黑龙江省哈尔滨市第三中学2016年高三第一次高考模拟考试数学理试题

数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间

120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔

书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，

在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．)

1. 某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否

存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是 A．抽签法

B．随机数法

C．系统抽样法 D．分层抽样法

2. 已知m,nR，集合A2,log7m，集合Bm,n，若AB0，则mn A．1 B．2 C．4 D．8

3. 1 若a(1,2)，b33m,1，若ab，则2m

5022311 A． B． C．2 D. 2

224. 已知P(B|A)= A．

13, P(A) =, 则P(AB) =

510 B．

C．

D．

- 1 -

5． 已知数列{bn}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=

C．2 D．4

6. 一个锥体的正视图和左视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是

1 1 1 1 1 1 1 A．16 B．8

1 1 正视图

左视图 1 1 1

1 A． B． C． D. 7. 如果函数y2sin(2x)的图像关于点 A．

4，0中心对称，那么||的最小值为 3 B． C． D． 6432

x2y28. 设点P为双曲线221(a0,b0)上一点，F1，F2分别是左右焦点，I是

ab

PF1F2的内心，若IPF1,IPF2,IF1F2的面积S1，S2，S3满足2(S1S2)S3，

则双曲线的离心率为

A. 2 B.

9. 已知x1,x2（x1x2）是函数f(x)lnx b(1,x2)，则

- 2 -

3 C. 4 D. 2

1的两个零点，若a(x1,1)， x1 A．f(a)0，f(b)0 B．f(a)0，f(b)0

C．f(a)0，f(b)0 D．f(a)0，f(b)0 10. 已知函数f(x)3log2x,x0，则不等式f(x)5的解集为 22x3x,x0 A. 1,1 B. ,10,1 C. 1,4 D. ,10,4

11. 直线l与抛物线C:y22x交于A,B两点，O为坐标原点，若直线OA,OB的斜率k1，

k2满足k1k22，则l一定过点 3A. (3,0) B. (3,0) C. (1,3) D. (2,0)

12. 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，在正方体表面上与点A距离是2的点形成一 条封闭的曲线，这条曲线的长度是

A．

B．

3 2 5 2 C．3 D.

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13. 如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有380粒落

到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 ．

14．(2x

15. 下列命题：①已知m,n表示两条不同的直线，,表示两个不同的平面，并且

1x)8的二项展开式中，各项系数和为 .

m,n，则“”是“m//n”的必要不充分条件； ②不存在x(0,1)，使不

- 3 -

等式成立log2xlog3x； ③“若am2bm2，则ab”的逆命题为真命题；

④R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数. 正确的命题序号是 ．

16. 在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，M为AB边上一点，

cCACB CMMP(R)且MP，又已知CM，

2CAcosACBcosB22 ab22ab，则角C ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）

数列{an}满足a11，an13an2n．

(Ⅰ)求证数列an2n是等比数列； (Ⅱ)证明：对一切正整数n，有

18.（本小题满分12分）

一个盒子里装有大小均匀的8个小球,, 其中有红色球4个, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色球4

个, 编号分别为2, 3, 4,5. 从盒子中任取4个小球 (假设取到任何一个小球的可能性相同).

- 4 -

1113． a1a2an2 (Ⅰ) 求取出的4个小球中, 含有编号为4的小球的概率.

(Ⅱ) 在取出的4个小球中, 小球编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列.

19．（本小题满分12分）

边长为4的菱形ABCD中，满足DCB60，点E，F分别是边CD和CB的中点， AC交BD于点H ，AC交EF于点O，沿EF将CEF翻折到PEF的位置,使平面

PEF平面ABD,连接PA，PB，PD，得到如图所示的五棱锥PABFED.

(Ⅰ) 求证：BDPA；

(Ⅱ) 求二面角BAPO的正切值．

- 5 -

P

DA

B

HE

O C

F

20.（本小题满分12分）

x2y2 已知椭圆C:221(ab0)的焦距为4，设右焦点为F，过原点O的直线l与

ab椭圆C交于A,B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且OMON (Ⅰ) 求弦AB的长；

(Ⅱ) 若直线l的斜率为k, 且k

21.（本小题满分12分）

1. 46, 求椭圆C的长轴长的取值范围. 2x2已知函数f(x)eax1，xR．

2x（Ⅰ）若a

1

，求函数f(x)的单调区间； 2

（Ⅱ）若对任意x0都有f(x)0恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）设函数F(x)f(x)f(x)2x，求证： F(1)F(2)F(n)(e

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）

如图, A,B是⊙O上的两点，P为⊙O外一点，连结PA,PB分别交⊙O于点C,D，且

n122)（nN）．

n2AB=AD，连结BC并延长至E，使∠PEB=∠PAB.

