等差数列的性质总结

等差数列

1.等差数列的定义：anan1d（d为常数）（n2）；

2．等差数列通项公式：

ana1(n1)ddna1d(nN*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： anam(nm)d． 从而d

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2

4．等差数列的前n项和公式：

ab或2Aab 2anam；

nmSnn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n12n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）



5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列． ⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（2） 等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2． （4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．



7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质： （1）当公差d0时，

等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222

（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.

注：a1ana2an1a3an2，

- 1 -

（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

(5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n ，„也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，

*S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan

2na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1

2S偶S奇nan1nannan1an

S奇nanan S偶nan1an1

2、当项数为奇数2n1时，则

S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1 SSaSnaS偶nn+1n+1奇偶偶（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

（9）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

Anf(n)， Bnan(2n1)anA2n1f(2n1). bn(2n1)bnB2n1nN*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 即当a10，d0， 由an0可得Sn达到最大值时的n值．

an10 （2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

an0即 当a10，d0， 由可得Sn达到最小值时的n值．

a0n1或求an中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

pq 2- 2 -