函数值域求法11(例题)

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数

y

1

x的值域。

2、求函数y1的值域。

x112 3 、求yx42的值域。

2. 配方法

2yx2x5,x[1,2]的值域。 例3. 求函数

练习1、求函数y2x24x(x0,4)的值域。 2.已知x,y0,且xy2,求x1 3. 判别式法

y5的值域

1xx2y1x2的值域。 例4. 求函数

例5. 求函数yxx(2x)的值域。

2x24x7 练习 1、求函数y2的值域。

x2x3 2、求函数yx1

x22x2的值域

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的

部分剔除。

4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 函数f(x)2x1的值域

x1五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）

例y2x3134x

2.求函数的yx2x1值域。

六、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数

转化为为ykf(x)(k为常数)的形式）

x2x 1. y2

xx1 2.函数f(x)2x1的值域

x1

七. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

ex1yxe1的值域。 例7. 求函数

故函 6. 函数单调性法 求 yxx1函数的值域。 八. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 求f(x)xx1的值域

练习1.y2x3134x

2.求函数

yx2 x1的值域。

九. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

22y(x2)(x8) 例16. 求函数的值域。

22yx6x13x4x5的值域。 例17. 求函数

22yx6x13x4x5的值域。 例18. 求函数

练习：求函数y2x13x值域

二次函数求最值

1.求函数f(x)x2x3在k,k2值域 2.求函数f(x)2x22ax3在-1，3最值

2 3.已知函数f(x) 4.f(x)a2x2x3在0,m上值域为2,3，求m的取值范围

x22ax1在1,2上的值域为4，求a的值

2225.f(x)x2(a2)xa,g(x)x2(a2)xa8,H1(x)maxf(x),g(x),H2(x)min{f(x),g(x)}，记H1(x)最小值为A,H2(x)最大值为B则AB