安徽省安庆第二中学2024学年数学高三上期末学业水平测试试题含解析

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

n52a a1．已知数列n满足：nnN*)若正整数kk5使得a12a22ak2a1a2ak成

a1a2an11,n6立，则k（ ） A．16

B．17

C．18

D．19

n2．数列an的通项公式为anncnNA．必要而不充分

B．充要

．则“c2”是“a为递增数列”的（ ）条件．

D．即不充分也不必要

C．充分而不必要

3．已知函数f(x)|cosx|sinx，则下列结论中正确的是 ①函数f(x)的最小正周期为； ②函数f(x)的图象是轴对称图形； ③函数f(x)的极大值为2； ④函数f(x)的最小值为1． A．①③ C．②③

B．②④ D．②③④

4．设a，b是非零向量，若对于任意的R，都有abab成立，则 A．a//b 5．函数f(x)B．ab

C．aba

D．abb

21cosx图象的大致形状是（ ） x1eA． B．

C． D．

6．已知函数fxxa2，gxlnx4a2，若存在实数x0，使fx0gx05成立，则正数a的取值

xx范围为（ ）

，A．01 4 B．0，， C．1D．0,ln2 7．已知函数f(x)cos(2x3)，则下列结论错误的是( )

A．函数fx的最小正周期为π

fxB．函数的图象关于点,0对称

12C．函数fx在2,33上单调递增 12D．函数fx的图象可由ysin2x的图象向左平移8．若A．

，则B．

（ ）

C．

个单位长度得到

D．

9． “cos21”是“k，kZ”的（ ） 23B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

A．充分不必要条件 C．充要条件

x10．已知fx为定义在R上的偶函数，当x1,0时，fx34，则33flog3（ ）

2A．2

B．3 C．3 D．2

11．已知集合A1,3,5,7，B2,3,4,5，则AA．3

B．5

B

D．1,2,3,4,5,7

C．3,5

12．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ） A．5

B．22 C．23 D．33 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数f(x)ae与g(x)x1的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为______.

x14．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设x,y分别为人数、猪价，则x___，y___. 15．已知向量a与b的夹角为16．已知正方体

，|a|＝|b|＝1，且a⊥（aλb），则实数_____. 3棱长为2，点是上底面

内一动点，若三棱锥

的外接球表面积恰为

，

则此时点构成的图形面积为________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列an满足a11,an2an12n1n2，数列bn满足bnan2n3. （Ⅰ）求证数列bn是等比数列； （Ⅱ）求数列an的前n项和Sn.

18．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐

x224的直线l的参数方程为标方程为sin2acos(a0)，过点P2，y4线C交于M、N两点。

（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程： （2）若|P M|,|M N|,|P N|成等比数列，求a的值。

19．（12分）等差数列an的前n项和为Sn，已知a3a6＝20，S5＝35． （1）求数列an的通项公式；

2t2（为参数），直线l与曲2t219}的前n项和为Tn，求使Tn＞（2）设数列{成立的n的最小值．

Snn2203x1t520．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴

y14t5为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为222,，点的极坐标为P. 241sin（1）求C的直角坐标方程和P的直角坐标；

（2）设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求PM.

21．（12分）如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PAAB4，NC2，M是线段PA上一动点.

（1）当MO平面EFN，求AM:MP的值； （2）当M是PA中点时，求四面体MEFN的体积. 22．（10分）已知倾斜角为

2的直线经过抛物线C:x2py(p0)的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点，且4|AB|8.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点），过P做倾斜角互补的两条直线l1、l2，交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为，直线CD的倾斜角为，求证：与互补.

参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【解题分析】

222222计算a6a7...anan1a6n5，故a1a2...akak1k16ak11，解得答案.

【题目详解】

当n6时，an1a1a2222an1an1an1an1，即an2an1an1，且a631.

故a6a7...ana7a6a8a7...an1ann5an1a6n5，

a12a22...ak2ak1k16ak11，故k17.

