基于MATLAB的二阶线性系统分析与仿真

第２６卷第５期　２００６年１０月　河池学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＥＣＨＩ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖ０】．２６　Ｎ０　５　０ｃｔ．２ｏｏ６　基于ＭＡＴＬＡＢ的二阶线性系统分析与仿真　才娟，肖洪祥，邵彭飞　（桂林３－学院电子与计算机系．广西桂林５４１００４）　［摘要］二阶线性系统应用非常广泛。ＭＡＴＬＡＢ语言是功能十分强大的工程计算厦数值分析软件。它提供　了高效的信号处理工具箱。介绍利用ＭＡＴＬＡＢ语言对二阶线性系统进行分析与仿真的方法，尤其对系统稳定性的　分析，并给出相关的例子、程序和相应的仿真结果。　［关键词】　ＭＡＴＬＡＢ语言；二阶线性系统；稳定性；４，５－真　［中图分类号】ＴＰ３９１．９　［文献标识码】　Ａ　［文章编号】　１６７２—９０２１（２００６）０５—００８５—０３　［作者简介］　才娟（１９７９一），女（满族），辽宁义县人，桂林工学院电子与计算机系硕士研究生，主要研究方　向为检测技术与自动化装置；肖洪祥（１９６５一），男，湖北武汉人，桂林工学院电子与计算机系高级工程师，主要研究　方向为检测技术与自动化装置。　在控制工程中，不仅二阶线性系统的典型应用极为普遍，而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二　阶系统的特性来表征。因此，对二阶线性系统的分析具有较大的实际意义＿ｌ　Ｊ。　ＭＡＴＬＡＢ已经成为国际上最流行的科学与工程计算的软件工具，现在的ＭＡＴＬＡＢ已经不仅仅是一个　“矩阵实验室”了，它已经成为了一种具有广泛应用前景的、全新的计算机高级编程语言，有人称它为“第四　代”计算机语言。ＭＡＴＬＡＢ语言的功能越来越强大。它在国内外高校和研究部门正扮演着重要的角色，在科　算、信号处理、自动控制与科学绘图等许多领域得到了广泛的应用。本文探讨ＭＡＴＬＡＢ语言在线性系　统分析中的应用，主要研究在给定典型输入信号下求取系统的输出信号以及系统的稳定性。　１　二阶线性系统阶跃响应的分析　二阶线性系统的闭环传递函数为　（－Ｏ　ｎ　，（ｓ）＝　当输入不同时，对其单位阶跃响应进行比较　和仿真。　取∞　＝１时，分别取　＝０，０．１，１．０，３．０，用ＭＡＴＬＡＢ语　言进行编程，仿真结果如图１。　ｓｙｍｓ　Ｓ　ｆｏｒ　ｚｅｔａ＝［０，０．１，０．３，１，３，５］　ＷＨ＝１；ｗｎ＝ｓｙｍ（ＷＢ）；ｚｅｔ＝ｓｙｍ（ｚｅｔａ）；　ｉｆ　ｚｅｔ＝＝０　ｔ　ｉｆｇｕｒｅ（１）　ｅｌｓｅｉｆ　ｚｅｔａ＝＝１　图１不同阻尼比　下系统的单位阶跃响应　ｅｚｐｌｏｔ（ｉｌａｐｌａｃｅ（ｗｎ＂２／ｓ／（　十ｗｎ＂２）），［０　１９］）；ｈｏｌｄ　ｏｎ　ｆｉｇｕｒｅ（１）　ｅｚｐｌｏｔ（ｉｌａｐｌａｃｅ（ｗｎ￣２／ｓ／（Ｓ＋ｗｎｙ２），［０　１９］）；ｈｏｌｄ　ｏｎ；　ｅｌｓｅ　ｉｆｇｕｒｅ（１）　ｅｚｐｌｏｔ（ｉｌａｐｌａｃｅ（ｗｎ＂２／ｓ／（　＋２｝ｚｅｔ｝ｗｒｌ｝ｓ＋ｗｎ＾２）），［０　１９］）；ｈｏｌｄ　ｏｎ；　８５　维普资讯 http://www.cqvip.com

