高三数学抛物线

抛物线 一、 知识网络 二、高考考点 1.抛物线定义的应用；

2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程； 3.抛物线的焦点弦引出的问题；

4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围问题； 5.抛物线与三角形（或四边形）问题。 三、知识要点 （一）定义与推论

1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

这一定义为抛物线上任意一点M的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础. 2.推论：抛物线的焦点半径公式 设 为抛物线 上任意一点，则 设 为抛物线 上任意一点，则 其它情形从略。

（二）标准方程与几何性质

1.标准方程 设抛物线的焦点F到准线l的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程： ① ② ③ ④

认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.

其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）； 一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）； 一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2倍. 2.几何性质 对于抛物线

（1）范围： 这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；

（2）对称性：关于x轴对称 轴为这条抛物线的轴. 认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一） （3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）

（4）离心率： （抛物线主要共性之二） （三）挖掘与引申 1.抛物线方程的统一形式

1） 顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为 ，其焦点参数 （一次项系数绝对值的一半）； 焦点 ，准线 ；

顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为 ，其焦点参数 （一次项系数绝对值的一半）； 焦点 ，准线 ；

（2）顶点在 ，对称轴垂直y轴的抛物线方程为： ，其焦点参数 ；

顶点在 ，对称轴垂直x轴的抛物线方程为： ，其焦点参数 ；

2.抛物线的焦点弦

设 且PQ为抛物线 的一条经过焦点的弦. （1）弦端点同名坐标的关系

（推导上述命题的副产品： ，其中k为直线PQ的斜率） （2）焦点弦长公式 （Ⅰ）。

（Ⅱ）设直线PQ的倾斜角为 ，则 故有：

（3） 的面积公式： ；

（4）焦点半径 与 的关系 （定值）

（四）直线与抛物线

直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察： 直线与抛物线交于不同两点

直线与抛物线交于一点 （相切）或直线平行于抛物线的对称轴；

直线与抛物线不相交 四、抛物线经典例题

例1、（1）抛物线 的焦点坐标为 ；

（2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F的距离为5，则抛物线方程为 ；

（3）经过抛物线 的对称轴上一点 作直线l与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为 ，则B点纵坐标为 .

分析： （1）将抛物线方程化为标准方程切入 当 时，抛物线标准方程为 ，此时，焦参数 ，焦点 ；

当 时，抛物线标准方程为 ，此时，焦参数 ，焦点 ； ∴综上可知，不论a的正负如何，总有焦点坐标为 . （2）这里 .注意到焦点半径 在不同标准方程下的不同形式，运用抛物线标准方程的统一形式也不能避开讨论，故而爽直地从标准方程的讨论入手。 ①注意到点A在x轴下方，因此，

（Ⅰ）当抛物线焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为 ，则 ①

又点A在抛物线上，则 ② ∴由①，②得： 或 ∴由①得：p=9或p=1 ∴抛物线方程为： 或

（Ⅱ）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为 ， 则 ，且

仿（Ⅰ）解得 p=1或p=9 ∴抛物线方程为 或

（Ⅲ）当抛物线焦点在y轴负半轴上时，设抛物线方程为 ， 则 ， ∴p=4

∴此时抛物线方程为 于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）抛物线方程为 或 或 .

（3）为推导出其普通性的结论，我们将所给问题定义升级 经过抛物线 的对称轴上一定点 作抛物线的弦AB，若设 ，寻找点A、B的同名坐标之间的联系。

设弦AB所直线方程为 ① 由①与 联立，消去x ： ∴ ② ∴ ③

（Ⅱ）应用上述结论，当a=p， 时，由②得 ∴ B的纵坐标为-4p

例2 、已知抛物线 ，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小值为 ，求抛物线方程. 分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。 解：注意到抛物线开口大小的不确定性

（1）当点A和焦点F在抛物线的异侧时，由三角形性质得

∴ ∴ ，解得p=2或p=6。

注意到p=6时，抛物线方程为 ，此时若x=2，则 ，与点A所在区域不符合；当p=2时，抛物线方程为 ，当x=2时， ，符合此时的情形。

（2）当点A和焦点F在抛物线的同侧时（如图），作MN⊥准线l于点N， ， 得

∴ ∴ ，解得

易验证抛物线 符合此时情形。

于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为 或.

