高考普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理(一)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=Cnpk(1－p)nk

球的表面积公式S=4R2，其中R表示球的半径 球的体积公式V=

k－

4R3，其中R表示球的半径 3一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z},又a∈A,b∈B,则有 A.a+b∈A B.a+b∈B C.a+b∈C

D.a+b不属于A，B，C中的任意一个

2.已知f(x)=sin(x+

,g(x)=cos(x－),则f(x)的图象 22A.与g(x)的图象相同

B.与g(x)的图象关于y轴对称

个单位，得到g(x)的图象 2D.向右平移个单位，得到g(x)的图象

2C.向左平移

3.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 A.y=3x

B.y=－3x

C.y=

3x 3 D.y=－

3x 34.函数y=1－

1, 则下列说法正确的是 x1A.y在(－1,+∞)内单调递增 B.y在(－1,+∞)内单调递减 C.y在(1,+∞)内单调递增 D.y在(1,+∞)内单调递减 5.已知直线m,n和平面，那么m∥n的一个必要但非充分条件是 A.m∥,n∥ B.m⊥,n⊥ C.m∥且n D.m,n与成等角

6.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为

样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则

A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是

1 51，③并非如此 51C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此

5D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同 7.曲线y=x3在点P处的切线斜率为k，当k=3时的P点坐标为 A.(－2,－8) B.(－1,－1),(1,1) C.(2,8)

D.(－

11,－) 288.已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是

A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2)

D.［2，+∞)

9.已知lg3,lg(sinx－A.y有最小值

1),lg(1－y)顺次成等差数列，则 2

B.y有最大值1，无最小值 D.y有最小值－1，最大值1

11，无最大值 1211C.y有最小值，最大值1

1210.若OA=a，OB=b，则∠AOB平分线上的向量OM为 A.

ab |a||b|

B.(

ab)，由OM决定 |a||b|C.

ab

|ab| D.

|b|a|a|b

|a||b|11.一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2,则e1+e2的最小值为 A.2 C.22

B.2 D.4

12232n212.式子lim的值为

nC2C2C223nA.0

C.2

B.1 D.3

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

13.从A={a1,a2,a3,a4}到B={b1,b2,b3,b4}的一一映射中，限定a1的象不能是b1，且b4的原象不能是a4的映射有___________个.

14.椭圆5x2－ky2=5的一个焦点是(0，2)，那么k=___________. 15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为___________.

16.已知an是(1+x)n的展开式中x2的系数，则lim(n111)=___________. a2a3an三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=

2，记数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=f(1),当n≥2时，Sn－2x21(n2+5n－2). f(an)2(1)计算a1，a2，a3，a4;

(2)求出数列{an}的通项公式，并给予证明. 18.(本小题满分12分)

已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinC=

sinAsinB.

cosAcosB(1)判断△ABC的形状；

(2)设三边a,b,c成等差数列且S△ABC=6 cm2，求△ABC三边的长. 19.(本小题满分12分)

如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=h，AD=y.

(1)试求y关于h的函数解析式；

(2)当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P—ADQ内切球的半径. 20.(本小题满分12分) 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时.

(1)作图表示满足上述条件x、y的范围；

(2)如果已知所需的经费p=100+3(5－x)+2(8－y)(元)，那么v、w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？

21.(本小题满分12分)

已知f(x)=loga(x+1)，点P是函数y=f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象，当a＞1,x∈［0,1)时，总有2f(x)+g(x)≥m恒成立.

(1)求出g(x)的表达式； (2)求m的取值范围. 22.(本小题满分14分)

直线l:ax－y－1=0与曲线C：x2－2y2=1交于P、Q两点， (1)当实数a为何值时，|PQ|=21a2?

(2)是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.解析：由已知得a是偶数，b是奇数，则a+b是奇数，又b∈B，BC，∴a+b∈B,选B.

答案：B

2.解析：f(x)的图象向右平移

个单位，得sin［(x－)+］=sinx，又g(x)=cos(x－222=cos(－x)=sinx,故选D. 22答案：D

3.解析：设直线为y=kx.

x2y24x30由消去y，得 ykx(1+k2)x2+4x+3=0,

由Δ=16－4×3(1+k2)=0,k=±

3. 33，选C. 3又知切点在第三象限，∴k=答案：C

4.解析：令x－1=X,y－1=Y,则Y=－

1. X1为单调增函数,故选C. x1X∈(0,+∞)是单调增函数，由X=x－1,得x∈(1,+∞)，y=1－

答案：C

5.解析：若m∥n,则m,n与平面成相等的角，反之 ，若m,n与平面成等角，不一定有m∥n,故选D.

答案：D

6.解析：将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是答案：A

7.解析：由y=x3，得y′=3x2.由已知得3x2=3，x=±1. 当x=1时，y=1,当x=－1时，y=－1，

1，故选A. 5故P点的坐标为(1，1)或(－1，－1)，选B. 答案：B

8.解析：由已知loga(2－a·0)＞loga(2－a)，即loga2＞loga(2－a)， 当0＜a＜1时，有22a无解，

2a022a当a＞1时，有，得1＜a＜2,选B.

2a0答案：B

11sinx9.解析：由已知得2lg(sinx－)=lg3+lg(1－y)，且2,

2y112

)=3(1－y) 21(sinx)22, 得y=1－

311当sinx=1时，ymin=，无最大值，选A.

