高中数学等比数列

等比数列

高考要求

等比数列的概念 等比数列 要求层次 B C 重难点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题 等差比数列的通项公式与前n项和公式

例题精讲

板块一：等比数列通项

（一） 知识内容

1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，

那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母q(q0)表示． 2. 等比数列的通项公式为：ana1qn1．

3. 等比中项：如果三个数x,G,y组成等比数列，那么G叫做x和y的等比中项，即G2xy．

两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数； 一个正数与一个负数没有等比中项． <教师备案>1．等比数列通项公式的推导：

由等比数列的定义知：

aa2aq,3q,4q,a1a2a3an1aq,nq, an2an1将这n1个式子的等号两边分别相乘得：由等比数列的通项公式易知：

4. 等比数列{an}的性质（其中公比为q）：

⑴anamqnm，qnman； amanqn1，即ana1qn1． a1anqnm． am2apaq； ⑵若pqmn，则有apaqaman；若2mpq，则有am⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，anm，an2m，比为qm．

为等比数列，公

（二）主要方法：

1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和

d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算

量．

2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．

（二）典例分析：

1.等比数列定义

【例1】 ⑴在等比数列{an}中, a116，a48，则a7（ ）

A．4 B．4 C．2 D．2

⑵ 在等比数列an中，若a3,a9是方程3x211x90的两根，则a6的值是_____.

⑶在等比数列{an}中，公比q2，且a1a2a3a30230，则a3a6a9a30等于（ ）

A．210 B．220 C．216 D．215

【变式】 已知等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项an___________．

【例2】 一个数加上20，50，100后得到的三数成等比数列，其公比为 ．

【变式】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和

是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

2.等比数列性质

1【例3】 已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1( )

43232A．1614n B．16(12n) C．14n D．12n

33

【变式】 或判断设an为公比q1的等比数列，若a2006和a2007是方程4x28x30的两根，则

a2008a2009 ．

【变式】 等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2A．12

【变式】 等比数列an的公比为2，则

2a1a2的值为 ．

2a3a4log3a10( )

B．10 C．8

D．2log35

【例4】 已知等比数列an满足a1a611，且a3a432. 9⑴求数列an的通项an；

24⑵如果至少存在一个自然数m，恰使am1，(am)2，am1这三个数依次成等差数列，问这

93样的等比数列an是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.

【例5】 设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1，2，)，若数列bn有连续四项

23，19，37，82中，则6q ． 在集合53，

3.证明等比数列

<教师备案>数列的递推公式在必修5中为选学内容，目的是使学生了解数列的递推公式是给出数列的

一种方法，也是研究数列的一个途径，本板块与等比数列定义结合，根据数列递推公式，重点讲解用待定系数法求数列的通项公式，也可称为换元法． 主要有几种出题形式： 1．an1banc 2．an1banc(n) 3．an1panqan1

1【例6】 已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN*)

3⑴求a1，a2；

⑵求证：数列an是等比数列．

1【例7】 已知数列an满足a11，an11an，求其通项公式．

2

【例8】 在数列an中，a11，当n≥2时，有an3an12，求an．

【点评】 解法一利用待定系数法确定常数，从而构造新的等比数列，进而求通项公式；解法二仿照

所给

关系式，两式相减构造新的数列（等差或等比）

【变式】 已知数列an满足a11，an3an12n1(n2)，求an

【点评】 当c(n)成等比数列时，anban1c(n)

由于c(n)是等比数列c(n)pqn，且b是常数，故c(n)一定可像c一样分解： 设anABnb(an1ABn1)，则A

【变式】 已知a1pq，Bq，且anABn成等比数列． qb173，an()an15(n≥2)，求an． 22

【例9】 数列an中，a12，an1ancn（c是常数，n1，且a1，a2，a3成公比不为1的，2，3，）

等比数列．

⑴求c的值；

⑵求an的通项公式．

【变式】 在数列an中，a12，an14an3n1，nN．

⑴证明数列ann是等比数列； ⑵求数列an的前n项和Sn．

【点评】 an1banc(n)，当数列c(n)成等差数列时．

⑴若b1，则an1anc(n)，这实质上成为“泛等差”数列，因此用“迭加法”即可解决， 即an(anan1)(an1an2)解：∵an1an2nn，

∴a2a1211，a3a2222，…，anan12n1(n1)(n2)， 迭加法：

n≥2时，有ana1(1222an(12222n1)2n1)123(n1)

