z变换终值定理

z变换终值定理

篇一：z变换的终值定理 9. 初值定理

如果信号 x ( t ) 的拉氏变换为 X ( s ) ，且 x ( t ) 在 t = 0 点不含有任何阶次的冲激函数 ，则:

初值定理表明，s X ( s ) 的极限值等于信号 x ( t ) 在 t = 0点的初值，而 +

且，无论拉氏变换采用 0 系统还是 0系统，所求得的初值都是在 t = 0时刻的 -+ +

值，证明如下。

根据时域微分性质可知: 而由拉氏变换的定义可得: (5.41) (5.42) 于是有: (5.43)

对此式两边取因此:

的极限，由于当，且仅当 t > 0 时， ，

对初值定理，也可利用信号 x ( t ) 在 t = 0时刻的台劳级数来证明，其台劳 +

级数为: ( 5.44)

式中，x (n)( 0 ) 是 x ( t ) 在 t = 0 时刻的 n 阶导数值。 + +

由于:

因此，对式（5.44）两边取拉氏变换后有 :

由此而得:

初值定理要求信号 x ( t ) 在 t = 0 点不含有任何阶次的冲激函数 ，

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这也就是要求式（5.40）中的 X ( s ) 必须是一个真分式。如果 X ( s ) 是一个 假分式，即当 X ( s ) 分子的阶次高于或等于分母的阶次时， ，

式（5.40）将不成立。因此，如果 X ( s ) 是一个假分式时，则应先将它分解出一个真分式，然后再利用式（5.40）求这个真分式所对应的信号初值。例如，如 果

，这是一个假分式，它不能直接利用式（5.40）求得初值。 但是，如果将其分解为 信号初值为 1。

，则可利用式（5.40）求得 所对应的

10.终值定理

终值定理的形式类似于初值定理，它是通过变换式在 时的极限值来求得信号的终值，即

利用初值定理证明过程中所得到的式（5.43） 可以证明终值定理。 由式（5.43）知 于是有:

显然只有当信号 x ( t ) 的终值存在时，才能利用式

（5.45）求得它的终值，否则将得到错误的结果。而要使 x ( t ) 的终值存在，则要求 X ( s ) 的极点在左半 s 平面，如果 X ( s ) 在 j? 上有极点的话，也只能是在原点上的一阶极点，其原因在于，只有满足这种极点分布的信号才有终值存在。关于这个问题，可参阅“拉普拉斯逆变换”一节中的讨论。

至此，我们讨论了单边拉氏变换的主要性质，并求得了一些常见信号的变换式。

表5.1 和 表5.2 分别列出了这些信号的变换式和拉氏变换的主要性质，以供读者查阅。 虽然我们讨论的只是单边拉氏变换，但对双边拉氏变换而言，除了初值定理、终值定理和微分性质和单边拉氏变换略有不同外，其它的性质和单边拉氏变换是一样的。这两种变换之间并没有什么本质的区别，然而，如果要求解非零状态下的系统响应，则只能使用单边拉氏变换。

4.5.8 终值定理若

是因果序列，且已知其z变换为 则

证明：因为 (线性性) (时移性) 取极限可得 [证毕] ＝

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=

由证明过程可以看出，终值定理只有在 位圆内(如果位于单位圆上，则只能位于 存在时才可以应用,也就是说 点，且是一阶极点)。 的极点必须在单

下面我们举例来说明终值定理的应用条件。例：设序列为 ，可求出其Z变换为 ，取极限可得

。但显然序列的极限并不存在，即 不存在，所以

导致上面这种“终值定理”不成立的原因是X(z)(还是X(z)(z-1)？)在单位圆外有极点。

终值定理的应用类似于拉氏变换的终值定理，如果已知序列x(n)的z变换X(z)，在不求逆变换，且满足终值定理地应用条件时，就可以直接利用终值定理很方便地求出序列的终值 篇二：Z变换的性质定理 Z变换的性质定理

篇三：z变换的基本知识 z变换基本知识 1 z变换定义

连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。一个连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是复变量s的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。

连续信号f(t)通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号f*(t)的表达式为 ? f*(t)? ? k?0

f(kT)?(t?kT)?f(0)?(t)?f(T)?(t?T)?f(2T)?(t?2T)? （1）

f(3T)?(t?3T)??

对式（1）作拉普拉斯变换 F*(s)?L[f*(t)]?f(0)?f(T)e ? ?sT ?f(2T)e

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?2sT ?f(3T)e ?3sT ??

（2） ? ? k?0 f(kT)e ?ksT

从式（2）可以看出，F*(s)是s的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z”，令 z?e sT

（3）

代入式（2）并令F*(x) s? 1T lnz

?F(z)，得 ?

F(z)?F(0)?f(T)z ?1 ?f(2T)z ?2 ??? ? k?0 f(kT)z ?k

（4）

式（4）定义为采样信号f*(t)的z变换，它是变量z的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。通常以F(z)?L[f*(t)]表示。

由以上推导可知，z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作z?esT的变量置换。 f*(t)的

z变换的符号写法有多种，如

Z[f*(t)],Z[f(t)],Z[f(k)],Z[F*(s)],F(z)等，不管括号内写的是连续信号、

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离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z变换。 式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、s域和z域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是f(kT)，并且时域中的?(t?kT)、s域中的 e ?ksT

及z域中的z?k均表示信号延迟了k拍，体现了信号的定时关系。

在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式 是z的有理分式 F(z)? K(z nm ?dm?1z m?1

???d1z?d0) z?Cn?1z n?1

＋?＋C1z?C0 m?n

（5）

或z?1的有理分式 F(z)?