点评：求解此题有两大误区：一是不以点A所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（2））导出抛物线方程后不进行检验。事实上，在这里不论是A在什么位置，总得 成立，本题进行的检验是必要的. 例3、经过抛物线 的焦点作弦AB.

（1）若弦AB被焦点F分成的线段之比为3：1；求该弦所在直线的方程；

（2）求证：直线AB不会是这条抛物线任意一条弦CD的垂直平分线.

分析：对于比较复杂的抛物线的焦点问题，常采用对交点坐标\"设而不解\"的策略.

解：（1）设 由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为 ① 将①代入

消去x得： 由韦达定理得： ② 又由题意得 （或 ） ∴ ③

∴由③得：

④

∴将②代入④解得： ∴所求直线方程为： 或 .

（2）证明：由题意抛物线焦点 ，准线 ；假设直线AB为弦CD的垂直平分线.则 ⑤

注意到C，D两点在抛物线上∴ 过C，D分别作 于G， 于H，则又有 ⑥

∴由 ⑤、⑥知 ，即四边形CDHG为矩形 ∴ 轴 ∴ 轴

∴这与直线AB与抛物线有两个交点矛盾。 于是可知，直线AB不是弦CD的垂直平分线。

点评：（Ⅰ）本例（1）的求解特色，一是利用三角形相似转化已知条件；弦AB被焦点F分成的线段比为3：1（或 ）；二是以 为基础构造并寻觅出 和 的关系式，从而为利用①式创造了条件.

（Ⅱ）对于（2）等否定性命题，常常用反证法证明.请大家在解题过程中注意领会和感悟反证法的思路与策略.

例4、如图，已知抛物线 的焦点为F，直线l过定点A(4,0)，且交抛物线于P、Q两点。

（1）若以PQ为直径的圆经过原点，求p的值； （2）在（1）的条件下，若 ，求动点R的轨迹方程。 分析：注意到直线l过定点A(4,0)，引入新参数k，故考虑

对P、Q坐标\"既设又解\"。

解： （1）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为 ①

把①代入抛物线方程 得 由题意： 恒成立 且 ② ∴ ③ 由题设得 ④

∴②、③代入④得： ∴此时p=2

当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=4， 将x=4代入抛物线方程 得： . ∴由 得 ∴此时亦p=2

于是综合以上讨论得p=2. （2）

解法一（既设又解）：设动点R坐标为（x,y）， 由（1）知p=2，F(1,0) ∴ ∴由 得：⑤

∴由②、⑤得：⑥ ⑦

由⑥、⑦消去参数得：

当直线l垂直于x轴时，有 ，从而点 满足 因此，所求动点R的轨迹方程为 .

解法二（设而不解）：由（1）所设 . 得： ⑧ 又

∴两式组合得： ，即 ∴当 时得： ⑨

注意到 得 四边形PRQF为平行四边形.

∴线段PQ与FR互相平分 设FR中点为M，由⑧得 再注意到P、Q、M、A四点共线 ∴ ∴⑩

∴由⑨、⑩得： 而当 时， 适合⑩式

于是可知，所求动点R的轨迹方程为 .

点评：对于（2）解法一\"既设又解\"的思路，过程简略，不需认知条件 几何意义，便可导出动点R的条件， 的几何意义以及P、Q、M、A四点共线的特殊性质，解题具有较高的技术含量。

例5、直线l与抛物线 交于A、B两点，O为原点，且有 .

（1）求证：直线l恒过一定点； （2）若 ，求直线l的斜率的取值范围.

