四年级数学思维训练(三)等差数列

四（ ）班 姓名（ ）

同学们,在前面我们学会了找数列的规律.你还记得这些数列吗? (1)1、2、3、4、5、6、7、8、„„ (2)1、3、5、7、9、11、13、„„ (3)1、4、7、10、13、16、„„ (4)11、21、31、41、51、„„

这些数列如果我们用求差法来找规律，就会发现在每一组数列中相邻两个数的差都是相等的。我们把这种相邻两个数差都相等的数列，简称为“等差数列”。 练习1：判断下列数列是否是等差数列？

(1).1、2、3、4、7、8、9、10、12、13、14、15、…100； （ ） (2).5、8、11、14、…95； （ ） (3).4、10、16、22、28、…； （ ） (4).2、4、8、16、32、…2048； （ ） 下面我们就从“高斯求和”学起吧！

大数学家高斯上小学时，老师给大家出了这样一道题： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋„„＋98＋99＋100=？ 正当大家忙着把这100个数一个一个加起来时，高斯却很快报出了正确答案5050。高斯有什么决窍呢？

原来他拿到这道题之后，没有马上就动笔计算，而是先通过仔细观察，发现这100个加数中，（1，100）、（2，99）、（3，98）、„„、（49，52）、（50，51），每两个数的和都是101，一共有50个101，所以得5050。

即：1＋2＋3＋4＋5＋6＋„„＋98＋99＋100 =（1＋100）×（100÷2） = 101×50 = 5050

在这一道题中的加数形成了一个等差数列， 1是这个数列的第一项，我们通常称为首项；

100是这个数列中的最后一项，我们通常称它为末项；

从首项到尾项一共有100个数相加，我们称这个数列的项数是100。 如果从11＋12＋13＋„„＋19，一共有9个加数相加，则项数就是9。 这样我们就可以根据上面的计算得到等差数列求和的方法： 等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2

我们都知道在等差数列中，每相邻两个数的差都相等，我们把一个等差数列中相等的这个差叫公差.

练习2：写出练习1中的等差数列的公差。

例1：计算1＋2＋3＋4＋„„＋49＋50=？ 分析：这是一个自然数列，也是一个等差数列，它的首项是（ ），末项是（ ），项数是（ ），所以可以通过等差数列求和公式计算。

解：1＋2＋3＋4＋„„＋49＋50 = = = =

例2：计算11＋12＋13＋„„49＋50=？

分析：这还是一个等差数列，它的首项是（ ），末项是（ ），项数是（ ）？

（还是50吗？）仔细观察这一题和上一题，我们会发现例2比例1少了（ ）个加数，例2一共只有（ ）个加数，所以项数是（ ）。 解：11＋12＋13＋„„＋49＋50 = = = =

练习3 :(1)计算1＋2＋3＋„„＋80＝ (2)计算30＋31＋32＋„„80=

(3)计算101+102+103+…+198+199= (4)计算所有两位数的和是多少？

综合练习1：

(1)11+12+13+14+…+18+19； (2)101+102+103+…+109+110；

(3)有20个数,第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3。这20个数的和是多少？

(4)一堆圆木共15层，第1层有8根，下面每层比上层多1根。这堆圆木共多少根？

*(5)计算：2+4+6+ „„+98+100；

*(6)有一串数，第1个数是5，以后每个数比前一个数大5，最后一个数是90。这串数的和是多少？

例3 计算（2+4+6+„+100）－（1+3+5+„+99）

练习4：用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）

（2）（2+4+6+„+2000）－（1+3+5+„+1999） （3）（1+3+5+„+1999）－（2+4+6+„+1998）

例4 有一个数列：4，10，16，22.„，52.这个数列共有多少项？

练习5：

1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？

2.有一个等差数列：2，5，8，11.„，101.这个等差数列共有多少项？

3.已知等差数列11，16，21，26，„，1001.这个等差数列共有多少项？

例5 有一等差数列：3，7，11，15，„„，这个等差数列的第100项是多少？

练习6：

1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？

2.求1，4，7，10„„这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2，6，10，14„„的第100项。

综合练习2：

1、有一个数列：4、7、10、13、„、25，这个数列共有多少项？

2、有一个数列:2,6,10,14,„,106,这个数列共有多少项?

3、有一个数列:5,8,11,„,92,95,98,这个数列共有多少项?

4、有一等差数列：2，7,12,17，„，这个等差数列的第100项是多少？

5、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?

6、求1,5,9,13,„,这个等差数列的第30项。 7、求等差数列2,5,8,11,„的第100项。

8、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?

9、计算2+4+6+8+„+1990的和。 10、计算5+10+15+20+⋯ +190+195+200的和。

提高练习：

1、计算（1+3+5+„+l99l)-（2+4+6+„+1990）2、计算(1+3+5+7+„+2003)-(2+4+6+8+„+2002)

3、已知一列数：2,5,8,11,14，„，80，„，求80是这列数中第几个数。

4、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,„,求第12个数是多少。

5、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,„,求785是第几个数。

6、在等差数列6,13,20,27,„中,从左到右数第几个数是1994?

7、建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

8、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?

9、用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体?

10、50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?

12.一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?

13.四（1）班45位同学举行一次同欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？

附：等差数列的总和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1

末项=首项+公差（项数-1） 公差=（末项-首项）（项数-1）