高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》知识点总复习含答案

一、选择题

1．已知等比数列an的前n项和为Sn，若a12a20，S3则实数a的取值范围是( ) A．1,0 【答案】B 【解析】 【分析】

先求得等比数列的首项和公比，得到Sn，分析数列的单调性得到Sn 的最值，从而列不等式求解即可. 【详解】

n1213由a12a20, S3，得a11,q,Sn1，

23423，且aSna2，4B．1,

21C．,1

12D．0,1

当n1时，Sn取最大值1，当n2时，Sn取最小值

1， 211a所以，1a，故选B. 22a21【点睛】

本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.

2．等差数列的首项为（ ） A．(0,) 【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意可知a101，a91，把a1的值代入列不等式解得即可. 【详解】

B．1，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是258, 75C．83, 7525D．83, 7525a1011由题意，设数列an的公差为d，首项a1，则，

a1259a10a19d183d. 即，解得

aa8d1752519故选：D. 【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．

3．若两个等差数列an、bn的前n项和分别为An、Bn，且满足

An2n1，则Bn3n1a3a7a11的值为（ ）

b5b9A．

39 44B．

5 8C．

15 16D．

13 22【答案】C 【解析】 【分析】

a3a7a113a7,再利用数列求和公式求解即可. 利用等差中项的性质将化简为2b7b5b9【详解】

13(a1a13)a3a7a113a733A3213115213, b5b92b7213(b1b13)2B1323131162故选:C. 【点睛】

本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

4．已知数列an为等比数列，前n项和为Sn，且a12，bnan1，若数列bn也是等比数列，则Sn（ ） A．2n 【答案】C 【解析】 【分析】

设等比数列an的公比为q，写出an,bn.由数列bn是等比数列，得b2b1b3，求出q，

2B．3n1 C．2n D．3n1

即求Sn. 【详解】

n1设等比数列an的公比为q，Qa12,an2q，

bn2qn11，

b13，b22q1，b32q21，

Qbn也是等比数列， b22b1b3，即2q132q21

2解得q1，an2,Sn2n. 故选：C. 【点睛】

本题考查等比数列的性质，属于基础题.

5．已知数列an是正项等比数列，若a132，a3a432，数列log2an的前n项和为Sn，则Sn>0时n的最大值为 （ ） A．5 【答案】C 【解析】

B．6

C．10

D．11

a3a4a12q5322q532qSn1an3221n26nlog2an6n 2n(56n)0n11nmax10 ，故选C. 2

x2y26．已知椭圆1满足条件：m,n,mn成等差数列，则椭圆离心率为( )

mnA．

3 2B．

2 2C．

1 2D．5 5【答案】B 【解析】 【分析】

22xy根据满足条件m,n,mn成等差数列可得椭圆为1,求出a,c．再求椭圆的离心

m2m率即可. 【详解】

2nmmnn2m,

22xy椭圆为1, m2m

c22mmm,得cm,又a2m,

ec2. a2则椭圆离心率为【点睛】

2，故选B. 2一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c，从而求出e;②构造a,c的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．

7．设函数fxxax的导数为fx2x1，则数列m2nN的前n项

fn和是（ ） A．

n n1B．

2n n1C．

2n n1D．

2n1 n【答案】B 【解析】 【分析】

m函数f(x)xax的导函数f(x)2x1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可

2am求出，，利用裂项相消法求出nN的前n项和即可．

fn【详解】

Qf(x)mxm1a2x1，

\\a=1，m2，f(x)x(x1)，

22112()， f(n)n(n1)nn111111112nSn2[()()L()]2(1)，

1223nn1n1n1故选：B． 【点睛】

本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．

8．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，则S11＝（ ） A．20 【答案】C 【解析】 【分析】

设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16列式求得q2，进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11. 【详解】

B．30

C．44

D．88

设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16，

8得qa1016，得q2＝2. a24∴a6a2q4，即a6＝b6＝4，

又Sn为等差数列{bn}的前n项和， ∴S11b1b111111b2644.

故选：C. 【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题.

9．已知等比数列{an}满足a13，a1a3a521，则a3a5a7（ ） A．21 【答案】B 【解析】

24242由a1+a3+a5=21得a1(1qq)211qq7q2 2a3+a5+a7=q(a1a3a5)22142，选B.

B．42 C．63 D．84

10．已知数列an的前n项和Sn2n3nnN2*，则a的通项公式为（ ）

nA．an2n1 【答案】C 【解析】 【分析】

B．an2n1 C．an4n1 D．an4n1

2首先根据Sn2n3n求出首项a1的值，然后利用anSnSn1求出n2时an的表达

式，然后验证a1的值是否适合，最后写出an的式子即可. 【详解】

2因为Sn2n3n，

22所以，当n2时，anSnSn12n3n[2(n1)3(n1)]4n1，

当n1时，a1S1235，上式也成立， 所以an4n1， 故选C. 【点睛】

该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即

S1,n1an，算出之后再判断n1时对应的式子是否成立，最后求得结果.