(Ⅰ) 求证：PE=PD;

(Ⅱ) 若AB=EP=1，且∠BAD=120°，求AP. - 6 - E C A

P D B . O

23.（本小题满分10分）

x2在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y1 中，圆C的方程为4cos． (Ⅰ) 求圆C的直角坐标方程；

2t2（t为参数）．在极坐标系 （与2t2直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）

(Ⅱ) 设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|．

24.（本小题满分10分）

关于x的不等式2xm1的整数解有且仅有一个值为3 (m为整数) . （Ⅰ）求整数m的值;

444222 （Ⅱ）已知a,b,cR,若4a4b4cm, 求abc的最大值.

一模理科数学答案

选择题

DABDD CCACC AD 填空题 13.

19 14 . 1 15. ① 16. 504n三．解答题

17.(1)由an13an2有, an12所以an2n13(an2n),又a123,

n是以3位首相,3为公比的等比数列…………………..5分

nn(2)由(1)知an32, ……………………………………..6分 又3n2n2n(n2), ……………………………………9分 故

- 7 -

11111111131321a1a2an132223n2n22232n22 ……………………………….12分 18.（1）

n

11 …………………………14….4分

（2）X的可取值为

3,4,5 ……………………..5分

1C32C25P(X3)44 ……………………………………………………..7分

C8C870132C2C5C2C5230 P(X4) ………………………………………………...9分 4470C8C83C735P(X5)4 ……………………………………………….11分

C870X的分布列为

X P 3 4 5

…………………12分 19.(1)

因为平面

1 143 71 2PEF平面ABD,平面PEF平面ABDEF,POPEF,POABD

则POBD,又AOBD,AOPOO,AOAPO,POAPO,BDAPO

APAPO,BDPA ………………………………….6分

（2）以O为原点,

OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立坐标系,则

O(0,0,0),A(33,0,0),P(0,0,3),B(3,2,0), ……………………………8分  设n(x,y,z)为平面OAP的一个法向量，则n(0,1,0),m(x,y,z)为平面ABP的一个法向量，则m(1,3,3) …….10分 mn330cos,tan …………………………..12分

mn31320.（1）设A(x0,y0),则B(x0,y0),M(x02y02x0y0,),N(,) …………….2分 2222121222OMON1(x0y0),则x0y05, …………………….4分

44

- 8 -

所以AB的长为25 ……………………………5分

x2y2 （2）设l方程为ykx,和椭圆方程221联立消元整理得

aa4x02a2(a24)a2(a24)k222,y02, …………………7分 2222aak4aak42020a2(a24)(1k2)(a25)(a24)325,k ………….10分 又xy5,则

2a2a2k24a2(9a2)则8a29,22a3,长轴长范围是42,6 …………………….12分 21. (1) 解: f(x)exx1,令g(x)f(x),则g(x)ex1, 2则当x(,0)时, g(x)0,f(x)单调递减,当x(0,)时, g(x)0,f(x)单调递增.

所以有f(x)f(0)10,所以f(x)在－，上递增 …………………4分 2(2) 当x0时,f(x)exxa,令g(x)f(x),则g(x)ex10,则f(x)单调递增,f(x)f(0)1a

上递增,f(x)f(0)0成立; 当a1即f(x)f(0)1a0时, f(x)在0，当a1时,存在x0(0,),使f(x0)0,则f(x)在0，x0上递减,则当x(0,a)时,

f(x)f(0)0,不合题意.综上a1 ………………………….8分

(3）F(x)exex，

F(x1)F(x2)exxe(xx)exxexxexxe(xx)2exx212121212121212F(1)F(n)en12， F(2)F(n1)en12

……

F(n)F(1)en12．

由此得，

[F(1)F(2)F(n)]2[F(1)F(n)][F(2)F(n1)][F(n)F(1)](en12)n

故F(1)F(2)F(n)(e22. （1）连结DC，

因为PCEACBADB,

E C A

n1． ……………………….12分 2)（nN）

n2PCDABD, 又因为ABAD, - 9 - P D B . O 所以 ABDADB, 所以PCEPCD.·················3分 由已知PEBPAB, PDCPAB, 所以PECPDC, 且PCPC,

所以PECPDC, 所以PEPD.················5分 (2) 因为ACBPBA, BACPAB 所以ABC∽APB, 则AB2APACAP(APPC),

所以AP2AB2APPCPDPBPD(PDBD)

22又因为PDAB, AB1, 所以AP2ABABBD···········8分 3,·

所以AP223. 所以 AP226.················10分

22(x2)y4 ……………….3分 23. (1)求圆C的直角坐标方程

x2 （2）设点A、B对应的参数分别为t1,t2,将y122t2代入(x2)2y24整理得2t2t1t22, …………………..5分 t2t30,则t1t23又|PA|＋|PB|=t1t2t1t2(t1t2)4t1t214 ……………………..10分 24.（1）由2xm1有

2m1m1x, ……………………….2分 22m1232,即5m7,又关于x的不等式2xm1的整数解有且仅有一个值为3,则m1342m为整数,则m6 ……………………..5分

444（2）由4a44b44c46有abc3, 2222由柯西不等式有abc1221212(a2)2(b2)2(c2)29 2当且仅当abc41时,等号成立, ……………..8分 2所以a2b2c2的最大值为

32 …………………10分 2- 10 -