（3）设抛物线焦点为F， ，试问：角 能否等于 ？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，试说明理由。 分析：鉴于问题的复杂性，考虑对A、B坐标\"既设又解\"，注意到大前提有三个小题，故从大前提的认知与延伸切入. 解： （1）设 ，则有 由 得 ① ∴②

注意到这里 ，由①得： ，故由②得 ，③ （Ⅰ）当直线l与x轴不垂直时，设其方程为 ， 将其与抛物线方程 联立，消去x得： 由题意： ④ 且 ⑤

∴由③，⑤得： ∴直线l的方程为 ，可见直线l过定点(2,0)。

（Ⅱ）当 轴时可得 ，直线l方程为 ，亦过定点(2,0)。 综上可得，直线l恒过定点(2,0)。 （2）由（1）得： ∴由 得：

∴所求k的取值范围为 （3）设 ，则有

⑥ 又

⑦而由抛物线定义知： ， ⑧

∴将⑦，⑧代入⑥解得： ，这与 且 矛盾。 并注意到当 轴时， 综上可知， 。

点评：若直线与抛物线 交于不同两点A、B，且 ，则弦AB具有与焦点弦相似的性质：

（Ⅰ）弦端点同名坐标之积为定值： （Ⅱ）直线AB经过抛物线的轴上一定点.

例6、已知抛物线 .设AB是抛物线上不重合的两个任意点，且 ， （O为坐标原点） （1）若 ，求点M的坐标； （2）试求动点M的轨迹方程。

分析：注意到这里解题头绪的繁多，故考虑对A、B坐标\"既设又解\"或\"解而不设\"，以\"求解\"来化解解题的难度。 解：设 ，则 且 . ∴由 得 ①

解法一（既设又解）：

由 得 又 故得 ②

∴由①、②得 ∴③ ∴ （或 ） ④

于是再由已知条件得 ∴此时点M坐标为(4p,0). （2）设动点M(x,y)，则由 得 ⑤ 又由①得： ∴⑥

∴由⑤、⑥得： 整理得：

∴所求动点M的轨迹方程为 . 解法二（对A、B坐标解而不设）： 由题意，设直线OA的方程为 ，

则直线OB ： .设M(x,y)，得 由∴由 得

解得 由 解得 ⑦

（1）由 得： ∴ ，即 ∴当 时或 时，均由⑦得点 ；

（2）注意到 ，由⑦得 ∴消去参数k，得 即 ∴所求动点M的轨迹方程为 . 点评：

（1）本题已知条件： ， 四边形OAMB为矩形. （2）对解法一、解法二进行比较：

（Ⅰ）对交点坐标\"解而不设\"思路简捷，过程明朗，通俗易懂。因此，当直线方程或曲线方程比较简单时，要注意适时运用这一策略。

（Ⅱ）细细品味，解法一中对A、B坐标的\"既设又解\"，与前面解决直线与椭圆（或双曲线）相交问题时，对交点坐标的\"只设不解\"有着明显不同。其中，前面解决直线与椭圆（或双曲线或抛物线）相交问题时，设出交点坐标之后，解\"直线方程与曲线方程联立的方程组\"，解题中途运用韦达定理；而本题中设出A、B坐标之后，解的是\"关于所设交点坐标的等式所成的方程组\"，而且是一解到底，直到解出所设交点坐标，前后的\"既设又解\"，一样说法，两种风情，其中的区别与缘由，需要我们细细品味。 五、高考真题

（一）选择题

（1）已知双曲线 （ ）的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D.

分析：抛物线 的准线为 ∴对于双曲线有： ① ∴ ②

∴由①，②得： ∴由②得 于是： ，应选D.

（2）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A.

B. [-2，2] C. [-1，1] D. [-4，4]

分析：抛物线 的准线方程为 ∴点Q坐标为（-2，0） 由题意，设直线l的方程为 代入 得： ①

可知，k=0符合已知条件； ② ∴当 时，由①得 ③

∴由②，③得 应选C.

（3）过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）

A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有无穷多条 D.不存在

分析：抛物线 的焦点F（1，0）.

若直线 轴，则A、B横坐标之和等于2，与题意不合，故AB不垂直于x轴，于是由抛物线关于x轴的对称性知，这样的直线有两条，故选B. （二）解答题

1.设 两点在抛物线 上，l是AB的垂直平分线.