故选：B. 【题目点拨】

本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用. 2、A 【解题分析】

根据递增数列的特点可知an1an0，解得cn定结果. 【题目详解】

若“an是递增数列”，则an1ann1cnc0， 即n1cnc，化简得：cn又nN，n则c22231，由此得到若an是递增数列，则c，根据推出关系可确

221， 2133，c， 222an是递增数列，an是递增数列c2，

“c2”是“an为递增数列”的必要不充分条件．

故选：A. 【题目点拨】

本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题. 3、D 【解题分析】

因为f(xπ)|cos(xπ)|sin(xπ)|cosx|sinxf(x)，所以①不正确； f(x)|cos(x)|sin(x)|sinx|cosx， 因为f(x)|cosx|sinx，所以 222f(x)|cos(x)|sin(x)|sinx|cosx，所以 f(x)f(x)， 22222所以函数f(x)的图象是轴对称图形，②正确；

易知函数f(x)的最小正周期为2，因为函数f(x)的图象关于直线x

2

对称，所以只需研究函数f(x)在[322,]上

的极大值与最小值即可．当

2x35时，f(x)cosxsinx2sin(x)，且x，令x，得

4444422x33，可知函数f(x)在x处取得极大值为2，③正确； 445x，所以12sin(x)2，所以函数f(x)的最小值为1，④正确． 4444因为

故选D． 4、D 【解题分析】

画出a，b，根据向量的加减法，分别画出(ab)的几种情况，由数形结合可得结果. 【题目详解】

由题意，得向量(ab)是所有向量(ab)中模长最小的向量，如图，

当ACBC，即abb时，|AC|最小，满足abab，对于任意的R， 所以本题答案为D. 【题目点拨】

本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题. 5、B 【解题分析】

判断函数fx的奇偶性，可排除A、C，再判断函数fx在区间0,【题目详解】

上函数值与0的大小，即可得出答案. 21ex21cosxcosx， 解：因为f(x)xx1e1e1exex11excosxxcosxcosxfx， 所以f(x)xx1ee11e所以函数fx是奇函数，可排除A、C； 又当x0,故选：B. 【题目点拨】

本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题. 6、A 【解题分析】

根据实数x0满足的等量关系，代入后将方程变形a2x0，fx0，可排除D； 24a2x0lnx05x0，构造函数hxlnx5x，并由

结合存在性问题的求法，即可求得正数a4a2x0的最小值，

导函数求得hx的最大值；由基本不等式可求得a2x0的取值范围. 【题目详解】

函数fxxa2，gxxlnx4a2x，

由题意得即a2令hx0fx0gx0x0a2x0lnx04a2x05，

4a2x0lnx05x0，

xlnx5x，

11x1， xx∴hx，上单调递减， ∴hx在01上单调递增，在1，∴hxmaxh14，而a2x04a2x02a2x042x04a，

当且仅当2x042x0，即当x01时，等号成立， ∴4a4， ∴0a1. 故选：A. 【题目点拨】

本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.

7、D 【解题分析】 由T2π可判断选项A；当xπππ时，2x=可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；1232ππysin2xcos2xfx可判断选项D.

312【题目详解】

ππ2πfxcos2x由题知，最小正周期T2π，所以A正确；当x时，

3122xπ5ππππ2π=，所以B正确；当x,时，2xπ,，所以C正确；由ysin2x

333233πππππysin2xsin2xsin2x 的图象向左平移个单位，得1262312πcos2xfx，所以D错误.

3故选：D. 【题目点拨】

本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题. 8、B 【解题分析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【题目详解】 因为故选B 【题目点拨】

本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题. 9、B 【解题分析】 先求出满足cos2【题目详解】

，由诱导公式得

，所以

.

1的值，然后根据充分必要条件的定义判断． 2由cos2211得22k，即k，kZ ，因此“cos2”是“k，kZ”的必要

33223不充分条件． 故选：B． 【题目点拨】

本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．10、D 【解题分析】 判断1log3【题目详解】

20，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 32∵1log30，∴

3故选：D 【题目点拨】

flog33flog322flog332242． 333本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 11、C 【解题分析】

分析：根据集合A1,3,5,7,B2,3,4,5可直接求解A详解：

B{3,5}.

