高三数学第二轮复习教案

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第2讲 数列问题的题型与方法

一、考试内容

数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。 二、考试要求

1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。 三、复习目标

1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n项的和；

3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．

5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．

6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．

四、双基透视

1． 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.

2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证a常数。

nan1(an/an1)为同一

(2)通项公式法：

①若

=

+（n-1）d=

+（n-k）d ，则

an为等差数列；

②若 ，则

an为等比数列。

都成立。

(3)中项公式法3. 在等差数列

：验证

n

an中,有关S 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得

取最大值.

(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

五、注意事项

1．证明数列a是等差或等比数列常用定义，

aa即通过证明aaaa 或aa而得。

nn1nnn1nnn1n12．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，

“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。

3．对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

4．注意一些特殊数列的求和方法。 5．注意s与a之间关系的转化。如：

nnan=

s1,snsn1 ,n1n2， a=a(an1k2nkak1)．

6．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．

7．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，

揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

8．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。

六、范例分析

例1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．

nn

(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为θ，

112212证明：(1)因为等差数列{a}的公差d≠0，所以

n

Kpp是常数(k=2，3，…，n)．

1k

(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d．

212

例2．已知数列a中，S是其前n项和，并且S4a2(n1,2,),a1，

nnn1n1⑴设数列b等比数列；

nan12an(n1,2,)，求证：数列b是

n

⑵设数列c数列；

nan,(n1,2,)n2，求证：数列c是等差

n⑶求数列a的通项公式及前n项和。

n分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．

nnnnn1nn2n1解：(1)由S=4a2，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

n1nn2n1n2n1n1nn2n1nnn1na-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ①

n2n1n1nnn1nn1n已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ②

2111212121由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．

nn1n

当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．

n1nn111综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．

n1n说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件S4a2得出递推公式。

n1n2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

例3．已知数列{a}是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{b}的通项b=a-ka (n∈N)，数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．

nnnn1n2nnnnnn分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。

nn解：因为{a}是首项a＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故

n1a=a·q， a=a·q．

2n1nn2n所

b=a-ka=a(q-k·q)．

2nn1n2n以

=(a

+a

+…

T

n=b

1+b

2+…+b

n12

+a)(q-k·q)=S(q-kq)．

22nn依题意，由T＞kS，得S (q-kq)＞kS， ①对一切自然数n都成立．

2nnnn当q＞0时，由a1＞0，知a＞0，所以S＞0；

nn当-1＜q＜0时，因为a1＞0，1-q＞0，1-q＞

n0，所以S=

n

n综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，S＞0总成立． 由①式可得

q-kq

2＞k ②，

例4．(2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1.本年度当地旅游5业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投4入为an万元，旅游业总收入为bn万元. 写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-）万元……，

第n年投入800×（1－）

n－1

万元

所以总投入an＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）

n－1

＝4000［1－（

）］

n同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋

）万元，……，

第n年收入400×（1＋）

n－1

万元

bn＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）

n－1

＝1600×［（

）－1］

n(2)∴bn－an＞0，1600［（）－1］－4000×［1－（

n）］＞0

n化简得，5×（）＋2×（

n）－7＞0

n

设x＝（），5x－7x＋2＞0

n2

∴x＜，x＞1（舍) 即（）＜

n，n≥5.

说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。

例5．设实数a0，数列a是首项为a，公比为a的等比数列，记ba1g|a|(nN),Sbbb，

n*nnnn12n

求证：当a1时，对任意自然数n都有

alga1(1)(1nna)a S=

n1nn(1a)2n解：aa1qn1a(a)n1(1)n1an。

bnanlg|an|(1)n1anlg|(1)n1an|(1)n1nanlg|a|Snalg|a|2a2lg|a|3a3lg|a|(1)n2(n1)an1lg|a|(1)n1nanlg|a|

[a2a23a3(1)n2(n1)an1(1)n1nan]lg|a|

记

①

Sa2a23a3(1)n2(n1)an1(1)n1nanasa22a3(1)n3(n2)an1(1)n2(n1)an(1)n1nan1 ②

①+②得③

(1a)saa2a3(1)n2an1(1)n2an(1)n1nan1a(1)n1an1a1,(1a)S(1)n1nan11(1a)

a(1)n1an1(1a)(1)n1nan1S(1a)2a(1nna)(1)n1an1a[1(1nna)(1)n1an]S2(1a)(1a)2alg|a|n1nSn[1(1)(1nna)a](1a)2

说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定Cab,{a}是等差数列，{b}等比数列。

nnnnn

解法一：设等差数列{a}的首项a=a，公差为d，则其通项为

n1根据等比数列的定义知S≠0，由

5此可得

一步加工，有下面的解法) 解法二：

依题意，得

例7．设二次方程ax-a+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

2nn(1)试用a表示a；

nn1

例8．在直角坐标平面上有一点列P(x,y),P(x,y),P(x,y)，对一切正整数n，点P位于

5P的横坐标构成以为函数y3x13的图象上，且42111222nnnnn首项，1为公差的等差数列x。

n⑴求点P的坐标；

n⑵设抛物线列c,c,c,,c,中的每一条的对称轴

都垂直于x轴，第n条抛物线c的顶点为P，且过点D(0,n1)，记与抛物线c相切于D的直线的斜率为k，求：k1kk1kk1k。

123nnn2nnnn1223n1n⑶设Sx|x2x,nN,n1,Ty|y4y,n1，等差数列a的任一项aST，其中a是ST中的最大数，265a125，求a的通项公式。

nnnn110n解：（1）xyn3xnn53(n1)(1)n22

nn135353n,Pn(n,3n)4424c的对称轴垂直于x轴，（2）且顶点为P.设c的方程为：ya(x2n23)12n45,

n2把D(0,nnyx2代入上式，得a1，c的方程为：(2n3)xn1。

21)n2kny'|x02n3，k1kn1n1111()(2n1)(2n3)22n12n3

1111111111[()()()]k1k2k2k3kn1kn257792n12n3