向量的数量积经典例题

向量的数量积经典例题(含详细答

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向量的数量积经典例题（含详细答案）

1．已知a3,b4，a,b的夹角为120. 求（1）ab，a2b2ab；（2）2a3b 

2．已知向量a、b的夹角为23,|a|1,|b|2. （1）求a·b的值

（2）若2ab和tab垂直，求实数t的值.

3．已知平面向量a1,2,b2,m （1）若ab，求a2b；

（2）若m0，求ab与ab夹角的余弦值.

4．已知向量a(2,1),b(3,2),c(3,4)， （1）求a(bc)；

（2）若(ab)∥c，求实数的值.

2

5．已知|a|2，|b|3，且(2a3b)(ab)2. （1）求ab的值；

（2）求a与b所成角的大小.

6．已知a1,2，b3,4 （1）若kab与a2b共线，求k； （2）若kab与a2b垂直，求k.

7．已知a2,b3,a与b的夹角为60,c5a3b,d3akb, (1)当cd时，求实数k的值； (2)当cd时，求实数k的值.

3

参考答案

1．（1）6，32； （2）63． 【解析】 【分析】

（1）根据向量数量积的定义进行求解； （2）根据2a3b【详解】

解：（1）∵a3,b4，a,b的夹角为120，

1∴ababcos12034()6，

22a3b2先求数量积，再求模长．

a2b2ab2a（2）

2a3b22b3ab292163(6)32；

22a3b=2224a9b12ab4991612(6)63．

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的定义及平面向量的模长，考查计算能力，属于基础题．

2．（1）1；（2）2. 【解析】 【分析】

（1）利用数量积的定义直接计算即可． （2）利用2ab【详解】

（1）ababcos21121． 32tab0可求实数t的值．

（2）因为2ab和tab垂直，故2abtab0，

221整理得到：2ta2tabb0即2t2t1240，

2解得t2．

1

【点睛】

本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量a,b垂直的等价条件是ab0，本题属于基础题．

65 3．（1）a2b5（2）65【解析】 【分析】

（1）由题可得ab0，解出m1，a2b1,24,23,4，进而得出答案。

（2）由题可得ab(1,2)，a-b(3,2)，再由cos案， 【详解】

因为ab，a1,2,b2,m 所以ab0，即22m0 解得m1

所以a2b1,24,23,4

a2b32425

ababa-b计算得出答

（2） 若m0，则b2,0 所以ab(1,2)，a-b(3,2)

ab5,，a-b13，ab341 所以cos【点睛】

本题主要考查的向量的模以及数量积，属于简单题。 4．（1）10；（2）11 18ababa-b165 655132

【解析】 【分析】

（1）根据向量的坐标运算，得到bc，然后利用向量数量积的坐标运算，得到abc的值；（2）根据向量的坐标运算，得到aλb，再根据向量平行得到关于的方程，求出的值. 【详解】

（1）因为a2,1，b3,2，c3,4 所以bc6,2

所以abc261210. （2）ab23,12 因为(ab)∥c

所以234123 解得【点睛】

本题考查向量线性运算的坐标表示，向量数量积的坐标表示，根据向量的平行求参数的值，属于简单题. 5．（1）ab3；（2）【解析】 【分析】

（1）由(2a3b)(ab)2即|a|2，|b|3，利用向量的数量积的运算律，计算可得。

（2）由夹角公式cos【详解】 解：（1）

abab5. 611 18计算出夹角的余弦值，即可求出夹角。

2a3bab2

3

2a2ab3ab3b2 |a|2，|b|3 22ab3

（2）由（1）知ab3，|a|2，|b|3 cosabab33 2230,

5 6【点睛】

本题考查向量的数量积的运算律，特殊角的三角函数值及夹角公式，属于基础题。 6．（1）【解析】 【分析】

（1）求得kab(k3,2k4)，a2b(7,6)，根据向量的共线条件，即可求解。

（2）根据向量的垂直条件，列出方程，即可求解。 【详解】

（1）由题意，向量a1,2，b3,4，

则kabk(1,2)(3,4)(k3,2k4)，a2b(1,2)(6,8)(7,6)， 因为kab与a2b共线，可得(k3)(6)(2k4)7，

1解得k。

21； （2）9. 2（2）由（1）可得，向量kab(k3,2k4)，a2b(7,6)， 因为kab与a2b垂直，可得(k3)7(2k4)(6)0， 解得k9。

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【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的共线与垂直的应用，其中解答中熟记向量的共线与垂直的条件，以及熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。 7．（1）k【解析】 【分析】

(1)先由cd,设cd，列出等式即可求出结果；

（2）先由题意求出ab，根据cd,得cd0，进而可求出结果. 【详解】

⑴因为cd,所以设cd

5a3b3akb， 53,3k，

929；（2）k. 514k9. 513， 2⑵因为a2,b3,a与b的夹角为60,ab23又 cd,cd0，

5a3b3akb15a23kb25k9ab6027k35k90， k29. 14【点睛】

本题主要考查向量共线以及垂直的应用，熟记向量共线定理以及向量数量积的运算即可，属于常考题型.

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