石楼县外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ） A．2日和5日

B．5日和6日

C．6日和11日 D．2日和11日

，

x

）时，f（x）=e+sinx，则（ ）

2． 已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当x∈（﹣A．

D．

B．

C．

12x+ax存在与直线3xy0平行的切线，则实数a的取值范围是（ ） 2A. (0,) B. (,2) C. (2,) D. (,1]

3． 函数f(x)=lnx+【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 4． 在平面直角坐标系中，直线y=

x与圆x2+y2﹣8x+4=0交于A、B两点，则线段AB的长为（ ）

A．4 B．4 C．2 D．2

5． 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ ） A．ex+1 B．ex﹣1 C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1

6． 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个

7． 若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}

8． 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若

PBQPBD1，则动点Q的轨迹所在曲线为（ ）

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A.直线 B.圆

C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.

9． 若函数fx2sin2x2的图象关于直线x12对称，且当

xx1721，212，3，x1x2时，fx1fx2，则fx1x2等于（ ）

A．2

B．22 C.62 D．2410．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（ ）

A．（0，0）

B．（2，4） C．（，

）

D．（，）

11．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（ A．x2﹣

=1 B．

﹣

=1 C．

﹣

=1 D．

﹣

=1

12．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．下列说法中，正确的是 ．（填序号）

①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；

②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称； ③y=（

）﹣x

是增函数；

④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0．

14．已知实数x，y满足

，则目标函数z=x﹣3y的最大值为

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） 215．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数fxaxbxc（a,b,c为常数）的导函数为fx，

b2对任意xR，不等式fxfx恒成立，则2的最大值为__________．

ac2216．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数fxlnxx的单调递增区间为__________．

2217．设集合 Ax|2x7x150,Bx|xaxb0,满足

AB,ABx|5x2,求实数a__________.

，当a＞0，b＞0时，若ax+by的最大值为12，则+的最小值

18．已知点M（x，y）满足是 ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1 （Ⅰ）求f（x）在区间[0，

]上的最大值；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．

20．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

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21．已知函数f（x）=|x﹣2|． （1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2

（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（2a）

22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长 线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；

（2）求证：PA是圆O的切线．

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23．已知函数f（x）=alnx﹣x（a＞0）． （Ⅰ）求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；

（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α

24．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动． （1）证明：BC1∥平面ACD1． （2）当

时，求三棱锥E﹣ACD1的体积．

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石楼县外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：由题意，1至12的和为78， 因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26，

根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，

据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日， 故选：C．

【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

2． 【答案】D

【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知， ∴f（

）=f（π﹣

，＜

）=f（

），

∵当x∈（﹣∵∴f（∴f（

＜

＜）＜f（

x

）时，f（x）=e+sinx为增函数

， ）＜f（）＜f（

）， ），

）＜f（

故选：D

3． 【答案】D 【解析】因为f(x)因为x+11xa，直线的3xy0的斜率为3，由题意知方程xa3（x>0）有解，

xx1?2，所以a£1，故选D． x． ，

4． 【答案】A

2222

【解析】解：圆x+y﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）+y=12，圆心（4，0）、半径等于2

由于弦心距d==2，∴弦长为2=4

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故选：A．

【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．

5． 【答案】D

xx

【解析】解：函数y=e的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣，

而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e的图象关于y轴对称，

x

x+1x1x1

所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（）=e﹣﹣．即f（x）=e﹣﹣．

故选D．

6． 【答案】B

【解析】解：a※b=12，a、b∈N，

*

若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；

若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，

所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B

7． 【答案】D

【解析】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．

8． 【答案】C.

【解析】易得BP//平面CC1D1D，所有满足PBD1PBX的所有点X在以BP为轴线，以BD1所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q的轨迹为该圆锥面与平面CC1D1D的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q的轨迹是双曲线，故选C. 9． 【答案】C 【

解

析

】

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考

点：函数的图象与性质.

