2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三第三次模拟数学(文)试题

数学试卷（文史类）

本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项:

1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1． 设集合A{x|2x8}，集合B{x|ylgx1}，则AUB

A．1,3

B．1,3

C．1,

D．3,

2． 在复平面内，复数

A．第一象限 象限

i对应点位于 12i

C． 第三象限

D．第四

B． 第二象限

3． 下列函数中，既是偶函数，又在,0上单调递增的是

xA．fxx2 B．fx2 C．fxlog21 D．fx2x x1214． 数列是等差数列，且a11，a3，那么a5

3an1A．

33 B． 55C．5 D．5

5． 函数f(x)xex在x1处的切线方程是

A．2exye0 B．2exy3e0 C． 2exye0

D．2exy3e0

上随机取一个数k，则直线ykx4与圆x2y24有两个不同公共点的概率为 23,236． 在区间

- 1 -

1A．

3B．3 6C．

1 4D．

1 27．有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是

y • E(10,12)

A．残差平方和变小 • D(3,10)

B．相关系数r变小 C．相关指数R2变小

• C(4,5)

• B(2,4) • A(1,3)

O x

D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱

8． “克拉茨猜想” 又称“ 3n1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公

布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m经过5次运算后得到1，则m的值为

A．32或5 B．32或5或4 C．16

9． 某程序框图如图所示，若输入的a、b分别为5、3，则输出的n

D．16或2 开始 输入a,b

A．2 B．3

C．4

D．5

n1 aaa 2nn1 否 x2y210． 已知F1、F2分别是双曲线C:221(a0,b0)的左右焦点，P为 abb2b ab? 输出n 结束 是 uuuruuuuruuuury 轴上一点，Q 为左支上一点，若(OPOF2)gPF20且PF2Q周长最 小值为实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为 A．2

B．3 C．2

D．22

11． 已知数列an，ann2sin，则数列an的前100项和为

n2A．5000 B． 5000 C． 5050 D．5050

uuuruuuruuurAQ12． 已知ABC中，长为2的线段为BC边上的高，满足：ABsinBACsinCAQ，且

uuur1uuurAHAC，则BH

2 - 2 -

y 2 O 2 5π1211π 12x A．

47 7 B．47

C．

43 3D．27 二、 填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 若sin2，则 sin2 ． 4514． 已知aR，命题“存在xR，使x2ax3a0”为假命题，则a的取值范围

为 ．

15． 直线l过抛物线C:y22px(p0)的焦点F，交抛物线C于点A（点A在x轴上方），过点A作直线xp的垂线，垂足为M，若垂足M恰好在线段AF的垂直平分线上，则直线l的斜率2为 ．

16． 在三棱锥SABC中， AB2,BC2,AC22,SB2，则三棱锥SABCSB面ABC，

的外接球半径为 ，三棱锥SABC的内切球半径为 ．

三、 解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一) 必考题：共60分．

17． 函数fxAsinxA0，0，（1） 求函数f(x)的解析式；

π2π的部分图象如图所示． 2（2） 若f(x)326 ，且x，求cos2x．

243

P 18． 如图，三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形， PA2，PA 底面ABC，

点E,F分别为AC，PC的中点．

（1） 求证：平面BEF平面PAC；

G F - 3 -

A B

E C

（2） 在线段PB上是否存在点G，使得三棱锥BAEG体积为3？ 6若存在，确定点G的位置； 若不存在，请说明理由．

19． 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某

中学高三某班6名学生每周课下钻研数学时间x（单位：小时）与高三下学期期中考试数学解答题得分y，数据如下表：

x 2 30 4 38 6 44 8 48 10 50 12 y （1） 根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分y与该学生课下钻研数学时间x的线性回归方程，

并预测某学生每周课下钻研数学时间为7小时其数学考试中的解答题得分；

（2） 从这6人中任选2人，求这2人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8小时的概率.

