初二几何经典训练题
1、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm.
⑴求证：四边形ABFE是等腰梯形; ⑵求AE的长.
2、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF和OF的长。
3、如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ycm2．（1）求AD的长及t的取值范围；（2）当1.5≤t≤t0（t0为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律。
4、如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G,若CF=15cm,求GF之长。
5、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE =∠C。 （1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）。
6、如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，
我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离。
7、如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
（1）若AB=6，求线段BP的长；
（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．
8、如图已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥FG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。
（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是 _________ ； （3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_____________。
对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明。
1、解答：（1）证明略;⑵AE=BF=
.
（1）过点D作DM⊥AB，根据已知可求得四边形BCDM为矩形，从而得到DC=MB，因为AB=2DC，从而推出△ABD是等腰三角形，从而得到∠DAB=∠DBA，因为EF∥AB，AE不平行FB，所以AEFB为梯形，从而根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形得证；
（2）由已知可得到△DCF∽△BAF，根据相似三角形的对应边成比例，可得到AF的长，再根据△BCF
2
∽△ACB，得到BF=CF•AF，从而求得BF的长，由第一问已证得BF=AE，所以就求得了AE的长。 2、解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形 ∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC
∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（两直线平行，内错角相等） ∴∠OCB=∠OBC ∴∠DAE=∠CBF 又∵AE=
1 2
OA，BF=
1 2
OB
∴AE=BF
∴△ADE≌△BCF；
（2）过点F作FG⊥CD于点G，
∴∠DGF=90°
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90° ∴∠DGF=∠DCB 又∵∠FDG=∠BDC ∴△DFG∽△DBC ∴
FG BC
＝
DF DB
＝
DG DC
由（1）可知F为OB的中点， 所以DF=3FB，得
DF DB
＝
3 4
∴
FG 4
＝
3 4
＝
DG 8
∴FG=3，DG=6
∴GC=DC-DG=8-6=2 在Rt△FGC中，CF＝
FG2+GC2
＝
9+4
＝
13
cm．
（说明：其他解法可参照给分，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）
解答：（1）略（2）∴OF=cm．
（1）根据矩形的对边相等、对角线相等且相互平分等性质可证△ADE≌△BCF；
（2）要求CF的长，若CF在一直角三角形中，则可用勾股定理求解．由此需要添加辅助线，过点F作FG⊥CD于点G，则△DFG∽△DBC；由（1）的结论可得DF=3FB，则可算出FG、DG的值，进而求得CF的长．
3、解答：
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、∠B=90°过D作DE⊥BC于E点，如图所示 ∴AB∥DE ∴四边形ABED为矩形， ∴DE=AB=12cm 在Rt△DEC中，DE=12cm，DC=13cm ∴EC=5cm ∴AD=BE=BC-EC=3cm（2分） 点P从出发到点C共需 13+3 2
=8（秒），
点Q从出发到点C共需 8
1
=8秒（3分）， 又∵t≥0，
∴0≤t≤8（4分）；
（2）当t=1.5（秒）时，AP=3，即P运动到D点（5分） ∴当1.5≤t≤8时，点P在DC边上
∴PC=16-2t 过点P作PM⊥BC于M，如图所示 ∴PM∥DE ∴ PC DC = PM DE 即 16?2t 13 = PM 12
∴PM= 12
13
（16-2t）（7分）
又∵BQ=t∴y= 1 2
BQ?PM = 1 2 t? 12 13
（16-2t） =- 12 13 t2+ 96 13
t（3分），
（3）∵由（2）知y=- 12 13 t2+ 96 13 t=- 12 13
（t-4）2+ 192
13 ，
即顶点坐标是（4， 192
13 ），抛物线的开口向下，
即抛物线被对称轴分成两部分： 在对称轴的左侧（t＜4），△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大； 在对称轴的右侧（t＞4）时，△PQB的面积随着t的增大而减小； 即当0≤t≤1.5时，△PQB的面积随着t的增大而增大；
当1.5＜t≤4时，△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大； 当4＜t≤8时，△PQB的面积随着t的增大而减小．（12分）
注：①上述不等式中，“1.5＜t≤4”、“4＜t≤8”写成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分．
②若学生答：当点P在AD上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而增大，当点P在DC上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而（继续）增大，之后又随着t的增大而减小．给（2分） ③若学生答：△PQB的面积先随着t的增大而减小给（1分） 4、解答：∵AE=EB，CE=ED，∠AEC=∠BED， ∴△AEC≌△BED，
∴∠ACE=∠EDB，∠EAC=∠EBD，AC=BD， 又∵D为线段FB的中点， ∴AC
∥
.
FD，
∴四边形ACFD为平行四边形， ∴△AGC∽△BGF， ∴
CG GF
＝
AC FB
=
1 2
， ∴
CF−GF GF
＝
1 2
， 又∵CF=15cm，解得GF=10（cm）， ∴GF=10（cm）． 5、解答：（1）∵AD∥BC， ∴∠C+∠ADE=180° ∵∠BFE=∠C， ∴∠AFB=∠EDA ∵AB∥DC， ∴∠BAE=∠AED ∴△ABF∽△EAD。 （2）∵AB∥CD，BE⊥CD， ∴∠ABE=90°， ∵AB=4，∠BAE=30° 设，则
由勾股定理得
解得。
（3）∵△ABF∽△EAD
∴
得。
6、解答：解：作出示意图
连接AB，同时连结OC并延长交AB于E， …………………………………………（1＇） 因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴 …………………………………………（2＇） ∴OE⊥AB AE＝BE ………………………………………………（3＇） ∴Rt△OCD∽Rt△OAE ……………………………………………………（4＇）
∴＝…………………………………………………………………（5＇）
＝
＝26 ……………………………………（6＇）
而OC＝
即＝ ∴AE＝＝15 ……………………（7＇）
∴AB＝2AE＝30（mm）…………………………………………………（8＇） 答：AB两点间的距离为30mm.
7、解答：（1）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形 ∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE
∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED ∴△ABP∽△ADE ∴ BP DE = AB AD
∴BP= AB AD ?DE= 6
18
×6=2；
（2）图中的△EGP与△ACQ全等 证明：
∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形 ∴AB=BC=EF=FG ∴AB+BC=EF+FG ∴AC=EG ∵AD∥HE ∴∠1=∠2 ∵BG∥CF ∴∠3=∠4
∴△EGP≌△ACQ。
8、解答：（1）证明：∵FH∥EG∥AC，
∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC， ∴
．∴
，
又∵BF=EA， ∴∴
， ，
∴AC=FH+EG；
（2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG+FH=AC， 证明（2）：过点E作EP∥BC交AC于P， ∵EG∥AC，
∴四边形EPCG为平行四边形， ∴EG=PC，
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP， 又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA， ∴HF=AP，
∴AC=PC+AP=EG+HF， 即EG+FH=AC；
（3）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG﹣FH=AC， 如图，过点A作AP∥BC交EG于P， ∵EG∥AC，
∴四边形APGC为平行四边形， ∴AC=PG，
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠E，∠FBH=∠ABC=∠PAE， 又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA， ∴HF=EP，
∴AC=EG﹣EP=EG﹣HF， 即EG﹣FH=AC。
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