A1,3,5,7,B2,3,4,5,

AB3,5,

故选C

点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算. 12、C 【解题分析】

联立方程解得M(3，23)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.

【题目详解】

1y3x1依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝3(x－1)．由2得x＝或x＝3.

3y4x由M在x轴的上方得M(3，23)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4

又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形 点M到直线NF的距离为4故选：C. 【题目点拨】

本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、a1 【解题分析】

先求得与gx关于x轴对称的函数h(x)x1，将问题转化为f(x)aex与h(x)x1的图象有交点，即方程

323 2aexx1有解.对a分成a0,a0,a0三种情况进行分类讨论，由此求得实数a的取值范围.

【题目详解】

因为g(x)x1关于x轴对称的函数为h(x)x1，因为函数f(x)aex与g(x)x1的图象上存在关于x轴的对称点，所以f(x)aex与h(x)x1的图象有交点，方程aexx1有解.

a0时符合题意.

111a0时转化为ex(x1)有解，即yex，y(x1)的图象有交点，y(x1)是过定点(1,0)的直线，其

aaa斜率为

111，若a0，则函数yex与y(x1)的图象必有交点，满足题意；若a0，设yex，y(x1)相aaaem111m1am切时，切点的坐标为m,e，则，解得a1，切线斜率为1，由图可知，当1，即0a1时，

aaem1ayex，y21x22x2(x1)的图象有交点，此时，f(x)aex与h(x)xx1的图象有交点，函数f(x)aexa与g(x)xx1的图象上存在关于x轴的对称点，综上可得，实数a的取值范围为a1.

故答案为：a1 【题目点拨】

本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识. 14、10 900 【解题分析】

由题意列出方程组，求解即可. 【题目详解】

100xy100由题意可得，解得x10，y900.

90xy0故答案为10 900 【题目点拨】

本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型. 15、1 【解题分析】

根据条件即可得出ab【题目详解】

1，a21，由aab即可得出aab0，进行数量积的运算即可求出λ． 2，|a|＝|b|＝1，且aab； 32∴aabaab10；

2∵向量a与b的夹角为

∴λ＝1． 故答案为：1． 【题目点拨】

考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件． 16、.

【解题分析】 设三棱锥

的外接球为球，分别取

、

的中点、的值，于是得出

，先确定球心在线段

和

中点的连线上，先求

出球的半径的值，然后利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出点在上底面

轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案． 【题目详解】 如图所示，设三棱锥分别取

、

的中点、

的外接球为球， ，则点在线段的棱长为2，

， ，解得，

所形成的轨迹是以

，所以

为圆心的圆， ， . .

上，

由于正方体则

的外接圆的半径为

设球的半径为，则所以，则

而点在上底面由于

因此，点所构成的图形的面积为

【题目点拨】

本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

n1217、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）Sn32n4n6

【解题分析】

（Ⅰ）利用等比数列的定义结合an12an12n1n2得出数列bn是等比数列 （Ⅱ）数列an是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前n项和Sn. 【题目详解】

解：（Ⅰ）当n1时，a11，故b16.

当n2时，an2an12n1，

则bnan2n32an12n12n3 2an12n12an12n13，

bn2bn1，

数列bn是首项为6，公比为2的等比数列.

n（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn32，anbn2n3 32n2n3，

Sn32222212nn3n 3212n12nn13n，

Sn32n1n24n6.

【题目点拨】

（Ⅰ）证明数列bn是等比数列可利用定义法

bnbn1q,(q0) 得出

（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 18、（1）l的普通方程yx2；C的直角坐标方程y 2ax；（2）a1. 【解题分析】

（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t即可得到直线

l的直角坐标方程；

（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的方程，利用参数的几何意义即可得出|PM||PN|，从而建立关于a的方程，求解即可． 【题目详解】

x2（1）由直线l的参数方程y42t2消去参数t得, 2t2y4x2，即yx2为l的普通方程

222由sin2acos，两边乘以得sin2acos

y 2ax为C的直角坐标方程.

x2（2）将y42t2代入抛物线y22t22ax得t222(a4)t328a0

(22(a4))24(328a)0

t1t222(a4)0

t1t2328 a0 t10,t20

由已知|P M|,|M N|,|P N|成等比数列，

|MN|2|PM||PN|

即t1t22t1t2，

t1t224t1t2t1t2，t1t25t1t2，

2(22(a4))25(328a)整理得a23a40

a4（舍去）或a1.

