4949 人教a版数学【选修1-1】作业：1-2充分条件与必要条件(含答案)

§1.2 充分条件与必要条件

课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)

某些命题的条件关系．

1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的____________，q是p的____________．

2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的________________________条件．

一、选择题

1．“x>0”是“x≠0”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．设集合M＝{x|05．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7．用符号“⇒”或“”填空. (1)a>b________ac2>bc2； (2)ab≠0________a≠0.

8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－29．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________． 三、解答题

10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件： (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.

(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；

1

(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．

11.已知P＝{x|a－4能力提升

12．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为

min{x1，x2，…，xn}.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为

abcabc

l＝maxb，c，a·minb，c，a，



则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

13．已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件．

1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断．

2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性；B⇒A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性；B⇒A证明了必要性．

§1.2 充分条件与必要条件 答案

知识梳理

1．充分条件 必要条件

2．p⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计

1．A [对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立． 因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]

2．A [∵q⇒p，∴綈p⇒綈q，反之不一定成立， 因此綈p是綈q的充分不必要条件．]

2

3．B [因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]

4．A [把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]

5．A [l⊥α⇒l⊥m且l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.]

1

6．B [当a<0时，由韦达定理知x1x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符

a

合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有

1

一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一

2

个负数根”的充分不必要条件．]

7．(1)  (2)⇒ 8．a>2

解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2－a，即a>2.

9．b≥－2a

b

解析 由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在

2a

[1，＋∞)上单调递增．

10．解 (1)∵|x|＝|y|x＝y， 但x＝y⇒|x|＝|y|，

∴p是q的必要条件，但不是充分条件．

(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形． △ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形． ∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． (3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形． 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分． ∴p是q的必要条件，但不是充分条件． 11．解 由题意知，Q＝{x|1∴实数a的取值范围是[－1,5]．

12．A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，

abcabc

∴l＝maxb，c，a·minb，c，a＝1×1＝1.



∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．

abcc

∵a≤b≤c，∴maxb，c，a＝.

aabca

又∵l＝1，∴minb，c，a＝，

c

aaba即＝或＝， bccc

得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形． ∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．] 13．解 当{an}是等差数列时，∵Sn＝(n＋1)2＋c， ∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c， ∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1， ∴an＋1－an＝2为常数． 又a1＝S1＝4＋c，

3

∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，

∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2. ∴c＝－1，反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n， 可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，

∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.

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