人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 𝑦=4𝑥,1≤𝑥<10,𝑥∈𝐍
{2𝑥+10,10≤𝑥<100,𝑥∈𝐍，其中，𝑥 代表拟录用人数，𝑦 代表面试人数．若面试人数为 60，1.5𝑥,𝑥≥100,𝑥∈𝐍则该公司拟录用人数为 A． 15 B． 40 C． 25 D． 130
2. (27−2
38)= ( )
A． 9
B． 4
4 9
C． 2
3
3
D． 2
3. 若函数 𝑓(𝑥)=2𝑥−2
𝑥−𝑎 的一个零点在区间 (1,2) 内，则实数 𝑎 的取值范围是 ( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
4. 定义运算 ∗:𝑎∗𝑏={𝑎,𝑎≤𝑏𝑏,𝑎>𝑏，如 1∗2=1，则函数 𝑓(𝑥)=∣2𝑥∗2−𝑥−1∣ 的值域为 ( A． [0,1]
B． [0,1)
C． [0,+∞)
D． [1,+∞)
5. 设 𝑎=log37，𝑏=21.1，𝑐=0.83.1，那么 𝑎，𝑏，𝑐 的大小关系是 ( ) A． 𝑏<𝑎<𝑐
B． 𝑐<𝑎<𝑏
C． 𝑐<𝑏<𝑎
D． 𝑎<𝑐<𝑏
6. 已知对数函数 𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥 是增函数，则函数 𝑓(∣𝑥∣+1) 的图象大致是 ( )
A． B．
C． D．
7. 下列不等式正确的是 ( ) A． sin130∘>sin40∘>log34 B． tan226∘ 1 ) 8. 若函数 𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥 在区间 [𝑎,3𝑎] 上的最大值是最小值的 3 倍，则 𝑎 的值为 ( ) 9. 给出四个函数：𝑦=3𝑥，𝑦=𝑥3，𝑦=3𝑥，𝑦=log3𝑥 .当 𝑥∈(3,+∞) 时，其中增长速度最快的函数是 ( ) 𝑥+3,𝑥>𝑎, 10. 已知函数 𝑓(𝑥)={2 函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥 恰有三个不同的零点，则实数 𝑎 𝑥+6𝑥+3,𝑥≤𝑎, 的取值范围是 ( ) 二、填空题（共6题） 11. 某航空公司规定，乘机所携带行李的重量( kg )与其运费（元）由图中的一次函数图象确定，那么 乘客可免费携带行李的最大重量为 ． A． [−1,3) C． [−3,3) B． [−3,−1) D． [−1,1) A． 𝑦=3𝑥 B． 𝑦=3𝑥 C． 𝑦=𝑥3 D． 𝑦=log3𝑥 A． √3 B． √3 9 C． √3 或 √3 3 D． √3 或 √3 9 12. 若 10𝑥=5，102=5，则 10𝑦−𝑥= ． 13. 将下列对数式改为指数式： （1）log4√8=4 ；（2）log1𝑥=−5 ； 2𝑦 3 （3）log𝑎𝑏=𝑐（𝑎>0 且 𝑎≠1，𝑏>0） ． 2 14. 某种储蓄的月利率是 0.8%，存入 1000 元本金后，本息和 𝑦 与所存的月数 𝑥 之间的函数关系 式为 ． 15. 函数 𝑦= 16. 以下是三个变量 𝑦1，𝑦2，𝑦3 随变量 𝑥 变化的数值表： 𝑥𝑦1𝑦2𝑦3 1210 2345678⋯48163264128256⋯ 其中关于 𝑥 呈指数型函数变化的变量 491625364964⋯11.58522.3222.5852.8073⋯ lg(4−𝑥)𝑥−3 的定义域是 ． 是 ，呈对数型函数变化的变量是 ，呈幂函数型变化的变量是 ． 三、解答题（共6题） 17. 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量 𝑄 （万件）与广告费 𝑥（万元）之间的函数关系为 𝑄= 3𝑥−2𝑥 (𝑥>0)，已知生产此产品的年固定投入 为 3 万元，每生产 1 万件此产品仍需要投入 32 万元，若年销售额为“年生产成本的 150%”与“年广告费的 50%”之和，而当年产销量相等． (1) 试将年利润 𝑦（万元）表示为年广告费 𝑥（万元）的函数； (2) 求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大？ 18. 