【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得

，从而fx2sin2x，再次利用数形结合思想和转化化归思想

3122311可得x1，fx1，对称，可得x1x2，从而 x2，fx2关于直线x11126611fx1x22sin．

3232kkZ，解得10．【答案】D

2

【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a）

∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1， ∴a=，

2

的点是（，）．

在曲线y=x上切线倾斜角为故选D．

【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

11．【答案】B

22

可设双曲线的方程为x﹣y=λ（λ≠0），

【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x， 代入点P（2，λ=4﹣2=2，

22

可得双曲线的方程为x﹣y=2，

），可得

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即为﹣=1．

故选：B．

12．【答案】A 【解析】解：

=1×故选A．

二、填空题

13．【答案】 ②④

【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误； ②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确； ③y=（

x

）﹣是减函数，故错误；

④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确． 故答案为：②④

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．

14．【答案】 5

【解析】解：由z=x﹣3y得y=

，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线y=

，

经过点C时，直线y=

的截距最小，

由图象可知当直线y=此时z最大， 由

，解得

，即C（2，﹣1）．

代入目标函数z=x﹣3y， 得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5， 故答案为：5．

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15．【答案】222

【解析】试题分析：根据题意易得：f'x2axb，由fxf'x得：axb2axcb0在R

2c4122a0b4ac4aa上恒成立，等价于：{ ，可解得：b24ac4a24aca，则：22222，

0acacc1ab2c4t44令t1,(t0)，y2的最大值为222． 222，故222aact2t2t2222t考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用

216．【答案】0,2

【解析】

17．【答案】a【解析】

7,b3 2第 10 页，共 15 页

考

点：一元二次不等式的解法；集合的运算.

【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 18．【答案】 4 ．

【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

，

由，解得：A（3，4），

显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12， 此时：3a+4b=12，即+=1， ∴+=（+）（+）=2+当且仅当3a=4b时“=”成立， 故答案为：4．

+

≥2+2

=4，

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【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（本题满分为12分）

2

解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cosx﹣1

=sin2x+2×=sin2x+cos2x =

sin（2x+

]， ，=

﹣1 ），

∵x∈[0，∴2x+

∈[

]，

时，f（x）min=

sin（

+…6分 ）=1，

∴当2x+，即x=

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=∴sin（∴∴B=

+

+=，

）=，

，

由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

20．【答案】

【解析】

【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置． 【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC． 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

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从而AC⊥平面BDE．…（4分）

解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．

0

因为BE与平面ABCD所成角为60，即∠DBE=60°， 所以

．

，

，

．

，

． ，即

．

，B（3，3，0），C（0，3，0），

由AD=3，可知则A（3，0，0），所以

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则令

，则=

．

为平面BDE的法向量，

因为AC⊥平面BDE，所以所以cos

．

．

．…（8分）

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）． 则． 因为AM∥平面BEF，

所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2． 此时，点M坐标为（2，2，0）， 即当

时，AM∥平面BEF．…（12分）

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21．【答案】

【解析】（1）解：不等式f（x）+f（x+1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2． |x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到1、2对应点的距离之和， 而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2， ∴不等式的解集为[0.5，2.5]．

（2）证明：∵a＜0，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2﹣ax| ≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a﹣2）， ∴f（ax）﹣af（x）≥f（2a）成立．

22．【答案】

【解析】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC． 又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．

可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC． ∴

∵G是AD的中点，即DG=AG． ∴BF=EF．

（2）连接AO，AB．

∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．

由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点， ∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB． 又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO． ∵BE是圆O的切线，

∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°， ∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．

，得

．

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【点评】本题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．

23．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）令

，所以x=a．

易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0． 故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减． 故f（x）max=f（a）=alna﹣a．

（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x． 所以

，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．

所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）． （Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．

由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）． 又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．

【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．

24．【答案】 【解析】（1）证明：∵AB∥C1D1，AB=C1D1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1∥AD1，

又∵AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1， ∴BC1∥平面ACD1． （2）解：S△ACE=AEAD=∴V

=V

=

=．

=

=

．

【点评】本题考查了线面平行的判定，长方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．

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