【题目点拨】

熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键． 19、（1）an＝2n1；（2）n的最小值为19. 【解题分析】

（1）根据条件列方程组求出首项、公差，即可写出等差数列的通项公式； （2）根据等差数列前n项和化简【题目详解】

(1)等差数列an的公差设为d，a3a6＝20，S5＝35， 可得2a17d＝20，5a110d＝35， 解得a1＝3，d＝2，

1，利用裂项相消法求和，解不等式即可求解.

Snn232n1＝2n1； 则an＝1(2)Snn(32n1)n(n2)，

211111，

Snn2n(n2)n2(n1)(n2)n1n2前n项和为Tn111111 2334n1n211， 2n29119Tn即，

202n220可得n2＞20，即n＞18， 则n的最小值为19. 【题目点拨】

本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，裂项相消法求和，属于中档题

55x2 20、（1）y21，1,1（2）PM241【解题分析】

（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；

（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得． 【题目详解】

2x2222222

（1）由ρ得ρ+ρsinθ＝2，将ρ＝x+y，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y221sin22

＝1，

设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（2，所以x＝ρcosθ）， 42cos41，y＝ρsinθ2sin41，

所以点P的直角坐标为（1，1）．

3x1t5x2（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，

2y14t541×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2， 因为△＝1102﹣4×

则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2依题意，点M对应的参数为所以|PM|＝|

110， 41t1t2

， 2

t1t255|． 241【题目点拨】

本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 21、（1）AM:MP3.（2）【解题分析】

（1）利用线面垂直的性质得出MOON，进而得出△MAO得出AM:MP的值；

（2）利用线面垂直的判定定理得出EF平面ACN，进而得出四面体MEFN的体积V16 3△OCN，利用相似三角形的性质，得出AM，从而

1EFS△MON，计算出3EF，SMON，即可得出四面体MEFN的体积.

【题目详解】

（1）因为MO平面EFN，ON平面EFN，所以MOON 又因为PA，NC都垂直于平面ABCD，所以△MAO△OCN

又E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，且PAAB4，NC2 所以

AMAOAM32AM3 OCNC22AM:MP3.

（2）因为E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，所以EFAC 又因为PA，NC都垂直于平面ABCD，EF平面ABCD，所以EFCN 因为ACNCC,AC,NC平面ACN，所以EF平面ACN 所以，四面体MEFN的体积V1EFS△MON 31EF22，S△MON42242 216. 所以V3

【题目点拨】

本题主要考查了线面垂直的性质定理的应用，以及求棱锥的体积，属于中档题.

22、（1）x24y（2）证明见解析 【解题分析】

（1）根据题意，设直线方程为yxp，联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论； 22x0（2）根据题意，设l1的方程为ykxx0，联立方程得x0xC4k，同理可得x0xD4k，进而得到

4xCxD2x0，再利用点差法得直线CD的斜率，利用切线与导数的关系得直线l的斜率，进而可得与互补.

【题目详解】

（1）由题意设直线AB的方程为yxp，令A(x1,y1)、B(x2,y2)， 2pyxp22联立2，得y3py0

42x2pyy1y23p，

根据抛物线的定义得ABy1y2p4p， 又AB8，4p8,p2 故所求抛物线方程为x4y.

222x0xCxD（2）依题意，设P(x0,)，C(xC,)，D(xD,)

4442x022设l1的方程为yk(xx0)，与x24y联立消去y得x4kx4kx0x00，

42x0xC4k，同理x0xD4k xCxD2x0，直线CD的斜率kCD1x0， 22x2x1211=(xCxD)x0 4(x2x1)42切线l的斜率klyxx0由klkCD0，即与互补. 【题目点拨】

本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线斜率的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．