某超市在国庆节前进行商品降价销售活动，拟分两次降价．有两种降价方案：甲方案是第一次打 𝑎 折销售，第二次打 𝑏 折销售；乙方案是两次都打 19. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑥≥0) 的图象经过点 (2,4)，其中 𝑎>0 且 𝑎≠1． (1) 求 𝑎 的值； (2) 求函数 𝑦=𝑓(𝑥)+1(𝑥≥0) 的值域． 20. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，已知 ∠𝐶=90∘，𝐴𝐶=6，𝐵𝐶=4，四边形 𝑀𝑁𝑃𝑄 为它的内接矩形，𝑀𝑁 在边 𝐶𝐵 上．设 𝑀𝑁=𝑥，试将矩形面积 𝑆 表示为 𝑥 的函数． 21. 计算： (1) (−8)+8+ 70 1 3𝑎+𝑏2 折销售．请问：哪一种方案降价较多？ 1 2√3(2)×(24) 1−2 1 −(0.25)0.5． 3 (2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2． 22. 设函数 𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥+2)−1 其图象恒过定点 𝑀． (1) 写出定点 𝑀 的坐标． (2) 若 𝑓(𝑥) 在 [0,1] 上的最大值和最小值互为相反数，求 𝑎 的值． (3) 若 𝑦=𝑓(𝑥) 的图象不经过第二象限，求 𝑎 的取值范围． 4 答案 一、选择题（共10题） 1. 【答案】C 【解析】令 𝑦=60， 若 4𝑥=60，则 𝑥=15>10，不合题意； 若 2𝑥+10=60，则 𝑥=25，满足题意； 若 1.5𝑥=60，则 𝑥=40<100，不合题意． 故该公司拟录用 25 人． 【知识点】函数模型的综合应用 2. 【答案】B 【解析】 (8) 3. 【答案】C 【解析】由条件可知 𝑓(1)𝑓(2)<0，即 (2−2−𝑎)(4−1−𝑎)<0，即 𝑎(𝑎−3)<0，解之得 0<𝑎<3． 【知识点】零点的存在性定理 4. 【答案】B 【解析】新定义函数的运算结果是取 𝑎，𝑏 中的较小值，则 2𝑥∗2−𝑥=()2 1∣𝑥∣∣𝑥−𝑥()所以 𝑓𝑥=∣2∗2−1∣=∣(2)−1∣∈[0,1)． ∣∣∣ 1∣𝑥∣ 27−3 2 =[(2)] − 3332 =9． 4 【知识点】幂的概念与运算 ∈(0,1]， 故选B． 【知识点】指数函数及其性质 5. 【答案】B 【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质 6. 【答案】B 【知识点】函数图象、对数函数及其性质 7. 【答案】D 【解析】因为 sin40∘<1 tan410∘=tan50∘>1>sin80∘>2>log52， 5 1 所以D正确． 【知识点】正切函数的性质、对数函数及其性质 8. 【答案】D 【知识点】对数函数及其性质 9. 【答案】B 【解析】指数函数呈“爆炸式”增长，增长速度最快． 【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质 10. 【答案】A 【解析】因为 𝑓(𝑥)={ 𝑥+3,𝑥>𝑎, 𝑥2+6𝑥+3,𝑥≤𝑎, 3−𝑥,𝑥>𝑎, 所以 𝑔(𝑥)={2 𝑥+4𝑥+3,𝑥≤𝑎, 又因为 𝑔(𝑥) 有三个不同的零点，则方程 3−𝑥=0，𝑥>𝑎 有一个解， 解得 𝑥=3， 所以 𝑎<3，方程 𝑥2+4𝑥+3=0，𝑥≤𝑎 有两个不同的解， 解得 𝑥=−1 或 𝑥=−3， 又因为 𝑥≤𝑎， 所以 𝑎≥−1， 所以 𝑎 的取值范围为 [−1,3)． 【知识点】函数的零点分布 二、填空题（共6题） 11. 【答案】 19 kg 【解析】设 𝑦=𝑘𝑥+𝑏，将点 (30,330)，(40,630) 代入得 𝑦=30𝑥−570， 令 𝑦=0 得 𝑥=19． 【知识点】函数的表示方法 12. 【答案】 5 【解析】因为 10𝑥=5， 所以 10−𝑥=(10𝑥)−1=5−1． 因为 10=(10 𝑦2 1 𝑦)2=5， 所以 10𝑦=52， 所以 10𝑦−𝑥=10𝑦⋅10−𝑥=52⋅5−1=5． 【知识点】幂的概念与运算 13. 