ˆˆaˆbxˆ，其中b参考公式：yxxyyxynxyiiiii1nnxxii1n2i1nxi12inx2ˆ ˆybx，a参考数据：

xyii16i2008，xi23，y44

i16

fx）=lnx20． 函数（2(x1) x1fx） （1） 求证：函数（在(0,)上单调递增；

（2） 若m,n为两个不等的正数，求证

lnmlnn2．

mnmnx2y2221． 已知椭圆C:2+21(ab0)的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的

ab2圆C1过点1,0．

（1） 求椭圆C的标准方程；

（2） 若过点M2,0的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，且与圆C1没有公共点，设G为椭

- 4 -

uuuruuuruuur圆C上一点，满足(OAOB)tOG（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22． 选修4-4：坐标系与参数方程

2tx12 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为

y2t2极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=4cos，直线l与曲线C交于A、B两点．

（1） 写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2） 若P(1,0)，求

11的值． APBP

23． 选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)xax1和函数gx21.

x（1） 当a2时，求关于x的不等式f(x)1的解集；

（2） 若对任意x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围．

- 5 -

2020年高三学年模拟考试

数学试卷（文史类）参

一、选择题：

1 C 二、填空题：

2 B 3 D 4 B 5 A 6 D 7 A 8 A 9 A 10 C 11 B 12 D 13. 171042； 14. 12,0； 15. 3 ； 16. ，. 2527三、解答题：

17. （1）由图像可知A2,2 ……….3分

5,2fx2sin2x 代入点，得 ………6分

312（2） 由题意知

272x ………8分 336 cos2xcos2x333236 ………12分

18. （1）因为PA底面ABC，BE底面ABC所以PABE， ……….2分

又因为BEAC，PAIACA

所以BE平面PAC, …….. 4分 因为BE平面BEF，所以平面BEF 平面 PAC ………… 5分 （2）过G作GHAB

- 6 -

QPA面ABC，面PAB面ABC

又Q面PAB面ABC=AB，GH面ABC ………… 7分

QVBAEGVGABE313，GHSABE

366 且SABE3， ………… 9分 2 GH1， ………… 11分 G为PB中点 ………… 12分

19.（1）

ˆbxxyyxynxyiiiii1nnx7

………… 1分

xxii1n2i1nxi2nxi1216 ………… 4分 7

$ay$bx28

ˆy16x28 …………5分 7ˆ44 …………6分 当x7时，y

（2）设“这2人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于8小时为事件A” ………7分

- 7 -

所有基本事件如下：

（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（4，6），（4，8），（4，10）， （4，12）， （6，8），（6，10），（6，12），（8，10），（8，12），（10，12） 共15个基本事件 …………… 9分

事件A包含（2，8），（2，10），（2，12），（4，8），（4，10），（4，12），（6，8），（6，10）

（6，12），（8，10），（8，12），（10，12）共12个基本事件 ………… 11分

所以P(A)124 ………… 12分 155

20. （1）

14(x1)2x）=f（0………………………………………………………3分

x(x1)2x(x1)2 （fx）在(0,)上单调递增 ……………………………………………………….5分

（2）不妨设mn

m2（1）1m2（mn）1mlnmlnn2n-=ln-m ln-mnm-nnmnmnm-nn1n令

m2（t-1）t1，设h(t)lnt-， ……………………………….7分

n1t- 8 -

h(t)f(t)由（1）知在(0,)上单调递增，h(1)0,t1h(t)0，…………….10分

又mn，

21．（1）依题意：b1,a2 …………….2分

lnmlnn2， …………………………………12分

mnmnx2所以椭圆方程为y21. ………………..4分

2（2）由题意直线AB斜率不为0，设直线AB：xny2

xny2222得(2n)y4ny20.由8n2160得 n22， x2y12设A(x1,y1),B(x2,y2)，

由韦达定理y1y2

4n2,yy. ……………6分 122n22n2uuuruuuruuur因为OAOBtOG，所以G(84n,)

t(2n2)t(2n2)216n21622t因为点G在椭圆上2得 …………8分

t(2n2)2t2(2n2)2n22直线与圆没有公共点，则21n21，所以2n23 ………….10分

t(2,45)(,2). ………….12分 5522. （1）直线的直角方程为xy10， ……….2分

2曲线的直角坐标方程C:x2y4 ……….4分

2 - 9 -

2x1t2（2）直线的参数方程可化为t为参数 ……….6分

y2t2 代入曲线可得t22t30 ……….8分

t1t21114 所以 ……….10分 APBPt1t23

23. （1）a2时，

当x2时，f(x)31，x无解； ……………1分 当2x1时，f(x)2x11，1x1； ……………2分 当x1时，f(x)31恒成立，x1； ……………3分 综上，f(x)1的解集为xx1. ……………5分

（2）f(x)xax1xax1a1， ……………6分 g(x)21,1， ……………7分

x 由题意知，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，即a11， ……………9分 实数a的取值范围为2a0. ……………10 分

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