初一数学竞赛系列训练(1)

一、选择题

1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条 A．6 B． 7 C．8 D．9

2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）

A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3

3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A．36条 B．33条 C．24条 D．21条

4．已知平面中有n个点A,B,C三个点在一条直线上，A,D,F,E四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n等于（ ）

（A）9 （B）10 （C）11 （D）12

5．若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A．4对 B．8对 C．12对 D．16对 6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=( )

A．90° B．135° C．150° D．180°

1

AEG3A1EAB1CFGCDBCD2F2DH第 5 题F

B第 6 题E 第7题

二、填空题

7．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E与∠F的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点

G9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 APB10．如图，已知AB∥CD∥EF，PSGH于P，∠FRG=110°，CQDS则 。 ElFR第10题H11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是 。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。 三、解答题

2

PSQ

＝

∠13．已知：如图，DE∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G

DAAEBFE

CGCBD第13题 第14题 15．如图，已知CBAB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA， ∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DAAB

16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点

17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点最多将块区域

18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线 19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。

20．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到画出图

3

B第 15 题CEAD平面分成多少

形。

初一数学竞赛系列训练(12)答案

1． 5个点中任取2点，可以作4+3+2+1＝10条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+1＝3条，共可作10-3+1＝8（条）故选C

2．平面上3条直线可能平行或重合。故选D

3．对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段

对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。

故共有21条不重叠的线段。故选D

4．由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出

n(n1)条直线，若A,B,C三点不在一条直线上，2可以画出3条直线，若A,D,E,F四点不在一条直线上，可以画出6条直线，

∴

n(n1)36238. 整理得 n2n900,(n10)(n90)0. 2∵ n+9＞0 ∴n10, ∴选B。

5．直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH，各得6对同旁内角，角4+6＝16对

F2BG4 A31CD共12对。因此图中共有同旁内

第 6 题EEGABCDH第 5 题F6．∵FD∥BE ∴∠2=∠AGF ∵∠AGC=∠1-∠3

∴∠1+∠2-∠3=∠AGC+∠AGF=180° ∴选B 7．解：∵AB∥CD （已知）

∴∠BAD=∠CDA（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2 （已知） ∴∠BAD+∠1=∠CDA+∠2（等式性质） 即∠EAD=∠FDA ∴AE∥FD ∴∠E＝∠F

5

A1ECBF2D

8．解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（个）

又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1＝6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30个交点，所以有交点的个数应为45-30＝15个 9．可分7个部分 10．解 ∵AB∥CD∥EF ∴∠APQ＝∠DQG=∠FRG=110° 同理∠PSQ=∠APS

∴∠PSQ=∠APQ-∠SPQ=∠DQG-∠SPQ

=110°-90°=20° 11． 0个、1个或无数个

1）若线段AB的垂直平分线就是L，则公共点的个数应是无数个；

2）若ABL，但L不是AB的垂直平分线，则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；

3）若AB与L不垂直，那么AB的垂直平分线与直线L一定相交，所以此时公共点的个数为1个 12．4条直线两两相交最多有1+2+3＝6个交点 13．证明：过E作EF∥BA

∴∠2=∠A（两直线平行，内错角相等） DE∥CB，EF∥BA

DFAGACSER第10题lHFPQBDE6

CB ∴∠1=∠B（两个角的两边分别平行，这两个角相等）

∴∠1+∠2=∠B+∠A（等式性质） 即∠AED=∠A+∠B

14．证明：分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、B则AB∥EH∥PF∥GQ（平行公理） EH∵ AB∥EH

PF∴ ∠ABE＝∠BEH（两直线平行，内错角相等） GQ同理：∠HEF＝∠EFP CD ∠PFG＝∠FGQ ∠QGD＝∠GDC

∴ ∠ABE+∠EFP+∠PFG+∠GDC＝∠BEH+∠HEF+∠FGQ+∠QGD（等式性质） 即 ∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠GFD

15．证明：∵DE平分∠CDA CE平分∠BCD AD∴∠EDC=∠ADE ∠ECD =∠BCE (角平分线定义) ∴∠CDA +∠BCD=∠EDC+∠ADE+∠ECD+∠BCE E=2（∠EDC+∠ECD）＝180° B∴ DA∥CB 第 15 题C又∵ CBAB ∴ DAAB

7

GQ，

16．两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4个交点，三条直线最多有3个不同的交点，即最多交点个数为：2+4×3+3=17

17．（1）2个圆相交有交点2×1＝1个，

第3个圆与前两个圆相交最多增加2×2＝4个交点，这时共有交点2+2×2＝6个 第4个圆与前3个圆相交最多增加2×3＝6个交点，这时共有交点2+2×2+2×3＝12个 第5个圆与前4个圆相交最多增加2×4＝8个交点

∴ 5个圆两两相交最多交点个数为：2+2×2+2×3+2×4＝20 （2）2个圆相交将平面分成2个区域

3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交，最多有2×2＝4个不同的交点，这4个点将第3个圆分成4段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×2＝4块区域，这时平面共有区域：2+2×2＝6块

4个圆相看作第4个圆与前3个圆相交，最多有2×3＝6个不同的交点，这6个点将第4个圆分成6段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×3＝6块区域，这时平面共有区域：2+2×2+2×3＝12块

5个圆相看作第5个圆与前4个圆相交，最多有2×4＝8个不同的交点，这8个点将第5个圆分成8段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×4＝8块区域，这时平面最多共有区域：2+2×2+2×3+2×4＝20块

18．∵ 直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线；直线外3点间最多能确定3 条直线，

8

∴ 最多能确定15+3+1=19条直线

19．将这8条直线平移到共点后，构成8对互不重叠的对顶角，这8个角的和为180°

假设这8个角没有一个小于23°,则这8个角的和至少为: 23°×8=184°,这是不可能的.因此这8个角中至少有一个小于23°,

∴ 在所有的交角中至少有一个角小于23°

20．平面上有10条直线，若两两相交，最多可出现题目要求只出现31个交点，就要减少14个交点，则必线，若某一方向上有5条直线互相平行，则可减少10

45个交点，须出现平行个交点；若

有6条直线互相平行，则可减少15个交点；故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个交点需要减去，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线和一个需要减去的点，只须让这2条直线在第三个方向上互相平行即可。

如图这三组平行线即为所求。

9