四年级数学思维训练（三）
等差数列
姓名（
）
?
四（ ）班
同学们 ,在前面我们学会了找数列的规律 (1)1 、 2、3、 4、 5、 6、 7、8、 ,, (2)1 、 3、5、 7、 9、 11、 13、 ,, (3)1 、 4、7、 10、13、 16、 ,, (4)11、 21、 31、 41、51、 ,,
.你还记得这些数列吗
这些数列如果我们用求差法来找规律，就会发现在每一组数列中相邻两个数的差都是相等的。我 们把这种相邻两个数差都相等的数列，简称为“等差数列” 练习 1：判断下列数列是否是等差数列？
(1).1 、 2、 3、 4、7、 8、 9、 10、 12、13、 14、15、 ⋯ 100； (2).5 、 8、 11、 14、 ⋯95；
。
（ （ （ （
） ） ） ）
(3).4 、 10、 16、 22、 28、⋯ 64； (4).2 、 4、 8、 16、32、 ⋯ 2048； 下面我们就从“高斯求和”学起吧！
大数学家高斯上小学时，老师给大家出了这样一道题： 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 6＋ ,, ＋ 98＋99＋ 100=？ 正当大家忙着把这 100 个数一个一个加起来时， 窍呢？
高斯却很快报出了正确答案
5050。高斯有什么决
原来他拿到这道题之后， 没有马上就动笔计算， 101，所以得 5050 。
即： 1＋ 2＋3＋ 4＋ 5＋ 6＋,, ＋
而是先通过仔细观察， 发现这 100 个加数中，（ 1，
101，一共有 50 个
100）、（ 2，99）、（ 3， 98）、 ,, 、 （ 49，52）、（ 50， 51），每两个数的和都是
98＋ 99＋100
=（ 1＋ 100）×（ 100÷ 2） = 101× 50 = 5050
在这一道题中的加数形成了一个等差数列， 1 是这个数列的第一项，我们通常称为 从首项到尾项一共有
首项 ；
100 是这个数列中的最后一项，我们通常称它为 如果从 11＋ 12＋ 13＋,, ＋
末项 ；
项数是 100。
9。
100 个数相加，我们称这个数列的
19，一共有 9 个加数相加，则项数就是
2
这样我们就可以根据上面的计算得到等差数列求和的方法： 等差数列的和 =（首项＋末项）×项数÷ 差 .
我们都知道在等差数列中，每相邻两个数的差都相等，我们把一个等差数列中相等的这个差叫
公
练习 2：写出练习 1 中的等差数列的公差。
49＋ 50=？
例 1：计算 1＋ 2＋ 3＋ 4＋,, ＋
分析：这是一个自然数列， 也是一个等差数列， 它的首项是（
所以可以通过等差数列求和公式计算。
），末项是（
），项数是（
），
解： 1＋ 2＋3＋ 4＋,, ＋
= = = =
49＋ 50
例 2：计算 11＋12＋ 13＋,, 49＋ 50=？ 分析：这还是一个等差数列，它的首项是（ 共只有（
= = = =
练习 3 :(1) 计算 1＋ 2＋3＋,, ＋
80＝
(2)计算 30＋ 31＋ 32＋,,
80=
），末项是（
）。
），项数是（
比例 1 少了（
）？
（还是 50 吗？）仔细观察这一题和上一题，我们会发现例2
）个加数，例 2 一
）个加数，所以项数是（
49＋ 50
解： 11＋ 12＋ 13＋,, ＋
(3) 计算 101+102+103+ ⋯ +198+199=
(4)计算所有两位数的和是多少？
综合练习 1：
(1)11+12+13+14+ ⋯ +18+19 ；
(2)101+102+103+ ⋯+109+110 ；
(3) 有 20 个数 ,第 1 个数是 9,以后每个数都比前一个数大
3。这 20 个数的和是多少？
(4) 一堆圆木共 15 层，第 1 层有 8 根，下面每层比上层多
1 根。这堆圆木共多少根？
*(5) 计算： 2+4+6+ ,,
+98+100 ；
*(6) 有一串数，第 1 个数是 5，以后每个数比前一个数大 5，最后一个数是 90。这串数的和是多少？
例 3 计算（ 2+4+6+ , +100 ）－（ 1+3+5+ , +99 ）
练习 4：用简便方法计算下面各题。
（ 1）（ 2001+1999+1997+1995 ）－（ 2000+1998+1996+1994 ）
