数列的概念与简单表示法(含 解析)

知识要点

1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：

①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：

分类标准项数项与项间的大小关系类型有穷数列无穷数列递增数列递减数列常数列

(3)数列的通项公式：

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

2．数列的递推公式

如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数

满足条件项数有限项数无限an＋1>anan＋13.对数列概念的理解

(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．

(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．

4．数列的函数特征

数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．

题型一：由数列的前几项求数列的通项公式

[例1]　下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是(　　)

A．an＝1　　　 B．an＝ C．an＝2－ D．an＝

[自主解答]　由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案]　C

变式：若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{an}的一个通项公式为________．

答案：an＝

由题悟法

1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．

2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．

以题试法

1．写出下面数列的一个通项公式．

(1)，，，，，…； (2)－1，，－，，－，，….

解：(1)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.

(2)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，

所以an＝(－1)n·，也可写为an＝

题型二：由an与Sn的关系求通项an

[例2]　已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an.

(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1.

[自主解答]　(1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1.

(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.

当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，故an＝

由题悟法

已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：

(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．

以题试法

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，则＝(　　)A.　　　　　B. C. D．30

解析：选D　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，则a5＝＝.题型三：数列的性质（数列的函数思想）命题点1　数列的单调性与最值

[例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？

(1)因为an＝n2－21n＋20＝2－，可知对称轴方程为n＝＝10.5.又因n∈N*，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.

(2)设数列的前n项和最小，则有an≤0，由n2－21n＋20≤0，解得1≤n≤20，故数列{an}从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．

变式：在本例条件下，设bn＝，则n为何值时，bn取得最小值？并求出最小值．

解：bn＝＝＝n＋－21，令f(x)＝x＋－21(x>0)，则f′(x)＝1－，由f′(x)＝0解得x＝2或x＝－2(舍)．而4<2<5，故当n≤4时，数列{bn}单调递减；当n≥5时，数列{bn}单调递增．而b4＝4＋－21＝－12，b5＝5＋－21＝－12，所以当n＝4或n＝5时，bn取得最小值，最小值为－12.

由题悟法

1．数列中项的最值的求法

根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．

2．前n项和最值的求法

(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；

(2)根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大；若

am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.命题点2　数列的周期性

例4　数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝____________________________.

解析　∵an＋1＝，∴an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3，

∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝，∴a1＝.解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

以题试法

2016·哈尔滨模拟)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2

015项为

________．

解析　由已知可得，a2＝2×－1＝，a3＝2×＝，a4＝2×＝，a5＝2×－1＝，

∴{an}为周期数列且T＝4，∴a2 015＝a503×4＋3＝a3＝.

基础训练

1．(教材习题改编)数列1，，，，…的一个通项公式是　(　　)A．an＝　　　 B．an＝ C．an＝ D．an＝

答案：B

2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)A．15 B．16 C．49 D．解析：选A　a8＝S8－S7＝－49＝15.

3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则这个数列是(　　)A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摆动数列解析：选A　an＋1－an＝－＝＝>0.

4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是an＝则a4·a3＝________.

解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝.答案：

5．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋，且a2＝，a4＝，则a8＝________.

解析：由已知得解得则an＝n＋， 故a8＝. 答案：

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．

解：∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，

当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，∴{an}的通项公式是an＝

4n(n∈N*)．

∵Tn＝2－bn，∴当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1.当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，∴2bn＝bn－1.∴数列{bn}是公比为，首项为1的等比数列．∴bn＝n－1.

能力提升

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于(　　)A．4　　　　　 B．2 C．1 D．－2

解析：选A　由题可知Sn＝2(an－1)，所以S1＝a1＝2(a1－1)，解得a1＝2.

又S2＝a1＋a2＝2(a2－1)，解得a2＝a1＋2＝4.

2．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝(　　)

A．2n－1 B．n2 C. D.

解析：选D　设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝＝.

3．(2016·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列

5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝(　　)

A．2 022×2 016 B．2 022×2 015C．1 011×2016 D．1 011×2 015

选D　因为an－an－1＝n＋2(n≥2)，所以an＝5＋，所以a2

017－5＝1

011×2 015.

4．已知数列{an}满足ast＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________.　

解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4， 令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.答案：8

5．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＝(n≥3)，则a2

012＝

________.

解析：将a1＝1，a2＝2代入an＝得a3＝＝2，同理可得a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，故数列{an}是周期数列，周期为6，故a2 ＝a335×6＋5＝a7＝.答案：

6．已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.

解析：由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1. 则Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1时不适合an，故an＝

7．列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列．

(1)求c的值；(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)由题知，a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.

012

(2)当n≥2时，由an＋1＝an＋cn得a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…an－an

－1＝(n－1)c，

以上各式相加，得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c，

又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)， 当n＝1时，上式也成立，

所以数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋2(n∈N*)．