Kz(1?dm?1z＋?＋d1z1?Cn?1z ?1 ?l ?1 ?m?1 ?d0z ?n ?m )

???C1z ?n?1 ?C0z l?n?m

（6）

其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7） F(z)?

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KN(z)D(z) ?

K(z?z1)?(z?zm)(z?p1)?(z?pn) m?n

（7）

2 求z变换的方法 1）级数求和法

根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。 例1求指数函数f(t)?e?t的z变换。 解连续函数f(t)的采样信号表达式为 ? f(t)? * ?e k?0 ?kT

?(t?kT)??(t)?e?(t?T)?e ?T?2T ?(t?2T)??

对应的z变换式为 ? F(z)? ? k?0 f(kT)z ?k ?1?e ?T z ?1 ?e ?2T z ?2 ??

上式为等比级数，当公比e?Tz?1?1时，级数收敛，可写出和式为 F(z)? 11?e ?T

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?1 z ? zz?e ?T

。

例2求单位脉冲函数?(t)的z变换。 解因为采样信号的表达式为 f*(t)?f(0)?(t)?f(T)?(t?T)?f(2T)?(t?2T)??

对f(t)??(t)函数，它意味着f*(t)仅由一项组成，即f*(t)?f(0)?(t)，且。所以 f(0)?1 ?

F(z)?Z[?(t)]? ? k?0 f(kT)z ?k ?f(0)z ?0 ?1

2）部分分式展开法

最实用的求z变换的方法是利用时域函数f(t)或其对应的拉普拉斯变换式 F(s)查

z变换表（见教材附录），对于表内查不到的较复杂的原函数，可将对应 的拉普拉斯变换式F(s)进行部分分式分解后再查表。 F(s)的一般式为 B(s)A(s)

b0s?b1ss?a1s nm m?1n?1 F(s)??

???bm?1s?bm??an?1s?an

（8）

（1）当A(s)?0无重根，则F(s)可写为n个分式之和，即 F(s)? C1s?s1 ?

C2s?s2 ??? Cis?si

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??? Cns?sn

（9）

系数Ci可按下式求得，即 Ci?(s?si)?F(s) s?si

（10）

（2）当A(s)?0有重根，设s1为r阶重根，sr?1,sr?2,?,sn为单根，则F(s)可展成如下部分分式之和，即 F(s)? Cr(s?s1) r ?

Cr?1(s?s1) r?1 ??? C1s?s1 ?

Cr?1s?sr?1 ??? Cns?sn

（11）

式（11）中Cr?1,?,Cn为单根部分分式的待定系数，可按式（10）计算。而重根项待定系数C1,C2,?,Cr的计算公式如下 ?Cr?(s?s1)rF(s) s?s1 ??d

?(s?s1)rF(s)??Cr?1??ds?s?s1? ?j?1dr

?(s?s)F(s)?1?Cr?j?j??j!dss?s1? ?r?1

1dr?C??(s?s)F(s)?11r?1???(r?1)!ds ? （12） s?s1

例3已知F(s)? s?2s(s?1)(s?3) 2

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，求其相应采样函数的z变换F(z)。

解用F(s)直接查z变换表查不到，所以必须先进行部分分式分解。该式可分解为 F(s)? C2(s?1) 2 ? C1s?1 ? C3s ? C4s?3

其中 s?22

C2?(s?1)2 s(s?1)(s?3) ?? s??1 12 34 C1? ?d?s?22 (s?1)??2

ds?s(s?1)(s?3)? ?? s??1 s?2 C3?s2 s(s?1)(s?3) ? s?0 23 112 s?2

C4?(s?3)2 s(s?1)(s?3) ? s??3

将诸常数代入部分分式中，有

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F(s)?? 1

1312111 ???2

2(s?1)4(s?1)3s12s?3 对照z变换表，查得 F(z)?? 1

3z2z1z

????T2?T?3T

2(z?e)4z?e3z?112z?e ?T Tze ?T ?

?2Tze?3z?3ze ?T 2?T 4(z?e) 2 ? 2 3z?1 z ? 1 12z?e z ?3T

（13）

3z变换的基本定理

z变换的基本定理和拉普拉斯变换很相似，见表1。这些定理一般均可用z变换定义来证明，以下选择一些常用的定理进行证明。 表1拉普拉斯变换和z变换特性 线性

拉普拉斯变换

L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s) ?1

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Z变换

Z[f1(t)?f2(t)]?F1(z)?F2(z)Z ?1 * *

L[F1(s)?F2(s)]?f1(t)?f2(t) [F1(z)?F2(z)]?f1(t)?f2(t) L[af(t)]?aF(s) L[aF(s)]?af(t) ?1

Z[af(t)]?aF(z) Z ?1

[aF(z)]?af(t) * 实微分（实超前位移） ?dk?

L?kf(t)? ?dt? k

Z?f(t?lT)? l?1

?sF(s)??s j?1 kk?j f (j?1) (0)

?zF(z)??z j?0 ll?j

f(j)

实积分 复微分

tF(s)?L?f(?)d??????0?s —

Z[t?f(t)]??Tz dF(z)dz L[t?f(t)]?? dds F(s)

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