ｅｎｄ　ｅｎｄ　ｔｉｔｌｅ（‘＼ｘｉ＝０，０．１，０．３，１．０，３．０，５．０‘）　ａｘｉｓ（［０　１９　０　２．０］）　ｇｔｅｘｔ（　０）；ｇｔｅｘｔ（‘０．１‘）；ｇｔｅｘｔ（‘１．０‘）；ｇｔｅｘｔ（‘３．０’）　（１）当∈＝０时，此系统为无阻尼状态，即为正弦曲线；　（２）当０＜∈＜１时，此系统为欠阻尼状态，专值越大，系统的振荡越小；　（３）当∈＝１时，此系统为临界阻尼状态，这时总能保持系统输出值小于１的最小阻尼比；　（４）当　１时，此系统为过阻尼状态，在专增加时，系统输出减慢。　２二阶线性系统的稳定性分析　稳定性是控制系统的重要性能，也是系统能正常工作的首要条件…。线性系统稳定的充分必要条件　是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点严格位于左半ｓ平面上。根据　稳定的充分必要条件我们可以利用ＭＡＴＬＡＢ的计算功能算出闭环特征方程的根，判断其根是否全部在左半　Ｓ平面上，从而得出系统是否稳定　Ｊ。　（１）根据特征根的实部是否为负来判断系统是否稳定，首先求闭环系统的特征根，这是最常见的方法。　例如：一控制系统框图如图２所示，试判定此系统的稳定性。程序如下：　Ｇ＝ｔｆ（［３］，［１　２］）；　Ｈ＝ｔｆ（［２］，［１１］）；　ＧＯ＝ｆｅｅｄｂａｃｋ（Ｇ，Ｈ）；　Ｐ＝ｅｉｇ（ＧＯ）　运行结果：　Ｐ　一１．５ｏｏ　０＋２．３９７　９ｉ　一１．５ｏｏ　０—２．３９７　９ｉ　图２控制系统框图　由于特征根的实部均为负，故此负反馈控制系统是　稳定的。　（２）根据开环系统的传递函数求出闭环系统的特征多项式以及其特征根来判断系统的稳定性。　例如：单位负反馈控制系统的开环传递函数为：Ｇ（ｓ）＝　，试判断此闭环系统的稳定性。　首先求闭环系统的特征多项式，程序如下：　ｚ＝一０．５：　Ｐ＝［１　０．２］；　ｋ＝０．３：　Ｇ＝ｚｐｋ（ｚ，Ｐ，ｋ）；　ＯＧ＝ｔｆ（￣ｅｄｂａｃｋ（Ｇ，１））；　ｄ＝ＧＯ．ｄｅｎ；　ｄｅｎ＝ｐｏｌｙ２ｓｔｒ（ｄ｛１｝，ｌｓ‘）　得到运行结果：　ｄｅｎ＝　ｓ＾２—０．９　ｓ＋０．３５　根据特征多项式，求其特征根来判断系统的稳定性。程序如下：　ｄｅｎ＝［１—０．９　０．３５］；　Ｐ＝ｒｏｏｔｓ（ｄｅｎ）　运行后可得如下的特征根：　Ｐ　０．４５０　０＋０．３８４　１ｉ　８６　维普资讯 http://www.cqvip.com

０．４５０　０—０．３８４　１ｉ　由于系统的特征根都是正实部，故此负反馈控制系统是不稳定的。　（３）根据零极点图判断系统的稳定性，即二阶系统的闭环传递函数的极点严格位于左半　平面上，则此　系统稳定。　例如：单位负反馈控制系统的开环传递函数为Ｇ（　）＝　性。程序如下：　ｚ＝一２：　，试利用零极点图来判断系统的稳定　Ｐ＝［０—０．５］；　ｋ＝０．２；　０．８广——－－———一ｌ　Ｉ。　０．ｇ３５　．　——．—．—　——————．，　０Ｉ８８　－　０．８　ＧＯ＝ｚｐｋ（Ｚ，Ｐ，ｋ）　ｏ．６１ｏ．９７５　０．４＼　０：９９４０　２　．．　　・．　。　０．６６。（）．４８　０．２５］　．　×　ｊ　Ｊ　！　Ｇｃ＝ｆｆ（ｆｅｅｄｂａｃｋ（ＧＯ，１））；　［ｚ，Ｐ，ｋ］＝ｚｐｋｄａｔａ（Ｇｃ，　・）　ｐｚｍａｐ（Ｇｃ）　ｇｒｉｄ　ｏｎ　Ｉ　：　ｌｌｌ　Ｉ　１　０．１５．　ｏ．‘　＊　ｊ　０卜９・　，　…０．２拿．　　ＪＯ．０Ｓ　・　’．．　…　运行结果：　ｚ＝　一星　－０　２Ｉ　备　Ｏ．９９４　－０．４　￣．６　－　２．０ｏｏ　０　Ｐ　一０．３５０　０＋０．５２６　８ｉ　０．３５０　０—０，５２６　８ｉ　５－　ｔｏ：９７　ｘ　一０．９３５　～　０．８８　－０．８　．１　０．６６　０．４８　０．２５一　．．．ｊ　　：　１．一…一．．　一Ｊ　ｋ＝　０．２ｏｏ　０　．２　１．５　－０．５　０　ＲｅａＩＡｘｉｓ　零极点图如图３。　图３闭环系统零极点图　由运行结果和图示可知．