汉中市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 若不等式1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则4a﹣2b的取值范围是（ A．[5，10]

B．（5，10）

C．[3，12]

）

D．（3，12）

x2y22． 椭圆C:1的左右顶点分别为A1,A2，点P是C上异于A1,A2的任意一点，且直线PA1斜率的

43取值范围是1,2，那么直线PA2斜率的取值范围是（ ）

A．133133, B．, C．,1 D．,1244248【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．

3． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（ A．0 4． 以椭圆

+

）

B．1

C．2

D．3

=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为

=

，则

﹣S

（

（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足）A．2

B．4

C．1

D．﹣1

5． 若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ A．5

B．4

C．3

D．2

）

6． 直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（ A．2x+y﹣2=0

B．2x﹣y﹣6=0

C．x﹣2y﹣6=0

）

D．x﹣2y+5=0

x2y27． F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2A.2 B.3C. 21D. 31第 1 页，共 18 页

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

8． 函数y(a4a4)a是指数函数，则的值是（ A．4

B．1或3

C．3

D．1

）D．2

B．3

C．1

2x）

9． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ A．6

10．正方体的内切球与外接球的半径之比为（ A．

B．

C．

D．

）

）

11．设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ A．5x0或x5 A．2015

B．x5或x5 B．2016

C．5x5

）

12．执行下面的程序框图，若输入x2016，则输出的结果为（

D．x5或0x5D．2048

C．2116

二、填空题

13．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由　　　　　　块木块堆成．第 2 页，共 18 页

14．已知过球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且

ABBCCA2，则

球表面积是_________.

15．已知α为钝角，sin（

+α）=，则sin（

﹣α）=　　　　　　．，则

+

的最大值为　　　　　　．　

16．0）P，Q是单位圆上的两动点且满足已知A（1，，

17．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点

B．存在定点P不在M中的任一条直线上

C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是　　（写出所有真命题的代号）．

18．设有一组圆Ck：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．

其中真命题的代号是　　　　　　（写出所有真命题的代号）．　　

三、解答题

19．已知函数f（x）=4（Ⅰ）当x∈[0，

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．

]时，求函数f（x）的值域；

，

=2+2cos（A+C），

（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=求f（B）的值．　

第 3 页，共 18 页

20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．

（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；

（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

21．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=如图所示的几何体σ．（1）求几何体σ的表面积；

，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周得到

第 4 页，共 18 页

（2）点M时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD的体积为．

，试判断M点的轨迹是否为2个菱形

22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相 交于点E，F为CE上一点，且DE2EFEC．（Ⅰ）求证：EDFP；

（Ⅱ）若CE:BE3:2,DE3,EF2，求PA的长．

23．（本小题满分12分）

第 5 页，共 18 页

12x(a3)xlnx.2（1）若函数f(x)在定义域上是单调增函数，求的最小值；

112（2）若方程f(x)(a)x(a4)x0在区间[,e]上有两个不同的实根，求的取值范围.

2e已知函数f(x)24．已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn为数列an的前项和，a1b11，且b3S336，

b2S28（nN*）．

（1）求an和bn；

1（2）若anan1，求数列的前项和Tn．

aann1第 6 页，共 18 页

汉中市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b）即

解得：x=3，y=1

即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b）∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6

∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10故选A

【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．　

2． 【答案】B

3． 【答案】B【解析】111]

试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．

考点：几何体的结构特征．4． 【答案】 A

【解析】解：∵椭圆方程为

+

=1，

∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为

，

第 7 页，共 18 页

设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵∴

，

整理得：

化简得：5x=12y﹣15，又∵∴5

解得：y=或y=∴P（3，），

∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d=

易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，

结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故故选：A．

﹣

=

=

=2，

=1，

，

﹣4y2=20，（舍），

=5，

=

，

=

【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．　

5． 【答案】A

第 8 页，共 18 页

【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，函数的最大值为：5．故选：A．

【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．　

6． 【答案】B

【解析】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），化为一般式可得2x﹣y﹣6=0故选：B

【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．　

7． 【答案】D

【解析】∵PF1PF20，∴PF1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF12PF22F1F224c2，|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)，

