(完整版)初二数学下册难题

1. 已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O．（1）如图1,连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；（2）如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周． （1）如图1,连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；

（2）如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中,

①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm,ab≠0）,已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式．

答案

（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE, ∵EF垂直平分AC,垂足为O,∴OA=OC,

∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形, 又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形,

②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=（8-x）cm,

在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得42+（8-x）2=x2,解得x=5, ∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形, ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA, ∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒, ∴PC=5t,QA=12-4t,

∴5t=12-4t,解得t=4/3,

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=4/3秒．

②由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互相

平行的对应边上．分三种情况：

i）当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12； ii）当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12； iii）当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12． 综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

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2. 某数学兴趣小组开展了一次课外活动,如图1,正方形ABCD中,AB=6,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q．

（1）求证：DP=DQ；

（2）如图2,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明；

（3）如图3,固定三角板直角顶点在D点不动,转动三角板,使三角板的一边交AB的延长线于点P,另一边交BC的延长线于点Q,仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E,连接PE,若AB：AP=3：4,请帮小明算出△DEP的面积．

分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）； （2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

答案

解：（1）GF⊥EF，GF=EF。

（2）GF⊥EF，GF=EF成立。理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。 ∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形， ∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°

∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°。∴∠EAF+∠CDF=45°。 ∵∠CDF+∠GDF=45°，∴∠FDG=∠EAF。

∵在△EAF和△GDF中，，∴△EAF≌△GDF（SAS）。

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。 ∴∠GFE=90°。∴GF⊥EF。

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。 ∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形， ∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°。 ∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，

∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣（180°﹣∠CDA）=90°+∠CDA。 ∴∠FDG=∠EAF。

∵在△EAF和△GDF中，，∴△EAF≌△GDF（SAS）。

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。 ∴∠GFE=90°。∴GF⊥EF。

（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案。

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交直线DC的延长线于点F。

1. 在图1中是说明：CE=CF。

2.若∠ABC=90° ，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数。 3.若∠ABC=90°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB,DG(如图3），求∠BDG的度数。

因为是平行四边形，所以∠F=∠BAE,∠DAF=∠AEB 又因为AF是角平分线 所以∠BAE=∠DAF 所以∠F=∠AEB 又因为∠CEF=∠AEB 所以∠F=∠CEF 所以CE=CF

(2)因为AF是角平分线 ∠ABC=90° 平行四边形 所以BE=AB 又因AB=CD 所以BE=CD 连接CG,BG

因为EFG是等腰直角三角形 所以CG=GE

又因∠GCD=∠GEB=135° CD=BE

所以△BEG≌△DCG 所以BG=CD

又因∠CGD+∠EGD=90° ∠CGD=∠EGB

所以∠EGB+∠EGD=90° 所以∠BGD=90° 又因BG=GD

所以△BGD是等腰直角三角形 所以∠BDG=45°

3）延长AB、FG交于H，连接HD． 易证四边形AHFD为平行四边形 ∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD

∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30° ∴△DAF为等腰三角形 ∴AD=DF

∴平行四边形AHFD为菱形

∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形 ∴DH=DF∠BHD=∠GFD=60° ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH

∴BH=GF

∴△BHD 与△GFD全等 ∴∠BDH=∠GDF

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°