n即可得到结论． 【解答】解：（1）把点A（2，1）代入y＝（x＞0）得，1＝， ∴k＝2；
（2）如图，由（1）知，反比例函数的解析式为y＝，
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∵AC＝2AB， ∴AB＝BC，
∴B点的横坐标为1，
∵点B在y＝（x＞0）的图象上， ∴y＝2， ∴B（1，2），
把A（2，1），B（1，2）代入y＝mx+n得，解得：
，
，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+3．
23．如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD为⊙O的切线，切点为D，AE⊥CD于点E，且AE与⊙O交于点F． （1）求证：点D为的中点；
（2）如果BC＝5，sinC＝，求AF的长．
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【分析】（1）证明OD∥AE可得结论． （2）在Rt△ODC中，根据sin∠C＝△AOH中，求出AH即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD． ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥EC， ∵AE⊥EC， ∴OD∥AE， ∴∠ADO＝∠EAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD＝∠EAD， ∴＝，
即点D是的中点．
（2）解：过点O作OH⊥AE于H，则AH＝HF．设OA＝OB＝OD＝r， ∵∠ODC＝90°，
＝，求出半径r，再在Rt
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∴sin∠C＝∴
＝，
，
解得r＝，
∵OH⊥AE，EC⊥AE， ∴OH∥EC， ∴∠AOH＝∠C，
∴sin∠AOH＝sin∠C＝， ∴
＝，
∴AH＝， ∴AF＝2AH＝9．
24．2020年3月至5月，某校开展了一系列居家阅读活动．学生利用“宅家”时光，在书海中遨游，从阅读中获得精神慰藉和自我提升，为了解学生居家阅读的情况，学校从七、八两个年级各随机抽取50名学生，进行了居家阅读情况调查、下面给出了部分数据信息：
a．两个年级学生平均每周阅读时长x（单位：小时）的频数分布直方图如下（数据分成4组：0≤x＜3，3≤x＜6，6≤x＜9，9≤x≤12）：
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b．七年级学生平均每周阅读时长在6≤x＜9这一组的是： 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 c．两个年级学生平均每周阅读时长的平均数、中位数、众数、方差如表：
七年级 八年级
平均数 中位数 6.3 6.0
m 7
众数 8 7
方差 7.0 6.3
根据以上信息，回答下列问题： （1）补全图2； （2）写出表中m的值；
（3）返校后，学校计划将平均每周阅读时长不低于9小时的学生授予“阅读之星”称号，小丽说：“根据频数分布直方图中的数据信息，估计七年级约有20%的学生获得该称号，八年级约有18%的学生获得该称号，所以七年级获得该称号的人数一定比八年级获得该称号的人数多．”你认为她的说法 错误 （填入“正确”或“错误“）；
（4）请你结合数据对两个年级的居家阅读情况进行评价．
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【分析】（1）求出八年级学生每周阅读时间在6≤x＜9的人数，即可补全频数分布直方图，
（2）求出七年级学生每周阅读时间从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数，即为中位数m的值；
（3）虽然七年级获得称号所占的比例较高，由于七、八年级的人数未知，也无法判断获得称号的人数多少，因此是错误的； （4）从平均数、众数、中位数、方差等方面对学生在家阅读情况进行分析判断．
【解答】解：（1）八年级学生每周阅读时间在6≤x＜9人数为：50﹣6﹣13﹣9＝22（人）， 补全的统计图如图所示：
（2）将七年级学生每周阅读时间从小到大排列后处在第25、26位的两个数的平均数为即，m＝6.5；
（3）根据频数分布直方图中的数据估计七年级约有20%的学生获得该称号，八年级约有18%的学生获得该称号，
由于不知道各个年级的人数，虽然七年级学生获得称号的比例大，
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＝6.5，
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也不能说七年级获得该称号的人数一定比八年级的多， 因此这种说法不正确， 故答案为：错误；
（4）从平均数上看，七年级学生每周阅读时间要高于八年级，而七年级的方差较大，说明七年级学生阅读时间的离散程度较大，不稳定，
从中位数上看，八年级的高于七年级，说明八年级学生每周阅读时间小于7小时，大约占一半，八年级的方差较小，八年级学生的阅读时间比较稳定，比较集中在某个数的附近，波动不大． 25．小腾的爸爸计划将一笔资金用于不超过10天的短期投资，针对这笔资金，银行专属客户经理提供了三种投资方案，这三种方案的回报如下：
方案一：每一天回报30元；
方案二：第一天回报8元，以后每一天比前一天多回报8元； 方案三：第一天回报0.5元，以后每一天的回报是前一天的2倍． 下面是小腾帮助爸爸选择方案的探究过程，请补充完整： （1）确定不同天数所得回报金额（不足一天按一天计算），如表： 天数
1
2 30 16 1
3 30 24 2
4 30 32 4
5 30 40 8
6 30 48 16
7 30 56 32
8 30 64
9 30 72
10 30 80
方案一 30 方案二
8
方案三 0.5 64 128 m
其中m＝ 256 ．
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（2）计算累计回报金额，设投资天数为x（单位：天），所得累计回报金额是y（单位：元），于是得到三种方案的累计回报金额y1，y2，y3；与投资天数x的几组对应值： x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
方案一 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 方案二 8
24 48 80 120 168 224 288 360 440
方案三 0.5 1.5 3.5 7.5 15.5 31.5 63.5 127.5 255.5 n 其中n＝ 511.5 ．
（3）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），（x，y3），并画出y1，y2，y3的图象；
（4）结合图象，小腾给出了依据不同的天数而选择对应方案的建议： 投资7天以内，选用方案一，投资7天到10天选用方案二，投资10天，选用方案三 ．
【分析】（1）根据每一天的回报是前一天的2倍，即可列式计算； （2）根据累计回报金额的计算方法列式计算即可得出结论；
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（3）根据（2）中的表格，描点，即可得出结论； （4）根据（3）的图象，即可得出结论．
【解答】解：（1）由于第9天的回报金额是128元， 所以，第10天的回报金额是128×2＝256元， 即m＝256， 故答案为：256；