此系统的特　征根均为负实部，且所有零极点都在左半Ｓ平面，故此系统是稳定的。　３　结束语　用ＭＡＴＬＡＢ分析二阶线性系统具有高效、一目了然的特点，编程容易，语句简捷，只要正确输入了系统　的模型参数，然后直接调用相应的函数即可。同样采用ＭＡＴＬＡＢ语言还可以对高阶系统、多输人多输出　（ＭＩＭＯ）系统及离散系统等复杂系统进行分析和设计。　参考文献：　［１］胡寿松．自动控制原理［Ｍ］．北京：科学出版社，２００１，　［２］何强，石惠．ＭＡＴＬＡＢ在时域分析中的应用［Ｊ］．安徽水利水电职业技术学院学报，２００５。（１）：７１—７３　［３］陈怀琛，吴大正。高ｐ　全．ＭＡＴＬＡＢ及在电子信息课程中的应用［Ｍ］．北京：电子丁业ｆｆ｛版社。２００２．　Ｔｈｅ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＭＡＴＬＡＢ　ＣＡＩ　Ｊｕａｎ．ＸＩＡＯ　Ｈｏｎｇ－ｘｉａｎｇ．ＳＨＡＯ　Ｐｅｎｇ－ｆｅｉ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕｉｌｉｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ　５４１００４，Ｃｈｉｎａ）　［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｏｒｄｅｒ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｗｉｄｅｌｙ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｉｆｅｌｄｓ．ＭＡＴＬＡＢ　ｌａｎｇｕａｇｅ　ｉｓ　ａｎ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｓｅｓ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｗｉｔｈ　ａｎ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｓｉｇｎａｌ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｔｏｏｌｂｏｘ　ｉｎ　ｉｔ．Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｏｒｄｅｒ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ＭＡＴＬＡＢ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ａｎａｌｙｓｅｓ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｇｉｖｅｓ　ｏｕｔ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ　ｉｎｓｔａｎｃｅ，ｏｒｄｅｒ　ａｎｄ　ｒｅｌｅｖａｎｔ　ｆｉｇｕｒｅ．　［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］　ＭＡＴＬＡＢ　ｌａｎｇｕａｇｅ；ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｏｒｄｅｒ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　收稿日期［责任编辑２００６—０９—２８　刘景平］　８７