(a2a1)a1，上一讲已有此类题目，若与等比结合，

例如：已知数列an满足a11，an1an2nn，求an．

n(n1)n(n1)n(n1) a1(2n2)a12n1222而a11也适合上式 ∴an的通项公式为an2n⑵an1banc(n)

那么b1且b0时， c(n)是等差数列c(n)pnq，故c(n)也可以像c一样分解：

an1A(n1)Bban(AnB)

n(n1)1 2则Aqqbpbp，B，且an(AnB)成等比数列．

(1b)21b也可举更一般的例题：

1已知a1，an3an12n1(n2)，求an．

2解：设an(AnB)3an1A(n1)B ∴an3an13A(n1)3AAnB 故2n12An3A2B恒成立，故22A

13A2B∴A1，B1，故ann1成等比数列．

【例10】 已知数列an的前n项和为Sn2n25n1(nN*)

33数列bn的前n项和Bn满足Bnbn(nN)

22⑴求数列an的通项公式；

⑵将数列an与bn的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列cn，求数列

cn的通项公式．

【例11】 设a0为常数，且an3n12an1(nN*)．

1⑴ 证明对任意n≥1，an[3n(1)n12n](1)n2na0；

5⑵ 假设对任意n≥1有anan1，求a0的取值范围．

板块二：数列的前n项和

（一） 知识内容

<教师备案>错位相减求和法：非零的等差数列an、等比数列bn构造数列anbn，此数列称为差

比数列，求它的前n项和可用错位相减法．

等比数列的n项和也构成一个等比数列，即Sn，S2nSn，S3nS2n，

为等比数列，公比为qn．

(q1)na1　　　　　　　　通项公式：ana1qn1amqnm；前n项和公式：Sna1(1qn)a1anq．

(q1)1q1q等比数列前n项和公式的推导：

法一：由等比数列的定义知a2a1q,a3a2q,,an1an2q,anan1q，

将这n个等式的两边分别相加得：a2a3an(a1a2an1)q，

即Sna1(Snan)q，整理得Sn(1q)a1anqa1a1qn，

a1(1qn)(n≥2)，显然此式对n1也成立； 当q1时，Sn1q当q1时，Snna1． 法二：Sna1a1qa1q2a1qn1，

a1qn，

将上式两边同乘以q得：qSna1qa1q2a1q3两式相减得：(1q)Sna1a1qn，以下讨论同法一． 法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．

（二）典例分析：

1.等比数列求和公式

【例12】 在等比数列an中，a22，a5128，则它的公比q_______，前n项和Sn_______．

【例13】 等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35，则a4 ．

【例14】 设等比数列an的前n项和为Sn，若

S6S3，则9（ ）

S6S3

A．2 B．

7 3

8C．

3 D．3

设an是公比为q的等比数列，q1，令bnan1(n1，2，)，若数列bn有连续四项在集合

19，37，82中，则6q ． 53，23，

【变式】 等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，公比q1，若

S10a31＝，则10等于 ． S5a532

1【例15】 等比数列an中，a1512，公比q，用n表示它前n项的积：na1a2...an，

2则1，2，…，n中最大的是_______．

1【例16】 已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN)．

3 ⑴求a1，a2，a3的值；

⑵求an的通项公式及S10．

【变式】 在等比数列an中，a1a2a327，a2a430

试求：⑴a1和公比q；⑵前6项的和S6.

2【变式】 ⑴ 在等比数列an中，已知对任意正整数n，有Sn2n1，则a12a22an________．

⑵ 求和：(a1)(a22)(ann),(a0)．

⑶ (2008-2009学年度山东省费县必修5考试数学试卷)

220a在等比数列an中，a4，a3a5．若数列an的公比大于1，且bnlog3n，

392求数列bn的前n项和Sn．

板块三：等比数列综合

【例17】 在各项均为正数的等比数列bn中，若b7b83，则log3b1log3b2……log3b14等于

（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【例18】 ⑴等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1a2a3an2n1，

