高三数列列项求和与放缩法专题

（一）数列通项公式的求法

8.(1)和型: anan1f(n)

基本思路是，由anan1f(n)得an1an2f(n1)，相减，得奇数项成等差，偶数项成等差，分别求奇数项通项，偶数项通项。

anan1x23nxbnan例如：数列中相邻两项，是方程

(2)积型：anan1f(n)

0的两根，已知a1017，则b51=____．

基本思路是，由anan1f(n)，得an1an2f(n1)，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反．

1naa()nn1{an}a12例如：已知数列中，1，，则数列{an}的通项公式为________．

特别地：

(1)如果数列{an}从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列{an}为等和数列。

递推公式为：数项也相等．

a1aan1anc （c为常数），则an2an．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶

(2)如果数列{bn}从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列{bn}为等积数列。

递推公式为：

b1bbn1bnp （p为常数），则an2an，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶

1

数项也相等．

9.周期型

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例如：已知数列{an}满足

a10,an1an33an1(nN*)，则a56=______.

10.取对数法

形如

ran1pan，一般是等式两边取对数后转化为an1panq，再利用待定系数法求解。

2ana2aa1nn1（n≥2）.求数列an的通项公式. 例如.设正项数列满足1，

11.换元法：适用于含有根式递推关系式

类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。

1(14an124an)，a1116，求数列{an}的通项公式.

例如.已知数列{an}中，

an1练习：

1.数列an满足a10，an1an2n，则数列an的通项公式为_________. 2.数列an中，若a13，

，则数列an的通项公式an________.

an1an(nN*)2

an13.若数列an满足

12a,(0a)nn262a1,(1a1)ann127，则a2014的值为___________。 ，若

4.在数列{an}中，a11,a25,an2an1an，则a1998的值为___________。

2a2a3n4n5a1n1n满足：1，，则数列an的通项公式an________.

5.已知数列

{an}总结：形如

an1panan2bnc(p1，0，a0)解法：

22ax(n1)y(n1)cp(axnync)， n1n利用待定系数法构造等比数列，令

a与已知递推式比较，解出x,y,z.从而转化为

6.已知数列

{an}2xnyncn是公比为p的等比数列。

na2a23a1nn1满足：1，，则数列an的通项公式an________.

7.已知数列

{an}*满足：a12，nN，an0， 且(n1)ananan1nan10，则数列an 的通

22项公式an________.

总结：当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.

*2aaaa0(nN)a1中，1，nn1n1n.

8.已知在各项均不为零的数列

{an}（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bnanan1，求数列{bn}的前n项和Sn.

3

11,,再求得an.f(an,an1,anan1)0aaa总结：数列有形如的关系，可在等式两边同乘以nn1先求出n

9.已知数列{an}满足

a12a222a32n1ann2，nN*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn(2n1)an，求数列{bn}的前项和Sn.

4n12，nN*.

10.已知数列{an}满足：a11，

anan1（Ⅰ）证明数列{a2n1}为等差数列；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.

11.已知数列

{an}2an1an1(c1，nN*)ac1满足：，，记数列{an}的前n项和为Sn.

（Ⅰ）令bnan1，证明：数列{bn}是等比数列；

*（Ⅱ）求最小的实数c，使得对任意nN，都有Sn3成立.

（一）数列通项公式的求法

8.(1)和型: anan1f(n)

基本思路是，由anan1f(n)得an1an2f(n1)，相减，得奇数项成等差，偶数项成等差，分别求奇数项通项，偶数项通项。

4

anan1anx23nxbn例如：数列中相邻两项，是方程

0的两根，已知a1017，则b51=____．

分析：由题意：an+an13n ①，得： an1+an23(n1)②，

②—①：an2an3．

所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差，公差都为-3．

(2)积型：anan1f(n)

基本思路是，由anan1f(n)，得an1an2f(n1)，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反．

1naa()nn1{an}a12，求数列{an}的通项公式． 例如：已知数列中，1，

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特别地：

(1)如果数列{an}从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列{an}为等和数列。

递推公式为：数项也相等．

a1aan1anc （c为常数），则an2an．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶

(2)如果数列{bn}从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列{bn}为等积数列。

递推公式为：数项也相等．

b1bbn1bnp （p为常数），则an2an，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶

9.周期型

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

6

例如：已知数列{an}满足

a10,an1an33an1(nN*)，则a56=______.

10.取对数法

形如

ran1pan，一般是等式两边取对数后转化为an1panq，再利用待定系数法求解。

2anan2ana11（n≥2）.求数列an的通项公式. 1例如.设正项数列满足，

ananan1anan1bloglog12loglog12(log1)21， 22解：两边取对数得：2，2，设n则

bn2bn11bnblog1211. ，是以2为公比的等比数列，

bn12n12n12anann1n1a2log12log21n22，，， ∴

n11

11.换元法：适用于含有根式递推关系式

类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。

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例如.已知数列{an}中，

an11(14an124an)，a1116，求数列{an}的通项公式.

解法： 令

bn124an，则an12(bn1)224b(b3)n1n24，代入得，

131bbb3(bn3)n1nn12bn1bn322，可化为2则，即，

1b3124a13124132所以{bn3}是以1为首项，以2为公比的等比数列，

1112111bn32()n1()n2124an()n23an()n()n2223423。 因此， ，得

13bbn1n124an22形式，评注：本题解题的关键是通过将的换元为bn，使得所给递推关系式转化

从而可知数列{bn3}为等比数列，进而求出数列{bn3}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

练习：

1.数列an满足a10，an1an2n，则数列an的通项公式为_________.

8

2.数列an中，若a13，

an1an(nN*)，则数列an的通项公式an________.

12a,(0a)nn262a1,(1a1)ann127，则a2014的值为___________。 ，若

an13.若数列an满足

4.在数列{an}中，a11,a25,an2an1an,求a1998..

解：由条件an3an2an1(an1an)an1an,

即an3an,an6an3an,即每间隔6项循环一次.1998=6×333，∴a1998a64.

结论：数列有形如f(an2，an1,an)0的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出an.

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5.已知数列

{an}an12an3n24n5a11满足：，，则数列an的通项公式an________.

总结：形如

an1panan2bnc(p1，0，a0)

22ax(n1)y(n1)cp(axnync)， n解法：利用待定系数法构造等比数列，令n1a与已知递推式比较，解出x,y,z.从而转化为

6.已知数列

{an}nxn2ync是公比为p的等比数列。

an2an12n3a11满足：，，则数列an的通项公式an________.

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7.已知数列

{an}满足：a12，nN*，an0，项公式an________.

11

且(n1)a22nanan1nan10，则数列an的通

总结：当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.

*2aaaa0(nN)a1nn1n1n中，1，.

8.已知在各项均不为零的数列

{an}（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bnanan1，求数列{bn}的前n项和Sn.

12

11,,再求得an.f(an,an1,anan1)0aaa总结：数列有形如的关系，可在等式两边同乘以nn1先求出n

9.已知数列{an}满足

a12a222a32n1ann2，nN*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn(2n1)an，求数列{bn}的前项和Sn.

4n12，nN*.

10.已知数列{an}满足：a11，

anan1（Ⅰ）证明数列{a2n1}为等差数列；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.

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11.已知数列

{an}*2aa1(c1，nN)acn1n满足：1，，记数列{an}的前n项和为Sn.

（Ⅰ）令bnan1，证明：数列{bn}是等比数列；

*（Ⅱ）求最小的实数c，使得对任意nN，都有Sn3成立.

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