12得(sinx－答案：A 10.答案：B

a2b2x2y211.解析：设双曲线22=1的离心率e1=，

aaba2b2y2x2则共轭双曲线22=1的离心率e2=.

bbaa2b2a2b2e1+e2= ab≥2·

a2b2a2b2 (a=b时取等号)

aba2b2=2·≥2·2 (a=b时取等号).

ab∴e1+e2的最小值为22，选C. 答案：C

1n(n1)(2n1)12.解析：原式=lim6 3nCn11n(n1)(2n1)=lim6=2,选C. n(n1)n(n1)6答案：C

二、填空题(每小题4分，共16分) 13.解析：A4－2A3+A2=14. 答案：14

432y214.解析：由已知得x+=1,k＜0,

5k2

由焦点坐标(0，2)知长轴在y轴上， 得(－

5)－1=4,得k=－1. k2,－1＜q＜0. 1q答案：－1

15.解析：由题意得S=

由q=

S2S2得－1＜＜0,解不等式得1＜S＜2. SS22答案：1＜S＜2

16.解析：由已知得x2的系数为Cn，即an=Cn=∴a2=1,

n(n1), 2112122=1=,,…,,

a2ann(n1)21a33211111111)lim2[(1)()()]

na2a3an223n1n∴lim(n=lim2(1)2.

n1n答案：2

三、解答题(17、18、19、20、21题，每题12分，22题14分，共74分) 17.解：(1)由已知，当n≥2时，f(an)=

2

, 2an

∵Sn－

21(n25n2)， f(an)2∴Sn－

21(n2+5n－2), 222an即Sn+an=

12(n2

+5n+2). 又a1=f(1)=2, 由S12+a2=a1+2a2=2(22

+5×2+2), 得a2=3;

由S13+a3=a1+a2+2a3=2(32

+5×3+2), 解得a3=4;

由S14+a4=a1+a2+a3+2a4=2(42

+5×4+2),解得a4=5. 分

(2)则a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,于是猜想：an=n+1(n∈N). 分

以下用数学归纳法证明： (a)当n=1时命题成立.

(b)设n=k时，ak=k+1(k∈N).

由S1k+1+ak+1=

2［(k+1)2+5(k+1)+2］, a11+a2+…+ak+2ak+1=2(k2+7k+8),

2a1k+1=2(k2+7k+8)－(2+3+…+k+1)

=1k(k3)2(k2+7k+8)－2 =12(k2+7k+8－k2－3k) =2k+4.

ak+1=(k+1)+1,

即当n=k+1时命题也成立.

故由(a)、(b)知对一切n∈N均有an=n+1. 分

2sinABAB18.(1)解法一：sinC=

2cos2 2cosAB2cosAB2=tan

AB2=sin(AB)sinC1cos(AB)1cosC.

∵sinC≠0,∴cosC=0,0°＜C＜180°,

∴C=90°,∴△ABC为直角三角形.

分

解法二：∵cosA+cosB=

sinAsinBsinC,

6

8

6

12

b2c2a2c2a2b2ab∴.

2bc2acc化简整理得：(a+b)(c2－a2－b2)=0,∴a2+b2=c2,

∴△ABC为直角三角形. 分

(2)解：由已知得：a2+b2=c2,a+c=2b,解得：a=3 cm,b=4 cm,c=5 cm. 分

19.解：(1)显然h＞1，连接AQ，

∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD， ∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ, ∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h2.

∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,CQ=h21,

6

1ab=6, 2

12

DQCQ∴,即AQAB∴y=分

(2)y=

hyh22h21. 1

4

h2h1h2h122(h＞1).

=

(h21)1h1≥2,

2

=h21+分

1h12 6

当且仅当h121h12,即h=2时，等号成立.

此时CQ=1,即Q为BC的中点，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角，由已知得AQ=2,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE=分

(3)设三棱锥P－ADQ的内切球半径为r, 则

AE1,∠ADE=30°. AD2 8

1(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)·r=VP－ADQ . 321S△ADQ·PA=,S△PAQ=1,

33∵VP－ADQ=

S△PAD=2,S△QAD=1,S△PDQ=2, ∴r=分

20.解：(1)由题意得：v=分

222. 2222 12

50300,w=,4≤v≤20,30≤w≤100, yx 3

∴3≤x≤10,

525≤y≤.① 226

由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9≤x+y≤14,②

因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界). 分

(2)因为p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－

3的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点2

4

(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元. 12分

21.解：(1)设Q(x,y)P(－x,－y),代入f(x)方程得，g(x)=－loga(－x+1). 分

(2)2f(x)+g(x)≥m恒成立

2loga(x+1)－loga(1－x)≥m恒成立

(x1)2(x1)2≥m恒成立,即m小于等于loga的最小值. loga

1x1x(x1)2(1x)24x令h(x)=

1x1x(1x)24(1x)44(1x)4. =

1x1x分

易证h(x)在x∈［0,1)上单调递增，

8

∴h(x)min=h(0)=1,

(x1)2又∵a＞1,∴loga≥loga1=0,

1x(x1)2即loga的最小值为0，

1x∴m的取值范围是m≤0. 分

12

axy1022.解：(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),2, 2x2y1∴(1－2a2)x2+4ax－3=0. 若1－2a2=0,即a=±

2时，l与C的渐近线平行，l与C只有一个交点，与题意不合， 2∴1－2a2≠0,Δ=(4a)2－4(1－2a2)(－3)＞0, ∴－

66＜a＜. 224axx,12212a (*) xx31212a2∴｜PQ｜=1a2｜x1－x2｜=21a2. ∴(x1－x2)2=4,∴(x1+x2)2－4x1x2=4. ∴(－

4a2(3))－4=4. 2212a12a66,). 22

5

∴a=±1∈(－

∴所求的实数a的值为a=±1. 分

(2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O，则由OP⊥OQ，得y1·y2=－x1·x2.

∴(ax1－1)·(ax2－1)=－x1·x2, ∴(1+a2)x1·x2－a(x1+x2)+1=0. 9分

把(*)式代入得：a2=－2与a为实数矛盾，

∴不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点. 分

14