数值分析试题A卷10.1

研究生期末考试试题A (闭卷考试)

课程名称：数值分析

所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效 题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分 注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分）

1、 已知x=是由准确数a经四舍五入得到的近似值，则x的绝对误差

界为_______________。 2、数值微分公式f'(xi)f(xih)f(xi)的截断误差为 。

h3、已知向量x(1,3)T，求Householder变换阵H，使Hx(2,0)T。 H 。 4、利用三点高斯求积公式

1

14f(x)dx0.5556f(0.7746)0.88f(0)0.5556f(0.7746)

导出求积分

f(x)dx042的三点高斯求积公式 。

5、若f(x)5x2x3,则 f[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.

6、以n + 1个互异节点xk ( k =0,1,…,n),（n>1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为lk(x)( k =0,1,…,n)，则

lk0nk(0)(xk1)__________.

7、已知P3(x)是用极小化插值法得到的cosx在[0,4]上的三次插值多项式，则P3(x)的

截断误差上界为R(x)cosxP3(x)_________.

8、已知向量x(3,2,5)T，求Gauss变换阵L，使Lx(3,0,0)T。L_________. 9、设f(x)(x7), 给出求方程f(x)0根的二阶收敛的迭代格式_________。

10、下面M文件是用来求解什么数学问题的________________________.

function [x,k]=dd（x0） for k=1:1000 x=cos(x0); if abs(x-x0)<, break end x0=x; end

32111二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b，其中A20,b1，

211（1）用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。 （2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。 三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式

xi(k1)（biaijxj1i1(k1)jji+1anijx(jk)）/aii,i1，2，n1,n,

（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；

1（2）若Aaa，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。 1四、（15分）（1）证明对任何初值x0R，由迭代公式xk111sinxk,2k0,1,2,...

所产生的序列xkk0都收敛于方程x11sinx的根。 2k0,1,2,...是否收敛。

（2）迭代公式xk12xk11sinxk,2五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据

xiyi并求平方误差22-2-112

30.813.4。

六、（15分）（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式P2(x)； （2）以0，1，2为求积节点，建立求积分I并推导此求积公式的截断误差。

30f(x)dx的一个插值型求积公式，

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)

课程名称：数值分析

题号 得分

一 二 三 四 五 六 总分 1116一、（30分） 1、10； 2、O(h)； 3、H22343； 14、

f(x)dx1.1112f(0.4508)1.7778f(2)1.1112f(3.92)；

010015、 5； 6、1； 7、； 8、L210；

31250133(xk7)2 9、 xk1xk2 526(xk7xk)10、用简单迭代法xk1cos(xk)求方程xcos(x)的根。 二、（15分）（1）

u1(1,2,2)T,u2(1,0,1)T1(1,2,2)T，311v2u2(u2,1)1u21(2,-2,1)T,2v2=(2,-2,1)Tv1u1(1,2,2)T,1

33u131u21211AQR31202101T(2)RxQTb5/31/3,x419,3 三、（10分） (1) ak1)iix(ibii1a(k)ijxjijxj,j1jna(k+1)i+1in,n1,L,2,1Dx(k1)bLx(k1)Ux(k))(DL)x(k1)Ux(k)b

x(k1)(DL)1Ux(k)(DL)1b迭代法的矩阵形式x(k1)Bx(k)g迭代矩阵B(DL)1U右端向量g(DL)1ba11L0其中Da0L22Ma210O,LMOMannan1La0nn10a12La1nUMOMM0an1,n (60LL0(2)迭代矩阵B(DL)1U101a0a10010

0a0aa1000a2（10分）

（5分）

分)

(B)a2,迭代格式收敛的充分必要条件是(B)1, (4分)

即a210a1四、（15分）（1）记(x)111sinx，则'(x)cosx。 221sinx[0.5,1.5] ，2先考虑区间[，]，当x[0.5,1.5]时，(x)1'(x)11cosx1 。故对任意初值x[0.5,1.5]，由迭代公式221xk11sinxk,21k0,1,2,...产生的序列xkk0 都收敛于方程x1sinx2的根。 (9分)

对任意初值x0R，有x111sinx0[0.5,1.5]，将此x1看成新的迭代初值，则21sinxk,2k0,1,2,...产生的序列xkk0 都收

由（1）可知，由迭代公式xk11敛于方程x11sinx的根。 (3分) 211sinx，则'(x)2cosx，对任意xR，有'(x)1.5 221sinxk,2k0,1,2,...不收敛。 (3分)

（2）记(x)2x1所以迭代公式xk12xk1五、（15分）

1(x)x,2(x)x2-243-110.81,2,Y,111 （10分） 243.40.1100a1a0.1,=034b27.4b27.40.805934s(x)0.1x+0.8059x222(Y,Y)a(1,Y)b(2,Y)22.20.10.805927.40.01882 （5分）

六、（15分） （1）P2(x)(x1)(x2)(x0)(x2)(x1)(x0)f(0)f(1)f(2) （ 5分）

(01)(02)(10)(12)(21)(20)（2）I330f(x)dxP2(x)dx34f(0)904f(2)=I1 取f(x)x3，代入求积公式，左边=14349423右边 代数精度为2.构造一个二次插值多项式p2(x)满足下列条件

p2(0)f(0),p2(2)f(2),p'2(2)f'(2)

f(x)p3)()2(x)f(3!x(x2)2,ab333f(3)()

0f(x)dx0p2(x)dx03!x(x2)2dx因为p2(x)为二次多项式，所以

3p2(x)dx34p94p392(0)2(2)04f(0)4f(2) II3f(3)()103!x(x2)2dx (3)f()33!0x(x2)2dxf(3)()93(3)3!48f()

5分）

5分） （（