（1）当且仅当 取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围. 分析：从线段AB的垂直平分线的性质切入

（1）直线l经过F 又l为弦AB的垂线平分线 ，问题由此可以突破

（2）以A、B关于直线l对称的条件突破难点。 解： （1）抛物线 ∴焦点 ∵

∴ 即 ， ∵ ，∴ ，

即当且仅当 时，直线l经过抛物线的焦点F.

（2）设直线l在y轴上的截距为b， 则直线l的方程为 ∴可设直线AB的方程为 ① ①代入 得： ∴由题意得： ② 且 ③

又设弦AB的中点为 ， 解得： ， ， 即：

注意到 ， ∴ ∴ ④

∵由②得： ∴由④得：

即直线l在y轴上的截距的取值范围为

点评：利用 解出的范围②，再利用直线l经过弦AB的中点导出b与m的关系式，则由②导出b的取值范围便呼之欲出了。

2.抛物线C的方程为 ，过抛物线C上一点 作斜率为 的两条直线分别交抛物线C于 两点（P、A、B三点互不相同），且满足 （ ，且 ）.

（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线AB上一点M，满足 ，证明：线段PM的中点在y轴上；

（3）当 时，若点P坐标为（1，-1），求 为钝角时，点A的纵坐标 的取值范围. 分析：

（Ⅰ）对于（2），为采用向量的坐标公式，通过直线方程去求解或表示点A、B坐标。因此，解（2）由写出斜率为 的直线方程切入，从求解A、B坐标突破（对A、B坐标既设又解）； （Ⅱ）对于（3）， 为钝角 ，故仍从推导A、B以及入手. 解：（1）抛物线方程 这里的焦点参数 ， ∴焦点坐标为 ， ∴准线方程为 （2）由题设知 ① ∴直线 的方程为 ②

②与抛物线方程 联立解得 ∴当 时， ， ∴ ， ③ 同理， ④

设点M坐标为 ，则由 以及③、④得 又 ，∴ ，

∴ ，即线段PM的中点在y轴上. （3）当 时，

由点P（1，-1）在抛物线 上得 . ∴由（2）得 ， ∴ ， ∴注意到 为钝角 而 ，

∴当 时， ，从而 ； ⑤

当 时， ，从而 ⑥

于是综合⑤、⑥得所求 的取值范围为

点评：对于本题而言，第（2）小题的处理至关重要，在这里，利用点P坐标和斜率 ，首先建立起直线 的方程，而后与抛物线方程联立，导出 与 的关系式③，则获知 与 的关系式④，便一蹴而就，于是再利用题设条件推导点M的横坐标与 的关系便有八分胜算了。

3.在平面直线坐标系 中，抛物线 上异于坐标原点O的不同两点A、B满足 （如图） （1）求 的重心G的轨迹方程； （2） 的面积是否存在最小值？ 若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由.

分析：注意到抛物线方程 的简单以及 重心公式的结构，容易首先对A、B坐标\"设而不解\"；其次是\"解而不设\".其实，若注意到 的表达式，则\"解而不设\"会更胜一筹。 解：

（1）设直线OA的方程为 ，将其与抛物线方程 联立，解得 又由 ，设直线OB的方程为 ，同理解得

设 的重心为 ，则由三角形重心坐标公式（推导从略）得 注意到 ，

由①，②消去参数 得 即

∴所求 的重心G的轨迹方程为 （2）设 的面积为S，由 得

当且仅当 时取等号. ∴ （当且仅当 时取得） ∴ 的面积存在最小值，且最小值为1.