22an( ) 则a12a2A．2n1 B．

21n121 C．4n1 D．4n1 33(ann),(a0)．

⑵ 若lgxlgx2lgx10110，求lgxlg2xlg10x的值. ⑵ 求和：(a1)(a22)220a⑶在等比数列an中，a4，a3a5．若数列an的公比大于1，且bnlog3n，

392求数列bn的前n项和Sn．

【例19】 在等比数列an的前n项中，a1最小，且a1an66,a2an1128，前n项和Sn126，求n和

公比q．

【例20】 设等比数列an前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q．

1【例21】 且a12，求数列{cn}的前n项和Sn. {an}的相邻两项an，an1是方程x2cnx()n0的两根，

3

111【例22】 已知数列an：1，2()，3()2，…，n()n1，求它的前n项和．

222

【变式】 已知：数列{an}满足a13a232a3n3n1an,aN.

3⑴求数列{an}的通项； ⑵设bn

【例23】 已知数列an的通项公式为ann5n，求其前n项和公式．

n,求数列{bn}的前n项和Sn an

【例24】 求数列a，2a2，3a3，…，nan，…，（a为常数）的前n项的和．

【变式】 已知等差数列an，公差为d，求Sna1xa2x3a3x5anx2n1(x1且x0)

【变式】 设an为等比数列，Tnna1(n1)a22an1an，已知T11，T24．

⑴求数列an的首项和公比; ⑵求数列Tn的通项公式．

【例25】 已知a1，数列{an}是首项为a，公比为a的等比数列，令bnanlgan(a0,nN)，

⑴当a2时，求数列{bn}的前n项和Sn；

⑵若数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围．

【点评】 本题的⑵属于数列与不等式的结合问题，涉及到分式不等式的解法以及参数的讨论问题，注

意与指数函数和对数函数相结合．

【例26】 已知函数fx是一次函数，且f815，f2，f5，f14成等比数列，设anfn，

nN．

*⑴ 求Tn；

⑵ 设bn2n，求数列anbn的前n项和Sn．

【例27】 设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0nN．

⑴求q的取值范围；

3⑵设bnan2an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．

2

【例28】 设an是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和，证明

log0.5Snlog0.5Sn2log0.5Sn1

2

【例29】 设an是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和．

⑴证明：

lgSnlgSn2lgSn1；

2lgSnClgSn2ClgSn1C成立？并证明你的结论．

2⑵是否存在常数C0使得

板块四：等比数列知识的应用

<教师备案> 1． 复利．

复利是指把上期的利息也加入本期的本金计算利息，叫做复利． 2． 复利公式．

设有一笔资金的本金为m元，每期的利率为i，若按复利计算，则本利和S可按期数排成下面的数列．

因此本利和是个等比数列，则m元本金在利率i下，经n期后，按复利计算的本利和公式为Snm(1i)n

习惯上常将复利计算本利和时的利率叫做复利率．

【例30】 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天

都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？

【例31】 从盛满a升(a1)纯酒精的溶液里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填

满．如此继续下去，那么第n次操作后溶液的浓度是多少?

【变式】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但

每年年底都要扣除消费基金x万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？

【变式】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，

每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？

【例32】 (05上海卷．理12)

用n个不同的实数a1,a2,,an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵。对第i行ai1,ai2,,ain，记

biai12ai23ai3....(1)nnain，i1,2,3,112233231312323121,n!。

例如：用1,2,3、可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1b2b61221231224，那么，

b120=________。

在用1,2,3,4,5形成的数阵中，b1b2

【变式】 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的

数列an依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一

格的数之和”的规则填写其他空格． 第1列 第2列 第1行 第2行 第3行 … 第n行 1 q q2 第3列 1 … … 第n列 1 1 Bn的值；

… qn1

⑴ 设第2行的数依次为B1，B2，，Bn，试用n，q表示B1B2⑵ 设第3行的数依次为c1，c2，c3，，cn，求证：对于任意非零实数q，c1c32c2； ⑶ 请在以下两个问题中选择一个进行研究(只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问)．

c2，，cmm≥3成①能否找到q的值，使得⑵中的数列c1，c2，c3，，cn的前m项c1，为等比数列？若能找到，m值有多少个？若不能找到，说明理由．

②能否找到q的值，使得填表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由． 列．

【变式】 已知数列a0，a1，a2，，an，满足关系式3an16an18，且a03，则i0n1的值ai是 .