【答案】 44=√8 ； (2)−5=𝑥 ； 𝑎𝑐=𝑏 6 3 1 【知识点】对数的概念与运算 14. 【答案】 𝑦=8𝑥+1000(𝑥∈𝐍∗) 【知识点】建立函数表达式模型 15. 【答案】 (−∞,3)∪(3,4) 【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质 16. 【答案】 𝑦1 ； 𝑦3 ； 𝑦2 【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质 三、解答题（共6题） 17. 【答案】 𝑦(1) =(32𝑄+3)⋅150%+𝑥⋅50%−(32𝑄+3)−𝑥=2[32(=−− 2𝑥1 3𝑥−2𝑥32𝑥992 )+3]−2 992 𝑥 +(𝑥>0), 即 𝑦=−2− (2) −2− 𝑥𝑥 𝑥32𝑥 +(𝑥>0)． 32𝑥 + 32𝑥 992 =−(2+ 𝑥32 )+𝑥 992 ≤−2√2⋅ 𝑥32𝑥 + 992 = 832 ， 当且仅当 2= 时，即 𝑥=8 时取等号， 832 答：当年广告费投入 8 万元时，企业年利润最大，最大值为 万元． 【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型 18. 【答案】甲方案降价后的价格是 𝑎𝑏 折，乙方案降价后的价格是 ( 因为 ( 𝑎+𝑏22 𝑎+𝑏22 ) 折， )−𝑎𝑏= (𝑎+𝑏)2−4𝑎𝑏 4 = (𝑎−𝑏)2 4 ≥0， 所以当 𝑎=𝑏 时，两种方案降价一样多； 当 𝑎≠𝑏 时，甲方案降价较多． 【知识点】函数模型的综合应用 19. 【答案】 (1) 因为函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑥≥0) 的图象经过点 (2,4)， 7 1 所以 𝑎2=4，𝑎=2． (2) 由（1）得 𝑓(𝑥)=(2)(𝑥≥0)，函数为减函数， 当 𝑥=0 时，函数取最大值 1，故 𝑓(𝑥)∈(0,1]， 所以函数 𝑦=𝑓(𝑥)+1=(2)+1(𝑥≥0)∈(1,2]， 故函数 𝑦=𝑓(𝑥)+1(𝑥≥0) 的值域为 (1,2]． 【知识点】指数函数及其性质 20. 【答案】 𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×6×4=12，𝑁𝐵=4−𝑥，𝑃𝑄=𝑥．由于 △𝑁𝑃𝐵∽△𝐴𝑃𝑄，因此设 𝑁𝑃= 𝑚，则 𝐴𝑄=6−𝑚， 4−𝑥𝑥1 1𝑥1𝑥 11 = 𝑚6−𝑚 ，得 𝑚= 12−3𝑥2 ．所以 𝑆=−𝑥2+6𝑥(0<𝑥<4)． 2 3 【知识点】建立函数表达式模型 21. 【答案】 (−8)+8 33170 132√3+(2)4 1 ×(24)121−2 1 −(0.25)0.5 (1) =1+2+4×√9−(4)=1+2+4×3−2=1+2+2−2.==(2) = === 12 1 lg25+lg2×lg50+(lg2)22lg5+lg2×(lg50+lg2)2lg5+lg2×lg(2×50) 2lg5+lg2×lg100 2lg5+2lg22×(lg5+lg2)2. 【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算 22. 【答案】 (1) 令 𝑥+2=1，得 𝑥=−1，故定点 𝑀 的坐标为 (−1,−1)． (2) 𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥+2)−1 在 [0,1] 上为单调函数， 因为 𝑓(𝑥) 在 [0,1] 上的最大值和最小值互为相反数， 所以 𝑓(0)+𝑓(1)=0，即 log𝑎2−1+log𝑎3−1=0，即 log𝑎6=2， 所以 𝑎2=6，又 𝑎>0 且 𝑎≠1，故 𝑎=√6． (3) 若 𝑦=𝑓(𝑥) 的图象不经过第二象限，则 𝑎>1，且 𝑓(0)≤0， 8 所以 log𝑎2−1≤0，解得 𝑎≥2，故 𝑎 的取值范围是 [2,+∞)． 【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值 9 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容