点评：对有关直线与曲线的交点\"解而不设\"，使解题的脉胳清晰，前途明朗，解题的技术含量较低。因此，对于方程简单的抛物线与直线相交问题，应注意适时的运用这一策略。 4.如图，设抛物线 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过

点P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求 的重心G的轨迹方程； （2）证明：

分析：注意到这里的PA、PB为切线，并且抛物线方程简单， 故考虑对A、B坐标\"设而不解\"；对于（2），由于（1）中已经

设出并表示出A、B、P的坐标，故首选以证明两角的余弦值相等突破。 解： （1）设切点

由 得：切线PA的方程为 ① 切线PB的方程为 ② ∴由①，②联立解得点P坐标 。 设 的重心坐标为 ， 解得： 即 ③ ∴ ④

注意到点P在直线l上， ∴ ⑤

∴④代入⑤得： ， 即：

∴所求 的重心G的轨迹方程为 . （2）由（1）知 ， 又

∴ ， ，且 ， ∴ ∴ ∴

点评：在此证明习题的过程中，将有关点的坐标或向量的坐标分别代入目标式两边，乃是为了在变形之后暴露出左右两边的相同之处。因此，当目标式两边中有同一量时，可考虑暂时保持这一量不变，而率先变化其余部分；\"保留相同部分，变形不同部分\"，这是用计算的方法证明等式成立的基本技巧。请同学们在上述解答中品悟这一技巧的应用。 5.已知动圆过定点 且与直线 相切，其中p0. （1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β为定值 时，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。 分析：（1）定点 ，直线 ，得由直线与圆相切的充要条件知，动圆圆心M到定直线l的距离等于圆的半径 ，据此，可运用\"直接法\"，也可运用\"定义法\"求动圆圆心轨迹方程。 （2）注意到这里最终须写出直线AB的方程，又直线OA、OB

的方程易求，从而A、B坐标易解，故可优先选择对点A、B的坐标 \"解而不设\"。

解：（1）设动圆圆心 ，定点 ，由动点M到定点F和定直线l距离相等，且定点不在定直线上

∴由抛物线定义知，动点M的轨迹C是以定点 为焦点，直线 为准线的抛物线

∴动点M的轨迹C的方程是：

（2）设直线OA的方程为 ，直线OB的方程为 ，则 ， . ∴由 解得： ， 由 解得：

（Ⅰ）直线AB的斜率： ∴ 直线AB的方程为： 即 ① 注意 ，

∴由①解直线AB的方程为： ② 即 ③

又注意到这里 为定值，∴由②知直线AB恒过定点 （Ⅱ）讨论：当 时， ，从而 ，由①直线AB的方程为 ，此时直线AB恒过定点（2p，0）

当 ，即 时， ，这里 不合，于是综合以上讨论可知，当 时，直线AB恒过定点（-2p，0）； 当 时，直线AB恒过定点

点评：运用这一策略解题，其难度在于由①到②的凑项；当 时，为将直线AB过定点和 建立联系，首先在直线AB的方程①的常数项部分凑出 ，则前一部分自然随之变为 ，于是方程①摇身一变成为方程②，直线AB经过的定点便暴露在我们的视野之中了。

6.给定抛物线 ，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.

（1）设l的斜率为1，求 与 夹角的大小； （2）设 ，若 ，求l在y轴上截距的变化范围.

分析：当 与 的夹角为 ，以求 的值切入。

注意到（1）的目标与（2）的条件，故考虑对交点A、B的坐标\"既设又解\"，以取\"设\"与\"解\"的两者之中，简化求解过程。 解：

（1）抛物线C的焦点F（1，0），直线l的方程为 ①

设 ， 与 的夹角为 ， 将①代入抛物线方程 得：

由题设知， 为这一方程的不等实根， 显然成立

由违达定理得 ②∴ ③ ④

∴ 由③、④解 ∴ 与 夹角的大小为

（2）设直线l的方程为 ， 。由 得 显然成立 且 ⑤ 由题设 得 即 ∴ 又 ∴⑥

∴由⑤、⑥解得 ⑦ 于是将⑦代入 得： 解得： ⑧ 当 解

∴ 在[4，9]上为增函数∴ 即 ∴ ∴

∴ 由⑧得 或 或

因此，直线l在y轴上的截距 的取值范围为

点评：对于（2），利用向量的坐标由 导出 ，是沟通 与A、B坐标的联系，进而通过⑤式导出k与 关系。