(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径

rPF1PF2F1F231c，整理，得2c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2c22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D.a8． 【答案】C【解析】

考点：指数函数的概念．9． 【答案】A【解析】

试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．

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考点：几何体的结构特征．10．【答案】C

【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C　

11．【答案】B

a，半径为：

a，

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.112．【答案】D【解析】

试题分析：由于20160，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到x2，从而可得y1，由于

20151，则进行y2y循环，最终可得输出结果为2048．1

考点：程序框图．

二、填空题

13．【答案】　4　

【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，

故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．故答案为：4．

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14．【答案】【解析】111]

9考点：球的体积和表面积.

【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.15．【答案】　﹣

【解析】解：∵sin（∴cos（=sin（

﹣α）=cos[+α）=，

＜α＜π，

，+α）=，﹣（

+α）]

　．

∵α为钝角，即∴∴sin（∴sin（=﹣=﹣

，

．＜

﹣

﹣α）＜0，﹣α）=﹣

故答案为：﹣

【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．　

16．【答案】　　．

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【解析】解：设∴

+

．

=

故答案为：

=

，则=1×

×

=

≤

=

，

的方向任意．

．

，因此最大值为

【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．　

17．【答案】BC【解析】

【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．

C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d=

=1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，

A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点

（0，2）不可能，故A不正确；

B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；

D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，

其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC．

18．【答案】　②④　

第 12 页，共 18 页

【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），

圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为两圆的圆心距d=两圆的半径之差R﹣r=

（k+1）2﹣

k2=2

k+

，

k2，

（k+1）2，

=

，

圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为

任取k=1或2时，（R﹣r＞d），Ck含于Ck+1之中，选项①错误；若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．则真命题的代号是②④．故答案为：②④

【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4sin2x+2cos2x=4sin（2x+∵x∈[0，∴2x+

∈[]，，

]，

）．

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2

sin2x﹣

+3=2

∴f（x）∈[﹣2，4]．

（Ⅱ）由条件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），化简得 sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=

，

a2cosA，解得：cosA=

，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4故解得：A=

，B=

，C=

，

第 13 页，共 18 页

∴f（B）=f（）=4sin=2．

【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．　

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC．

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC．

（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴所以得：

，

则有：．

设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有令y=1，得

所以

．

因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与（Ⅲ）设即所以

令OE∥平面A1AB，得即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得

，

，，得

，，得

，

所成锐角互余，所以

．

，

．

即存在这样的点E，E为BC1的中点．

第 14 页，共 18 页

【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力　

21．【答案】

【解析】解：（1）根据题意，得；该旋转体的下半部分是一个圆锥，

上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，其表面积为S=或S=

×4π×2

×4π×2

+×

×2=8×（4π×2

π，﹣2π×

）+

×2π×

=8

π；

（2）由已知S△ABD=

×2×sin135°=1，

，只要M点到平面ABCD的距离为1，

因而要使四面体MABD的体积为

因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，

它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．

【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．　

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

第 15 页，共 18 页

23．【答案】（1）；（2）0a1.1111]【解析】

则

1f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立，

x1而当x0时，(x)3231，

x∴a1.

若函数f(x)在(0,)上递减，

则f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立，这是不可能的.综上，a1.的最小值为1. 1

1x第 16 页，共 18 页

（2）由f(x)(a)x(a2)x2lnx0，得(a)x(2a)x2lnx，

1221221(1)x22x(lnxx)lnxxlnxx1x2lnxxr(x)即a，令，，r'(x)2233xxxx得1x2lnx0的根为1，

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.24．【答案】（1）an2n1，bn2【解析】

n1或an1n(52n)，bn6n1；（2）.32n1第 17 页，共 18 页

试题解析：（1）设an的公差为d，bn的公比为，

2q2(33d)36,d2,d,由题意得解得或3q2,q(2d)8,q6.1n1n1∴an2n1，bn2或an(52n)，bn6．

3（2）若anan+1，由（1）知an2n1，

11111()，∴

anan1(2n1)(2n1)22n12n1111111n)∴Tn(1…．

23352n12n12n1考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.

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