SS,n2n1n

11．在各项都为正数的等比数列{an}中，若a12，且a1a564，则数列

an的前n项和是（ ） (an1)(an11)A．112n11【答案】A 【解析】

B．11 2n1C．11 n21D．11 2n12由等比数列的性质可得：a1a5a364,a38，

则数列的公比：qa382， a12n1n数列的通项公式：ana1q2，

an2n11故：

an1an112n12n112n12n11，

an则数列的前n项和是：

a1a1nn11111111L1. 12n23n1n121212121212121本题选择A选项.

点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

12．已知各项为正数的等比数列{an}满足a11，a2a416，则a6（ ） A．64 【答案】B 【解析】 【分析】

先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求a6. 【详解】

24455由a2a416得a1q16,q16Qq0q2a6a1q232.选B.

B．32 C．16 D．4

【点睛】

本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.

13．等差数列an中，Sn为它的前n项和，若a10，S200，S210，则当n（ ）时，Sn最大. A．8 【答案】C 【解析】 【分析】

根据等差数列的前n项和公式与项的性质，得出a100且a110，由此求出数列an的前n项和Sn最大时n的值． 【详解】

等差数列an中，前n项和为Sn，且S200，S210， 即S20B．9

C．10

D．11

20a1a202210a10a110，a10a110，

S2121a1a2121a110，所以，a110，则a100，

因此，当n10时，Sn最大. 故选：C. 【点睛】

本题考查了等差数列的性质和前n项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．

14．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A．a(1r)17 C．a(1r)18 【答案】D 【解析】 【分析】

由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以a(1r)为首项，(1r)为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n项和公式求解即可. 【详解】 解：根据题意，

当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1r)17，

aB．[(1r)17(1r)]

raD．[(1r)18(1r)]

r同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1r)16， 孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1r)15，



孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1r)，

可以看成是以a(1r)为首项，(1r)为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：

a(1r)[(1r)171]aSa(1r)a(1r)a(1r)[(1r)18(1r)]；

1r1r1716故选：D． 【点睛】

本题考查了不完全归纳法及等比数列前n项和，属中档题.

15．已知等差数列an的公差d0，且a1,a3,a13成等比数列，若a11，Sn为数列an的前n项和，则A．4 【答案】D 【解析】 【分析】

由题意得(12d)112d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，

22Sn6的最小值为（ ）

an3B．3

C．232

D．2

2Sn6从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．

an3【详解】

解：Qa11，a1、a3、a13成等比数列，

(12d)2112d． 得d2或d0（舍去），

an2n1，

Snn(12n1)n2， 222Sn62n26n23n12n14． an32n2n1n1令tn1，则

2Sn644t22t22 an3tt当且仅当t2，即n1时，2Sn6的最小值为2．

an3故选：D． 【点睛】

本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．

16．已知{an}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为Sn，若a3,a4,a8成等比数列，则

A．a1d0,dS40 C．a1d0,dS40 【答案】B 【解析】 ∵等差数列

，

，

，

成等比数列，∴

，

∴选B.

考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念

，∴

，

，故

B．a1d0,dS40 D．a1d0,dS40

17．在等比数列an中，已知a29,a5243，那么an的前4项和为（ ）. A．81 【答案】B 【解析】 【分析】

B．120

C．121

D．192

a5q3求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出. 根据a2【详解】

Q

a5q327, a2 q3

a1(1q4)3(134) S4120.故选：B

1q13【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于中档题.

18．已知数列an是等比数列，前n项和为Sn，则“2a3a1a5”是“S2n10”的（ ）

A．必要不充分条件 C．充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】

因为数列an是等比数列,前n项和为Sn 若2a3a1a5,由等比数列的通项公式可得

2a1q2a1a1q4,化简后可得a1q210.

因为q12220

所以不等式的解集为a10 若S2n10

当公比q1时, S2n10则a10,可得2a3a1a5 当公比q1时, 由S2n10则a10,可得2a3a1a5 综上可知, “2a3a1a5”是“S2n10”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.

19．等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则A．-3 【答案】D 【解析】 【分析】

先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比q，再利用等比数列的前n项和公

B．5

C．-31

S10等于（ ） S6D．33

S10式，即可求解的值，得到答案.

S6【详解】

由题意，等比数列an中S32，S618，

a1(1q3)S31q3121q可得，解得q=2， 663S6a1(1q)1q1q181qa1(1q10)S101q101q1q533. 所以55a1(1q)1qS61q故选：D. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

20．an为等差数列，公差为d，且0d1，a5k(kZ)，2sin2a32sina5cosa5sin2a7，函数f(x)dsin(wx4d)(w0)在0,且存在x00,A．0,23上单调23，使得f(x)关于(x0,0)对称，则w的取值范围是（ ） B．0,2 33 2C．,24 33D．33, 42【答案】D 【解析】 【分析】

推导出sin4d＝1，由此能求出d，可得函数解析式，利用在x0，2上单调且存在32x00，3【详解】

，fxf2x0x0，即可得出结论． ∵{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7， ∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝

k（k∈Z）， 2a3a7aa3aa7aa32sina5cos2d•2cosa5sin2d， cos7•2cos3sin72222∴sin4d＝1，

2sin∴d8．

∴f（x）8cosωx，

∵在x0，∴

23上单调 2， 33； 2，fxf2x0x0， ∴ω2x又存在00，3所以f（x）在（0，即

2）上存在零点， 323＜，得到ω＞． 23433, 42故答案为 故选D 【点睛】

本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．