（ 2）（ 2+4+6+ , +2000）－（ 1+3+5+ , +1999 ） （3）（ 1+3+5+ , +1999）－（ 2+4+6+ , +1998）
例 4 有一个数列： 4，10， 16，22., ， 52.这个数列共有多少项？
练习 5：
1.等差数列中，首项 =1.末项 =39，公差 =2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列： 2， 5， 8，11., ， 101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列 11， 16， 21， 26， , ， 1001.这个等差数列共有多少项？
例 5 有一等差数列： 3， 7， 11， 15，,, ，这个等差数列的第 100 项是多少？
练习 6：
1.一等差数列，首项 =3.公差 =2.项数 =10，它的末项是多少？
2.求 1， 4，7， 10,, 这个等差数列的第 30 项。
3.求等差数列 2， 6，10， 14,, 的第 100 项。
综合练习 2：
1、有一个数列： 4、7、 10、13、 , 、 25，这个数列共有多少项？
2、有一个数列 :2,6,10,14,, ,106,这个数列共有多少项 ?
3、有一个数列 :5,8,11,, ,92,95,98,这个数列共有多少项 ?
4、有一等差数列： 2， 7,12,17， , ，这个等差数列的第 100 项是多少？
5、在等差数列中 ,首项 =1,末项 =57,公差 =2, 这个等差数列共有多少项 ?
6、求 1,5,9,13,, ,这个等差数列的第 30 项。 7、求等差数列 2,5,8,11,, 的第 100 项。
8、一等差数列 ,首项 =7,公差 =3,项数 =15,它的末项是多少 ?
9、计算 2+4+6+8+ , +1990 的和。 10、计算 5+10+15+20+ ? +190+195+200 的和。
提高练习：
1、计算（ 1+3+5+, +l99l)- （ 2+4+6+ , +1990） 2、计算 (1+3+5+7+ , +2003)-(2+4+6+8+ , +2002)
3、已知一列数： 2,5,8,11,14， , ， 80， , ，求 80 是这列数中第几个数。
4、有一列数是这样排列的 :3,11,19,27,35,43,51, , ,求第 12 个数是多少。
5、有一列数是这样排列的 :2,11,20,29,38,47,56, , ,求 785 是第几个数。
6、在等差数列 6,13,20,27, , 中 ,从左到右数第几个数是 1994?
7、建筑工地上堆着一些钢管 ( 如图所示 ), 求这堆钢管一共有多少根。
8、用 3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形 , 用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等
边三角形 , 如果这个大的等边三角形的底边能放 10根火柴棒 , 那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒 ?
9、用相同的小立方体摆成如图所示的形状 , 如果共摆成 10层 , 那么最下面有多少个小立方体 ?
10、 50把锁的钥匙搞乱了 , 为了使每把锁都配上自己的钥匙 , 至多要试多少次 ?
12. 一辆公共汽车有 66个座位 , 空车出发后 , 第一站上一位乘客 , 第二站上两位乘客 , 第三站上三位乘客 ,
依次类推 , 第几站后 , 车上坐满乘客 ?
13. 四（ 1）班 45位同学举行一次同学联欢会， 同学们在一起一一握手， 且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？
附：等差数列的总和 =（首项 +末项）
项数 2
项数 =（末项 -首项）
公差 +1
末项 =首项 +公差 （项数 -1） 公差 =（末项 -首项） （项数 -1）
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