（2）由（1）知，第10天的回报金额是256元， 由于第9天时，累计回报金额为255.5元，
所以，第10天时，累计回报金额为255.5+256＝511.5元， 即n＝511.5， 故答案为：511.5；
（3）画出函数图象如下图所示；
（4）由（3）的图象得，投资7天以内，选用方案一，投资7天到10天选用方案二，投资10天，选用方案三，
故答案为：投资7天以内，选用方案一，投资7天到10天选用方案二，投资10天，选用方案三．
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26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）已知点P（a，0），Q（0，a﹣2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A即可直接写出点A的坐标； （2）解方程即可得到结论；
（3）根据点P（a，0），Q（0，a﹣2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A， ∴A的坐标为（0，3a）；
（2）当y＝0时．即ax2﹣4ax+3a＝0， 解得：x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
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（3）当抛物线过点Q（0，a﹣2）时，a＝﹣1，
∴P（﹣1，0），
此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．
当抛物线过点P（a，0）时，a＝1或a＝3（不合题意舍去），
此时，Q（0，﹣1），抛物线与线段PQ有一个公共点； 综上所述，当﹣1≤a＜0或0＜a＜1时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD． （1）根据题意补全图形； （2）判断△ACD的形状，并证明；
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（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．
温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路． 解法1的主要思路：
延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形． 解法2的主要思路：
过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME． 解法3的主要思路：
过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b的式子表示AB，BC． ……．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义判断即可．
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（3）结论：BC+BA＝BE．延长BC至点F，使CF＝AB，连接
EF．证明△EAB≌△ECF（SAS），推出BE＝EF，∠AEB＝∠CEF可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）结论：△ACD是等腰直角三角形． 理由：∵A，D关于CP对称，
∴AD⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝45°，CA＝CD， ∴∠ACD＝90°， ∴△ACD是等边三角形．
（3）结论：BC+BA＝
BE．
理由：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF． ∵∠ABC＝∠AEC＝90°， ∴∠BAE+∠BCE＝180°， ∵∠BCE+∠ECF＝180°， ∴∠BAE＝∠ECF，
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∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD， ∴AE＝DE， ∴CE＝AE＝EC， ∵AB＝CF，
∴△EAB≌△ECF（SAS）， ∴BE＝EF，∠AEB＝∠CEF， ∴∠BEF＝∠AEC＝90°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BF＝
BE，
∵BF＝BC+CF＝BC+BA， ∴BC+BA＝
BE．
28．过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆．特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆．
在平面直角坐标系xOy中，点P（0，2）．
（1）已知点A（0，1），B（1，1），C（2，2），分别以A，B为圆心，1为半径作⊙A，⊙B，以C为圆心，2为半径作⊙C，其中是点P和x轴的点线圆的是⊙A，⊙C；
（2）记点P和x轴的点线圆为⊙D，如果⊙D与直线y＝没有公共点，求⊙D的半径r的取值范围；
（3）直接写出点P和直线y＝kx（k≠0）的最小点线圆的圆心的横坐标t的取值范围．
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x+3
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【分析】（1）由点线圆的定义画出图形可得出答案； （2），⊙D1经过点P，且与x轴和直线y＝
x+3都相切，此时
x+3
⊙D1的半径r＝1，⊙D2经过点P，且与x轴和直线y＝
都相切，切点分别为M，N，连接D2M，D2N，D2P，过D2作D2Q⊥y轴于点Q，设D2M＝r，即得出出r＝．可得出答案；
（3）画图可知点P和直线y＝kx（k≠0）的最小点线圆的圆心的轨迹，则可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，由点线圆的定义可知：
．解
⊙A是点P和x轴的点线圆，
如图2，⊙B不经过点P，故不是点P和x轴的点线圆，
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如图3，由点线圆的定义可知：⊙C是点P和x轴的点线圆，
故答案为：⊙A，⊙C．
（2）如图4，⊙D1经过点P，且与x轴和直线y＝此时⊙D1的半径r＝1，
x+3都相切，
如图5，⊙D2经过点P，且与x轴和直线y＝
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x+3都相切，切
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点分别为M，N，连接D2M，D2N，D2P，
过D2作D2Q⊥y轴于点Q， 设D2M＝r， ∴D2P＝D2M＝r， ∴OQ＝D2M＝r， ∴PQ＝r﹣2， ∵∠MEN＝60°， ∴∠D2EM＝30°， ∴EM＝
r，
r﹣
．
∴OM＝D2Q＝
由勾股定理得，D2P2+D2Q2+QP2， 即
．
解得：r1＝1（舍去），r2＝， ∴1＜r＜．
（3）如图6，点P和直线y＝kx（k≠0）的最小点线圆的圆心E在直径为1的圆上，
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∵k≠0， ∴x≠0，
∴圆心的横坐标t的取值范围是﹣≤x＜0或0＜x≤．
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