高考数学讲义椭圆之中点弦问题

2014年二轮复习

椭圆之中点弦问题

椭圆之中点弦问题 高考大纲

要求层次 内容 明细内容 了解 椭圆的定义与标准方程 椭圆的简单几何意义 抛物线的定义及其标准方程 圆锥曲线 抛物线的简单几何意义 双曲线的定义及标准方程 双曲线的简单几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 √ √ 理解 √ 掌握 √ √ √ √ 自检自查必考点 北京三年高考两年模拟统计 高考试题 模拟试题 共计 中点弦 7 7 垂直角度 8 8 弦长面积范围 4 11 15 定点定值 14 14 共线比例 1 4 5 其它 1 4 5

自检自查必考点

圆锥曲线总结：

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

中点弦常考题型

（1）|PB||PA|PQABkPQ1 kAB设A(x1,y1),B(x2,y2)，注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为x1,x2的，其它点不要随便设为

A(x1,y1),B(x2,y2).Q为弦AB的中点.

设直线方程为ykxm，不要设为ykxb，因为b在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程

ykxm2222x(kxm)1k2kmm221，即(22)x2x210 消去y，得2xy22ababbb221ab设A(x1,y1),B(x2,y2),则

2222(2km)24(1k)(m1)4(m1k)0b2a2b2b2a2b2a2b22km2bx1x221ka2b2m212bx1x21k222ab

yBPOQxA中的高次项是可消去的.

k2mk2mmk2mmkm222222x1x2bbababmxQ yQkxQm 22221k1k1k1k222222222abababab（由xQ求yQ分子是可消去的）

kmm22ba,) 故中点Q的坐标为(1k21k22222abab定点P设为(s,t)

t1k2m1k22t(22)22yQtabaab kmkm1k2xQs2s(22)2bbabs21ka2b2ma2则kPQm1k2t(22)21aab故 2km1kk2s(22)babkm1k2km1k2kt(22)2s(22) a2abbab111k2km(22)(kts)(22)abab

（2）以OA,OB为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆上

x1x2yy,yQ12 22易知P点坐标

2km2bxP2xQx1x2 1k222abxQ2k2m2byP2yQy1y2kx1mkx2mk(x1x2)2m2m21k22ab2k2m2m2k2m2m2222baba 

1k21k2a2b2a2b2

yBOQxPA注意：1.不能把xP代入ykxm方程中求yP，因为点P不在直线上. 2.由xP求yP分子是可消去的.

2km2m故P(b21k2,a212)在椭圆上. a2kb2a2b22km2m(b2221k)(a1k2)22则a2b22a2a2bb21 两边同时乘以(1k22a2b2)得

4k2m24m21a2b2k22a2b2(a2b2) 4m22a2b2(k21)(1k2a2b2) 注意：分母不要通分和化简，均采用整体法进行处理. 3）弦AB的垂直平分线交x,y轴分别为点N,M

kmm中点Q的坐标为(b212,a22) a2k1kb2a2b2mkm垂直平分线方程为ya21k21(xb21k2) a2kb2a2b2m(11令x0，得到M点坐标为(0,a2b2)1k2) a2b2km(11令y0，得到N点坐标为(a2b2)1k2,0)a2b2

ylAMONxQB（

例题精讲

x2y21，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 【例1】 已知椭圆2

x2y2【例2】 证明在椭圆22（中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的1a＞b＞0）aby0b2中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN2.

x0a

【例3】 在直角坐标平面内，已知点A(2,0),B(2,0)， P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；

3. 4(Ⅱ)过点(,0)作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M,求直线MA的斜率k的取值范围.

12

x2y22【例4】 设椭圆C:221(ab0)的离心率为e,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两

2ab焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C的方程；

（2）椭圆C上一动点Px0,y0关于直线y2x的对称点为P1x1,y1,求3x14y1的取值范围.

y21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足【例5】 设椭圆方程为x4uuur1uuuruuur11OP(OAOB)，点N的坐标为,.当l绕点M旋转时，求：

2222（1）动点P的轨迹方程； （2）|NP|的最大值和最小值.