研究生期末考试试题A (闭卷考试)
课程名称:数值分析
所有试题答案写在答题纸上,答案写在试卷上无效 题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分 注:计算题取小数点后四位 一、填空题(共30分,每空3分)
1、 已知x=是由准确数a经四舍五入得到的近似值,则x的绝对误差
界为_______________。 2、数值微分公式f'(xi)f(xih)f(xi)的截断误差为 。
h3、已知向量x(1,3)T,求Householder变换阵H,使Hx(2,0)T。 H 。 4、利用三点高斯求积公式
1
14f(x)dx0.5556f(0.7746)0.88f(0)0.5556f(0.7746)
导出求积分
f(x)dx042的三点高斯求积公式 。
5、若f(x)5x2x3,则 f[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.
6、以n + 1个互异节点xk ( k =0,1,…,n),(n>1)为插值节点的 Lagrange 插值基函数为lk(x)( k =0,1,…,n),则
lk0nk(0)(xk1)__________.
7、已知P3(x)是用极小化插值法得到的cosx在[0,4]上的三次插值多项式,则P3(x)的
截断误差上界为R(x)cosxP3(x)_________.
8、已知向量x(3,2,5)T,求Gauss变换阵L,使Lx(3,0,0)T。L_________. 9、设f(x)(x7), 给出求方程f(x)0根的二阶收敛的迭代格式_________。
10、下面M文件是用来求解什么数学问题的________________________.
function [x,k]=dd(x0) for k=1:1000 x=cos(x0); if abs(x-x0)<, break end x0=x; end
32111二、(15分)已知矛盾方程组Ax=b,其中A20,b1,
211(1)用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解,即A=QR。 (2)用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。 三、(10分)已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式
xi(k1)(biaijxj1i1(k1)jji+1anijx(jk))/aii,i1,2,n1,n,
(1)试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵;
1(2)若Aaa,推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。 1四、(15分)(1)证明对任何初值x0R,由迭代公式xk111sinxk,2k0,1,2,...
所产生的序列xkk0都收敛于方程x11sinx的根。 2k0,1,2,...是否收敛。
(2)迭代公式xk12xk11sinxk,2五、(15分)用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线,使之拟合下列数据
xiyi并求平方误差22-2-112
30.813.4。
六、(15分)(1)写出以0,1,2为插值节点的二次Lagrange插值多项式P2(x); (2)以0,1,2为求积节点,建立求积分I并推导此求积公式的截断误差。
30f(x)dx的一个插值型求积公式,
中国石油大学(北京)2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)
课程名称:数值分析
题号 得分
一 二 三 四 五 六 总分 1116一、(30分) 1、10; 2、O(h); 3、H22343; 14、
f(x)dx1.1112f(0.4508)1.7778f(2)1.1112f(3.92);
010015、 5; 6、1; 7、; 8、L210;
31250133(xk7)2 9、 xk1xk2 526(xk7xk)10、用简单迭代法xk1cos(xk)求方程xcos(x)的根。 二、(15分)(1)
u1(1,2,2)T,u2(1,0,1)T1(1,2,2)T,311v2u2(u2,1)1u21(2,-2,1)T,2v2=(2,-2,1)Tv1u1(1,2,2)T,1
33u131u21211AQR31202101T(2)RxQTb5/31/3,x419,3 三、(10分) (1) ak1)iix(ibii1a(k)ijxjijxj,j1jna(k+1)i+1in,n1,L,2,1Dx(k1)bLx(k1)Ux(k))(DL)x(k1)Ux(k)b
x(k1)(DL)1Ux(k)(DL)1b迭代法的矩阵形式x(k1)Bx(k)g迭代矩阵B(DL)1U右端向量g(DL)1ba11L0其中Da0L22Ma210O,LMOMannan1La0nn10a12La1nUMOMM0an1,n (60LL0(2)迭代矩阵B(DL)1U101a0a10010
0a0aa1000a2(10分)
(5分)
分)
(B)a2,迭代格式收敛的充分必要条件是(B)1, (4分)
即a210a1四、(15分)(1)记(x)111sinx,则'(x)cosx。 221sinx[0.5,1.5] ,2先考虑区间[,],当x[0.5,1.5]时,(x)1'(x)11cosx1 。故对任意初值x[0.5,1.5],由迭代公式221xk11sinxk,21k0,1,2,...产生的序列xkk0 都收敛于方程x1sinx2的根。 (9分)
对任意初值x0R,有x111sinx0[0.5,1.5],将此x1看成新的迭代初值,则21sinxk,2k0,1,2,...产生的序列xkk0 都收
由(1)可知,由迭代公式xk11敛于方程x11sinx的根。 (3分) 211sinx,则'(x)2cosx,对任意xR,有'(x)1.5 221sinxk,2k0,1,2,...不收敛。 (3分)
(2)记(x)2x1所以迭代公式xk12xk1五、(15分)
1(x)x,2(x)x2-243-110.81,2,Y,111 (10分) 243.40.1100a1a0.1,=034b27.4b27.40.805934s(x)0.1x+0.8059x222(Y,Y)a(1,Y)b(2,Y)22.20.10.805927.40.01882 (5分)
六、(15分) (1)P2(x)(x1)(x2)(x0)(x2)(x1)(x0)f(0)f(1)f(2) ( 5分)
(01)(02)(10)(12)(21)(20)(2)I330f(x)dxP2(x)dx34f(0)904f(2)=I1 取f(x)x3,代入求积公式,左边=14349423右边 代数精度为2.构造一个二次插值多项式p2(x)满足下列条件
p2(0)f(0),p2(2)f(2),p'2(2)f'(2)
f(x)p3)()2(x)f(3!x(x2)2,ab333f(3)()
0f(x)dx0p2(x)dx03!x(x2)2dx因为p2(x)为二次多项式,所以
3p2(x)dx34p94p392(0)2(2)04f(0)4f(2) II3f(3)()103!x(x2)2dx (3)f()33!0x(x2)2dxf(3)()93(3)3!48f()
5分)
5分) ((
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