浙江省22考试高等数学评分标准

2008年浙江省学评分标准

2+2考试高等数 ： 业 ：专号证考考准 报 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __：名：_姓_校____学____考___报_________----------------------2008年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学》试卷-------------------

2008年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》试卷

评分标准

得分 阅卷人

一、填空题：（只需在横线上

直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分） 1．

limsin(2x)ln(x1)x02x1 =

sin1ln2 .

2．23yy(xy2xx2arctanx)x2,y1 = 12 .

3 . 已知

5f(x)dt1xlnt， 则

51xf(x)dx = 4

4. 已知 1,2 为二维列向量, 矩阵A = (1,2), B

= (12,12), 若行列式

A2, 则

B

(

4 ).

5．若矩阵A =

1221, E为二阶单位阵,矩阵B

满足ABBE, 则B = (

101210 ) .

6. 将3个乒乓球随机地放入4个杯子中去, 杯子中乒乓球的最大数为2的概率为

( 916 ).

第

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二．选择题. （本题共有得分 阅卷人 5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的

选项中，只有一项符合要求）

1．函数 yx2 在区间 [ -1 ， a ] 上的平均值

是 1 ， 则 a = ( D ). （A） -1 （B） 0 （C） 1 （D） 2 2. 点 (0,0) 是 二元函数

zx2008y2008x2007y2007 的 ( C ) .

（

A

）

极

小

值

点

； （B）极大值点 ；

（C） 驻点，但一定不是极值点 ； （D）驻点，但无法确定是否是极值点. 3．函数（ D ）是函数 2xln2

的一个原函数 . （A）

(x)2xf,x02x,x0 ； （B）

f(x)2x,x02x,x0 ；

（C） f(x)2x,x012x,x0 ； （D）

2xf(x),x022x,x04. 设

1,2,3 是四元非齐次线性方程组

AXb

第

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的三个解向量,且秩 r(A) = 3 ,

1(1,0,2,0)T,23(0,2,3,4)T, c 表示任意常数, 则

线性方程组 (A) (C)

AXb 的

(B)

通解 X = ( B ) .

(1,0,2,0)Tc(2,2,1,4)T(1,0,2,0)Tc(2,2,1,4)T

(D)

(1,0,2,0)Tc(2,2,1,4)T(1,0,2,0)Tc(0,2,3,4)T

x22其它5. 若 X 的概率密度函数为

acosx,f(x)0,

则系数 a( D )

(A) 1 (B)

1(C) 2 (D) 3214

三．计算题：（计算题必须得分 阅卷人 写出必要的计算过程，只写 答案的不给分,本题共7个

小题，每小题9分，共63分） 1. 计算 解

x2008x2007xlimx1(x1)2 .

：

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x2008x2007xx2008(x1)1tx1(t1)2008t1limlimxlimx1x1t0(x1)2(x1)2t2 ………….

2分

e2008tln(t1)12008tln(t1)limlimt0t0t2t2 …………………

………..……… 7分

2008limt0ln(t1)2008t …………………………

…………………..….. 9分 2． 广义积分

(x1)2dx3x22x 是否收敛？如收敛，

计算其值；如不收敛，说明理由。 解

：

收

敛 …………………………………………………………..…… 1 分

(x1)2dx3x22x(x1)2dx3(x1)21 …………………

………3 分

x1sectsec02secttantdt3ttan2t ………………………………

……………….. 6 分

2costdt02 ………………………………………

……………………. 7 分

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1cos2tdt202……………………………………

…………………..…8 分

2tsin2t4204 …………………………………

可导，二元函数

，

f'(0)1………………....9 分 3. 已知一元函数 可微；

dzdxf(x)(x,y)

f(0)(0,0)0，

'x(0,0)2,'y(0,0)3 ；设

zf((f(x),f(x))) ，

求 解

x0 。

：

………...3 …….….

dzd(f((f(x),f(x))))f'((f(x),f(x)))((f(x),f(x)))'xdxdx分

f'((f(x),f(x)))['x(f(x),f(x))f'(x)'y(f(x),f(x))f'(x)]..7 分

dzdxx0f'((f(0),f(0)))['x(f(0),f(0))f'(0)'y(f(0),f(0))f'(0)]f'((0,0))['x(0,0)f'(0)'y(0,0)f'(0)] …………………

…………

…………….. 8 分

f'(0)['x(0,0)f'(0)'y(0,0)f'(0)]1(2131)5….… 9 分

4．（1）利用正项级数判敛方法说明级数

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n12n1n1n 是收敛的；（ 2 分 ）

（2）求出上面收敛级数的和。（ 7 分 ）. (1)

n11n1an1n2211limlimnann12nnn12ann1n0n12 ;

………………….….. 1 分



n12n1n1n 收

敛 ……………………………….….. 2 分 (2) 考虑幂级数

(1,1)n1xn1nn 它的收敛区间是

；…………………..….. 1 分

n111nnnS(x)x(1)xxxn1n1xn1n1n1n1n1n1和函数 分

,x0，….2

11x1(1)S1(x)S1(x),1xx1xxx0 , 其中

xn1S1(x)n1n1 . …..…

分

11n1n1(S1(x))'(x)'(x)'xnn1n1n1n1n1xnn11x11x1x ；

…..4 分

xS1(x)0tdtxln(1x)1t …………………………

……………5 分.

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S(x)x1x111S1(x)(xln(1x))ln(1x),1xx1xx1xxx0；…. 6 分

n11nS()2n1n1211122ln122ln22 …………………

……………7 分

5．设 (1,1,0), A = , E 为三阶单位阵 ,

TT求 解

2EA10 .

:

………………………………

1T(1,1,0)1(2)0……………….. 2分

A10TTT(TTT)T29T, …………

… 4分

1110110T1(1,1,0)0000, ……………………

…………….. 6分

2292EA1029220900222922929292298(129). ………

0…….. 9分

6. . 已知在10个产品中有2个次品, 现在其中任取两次,每次任取一只, 作不放回抽样,求下列事件的概率 : (1) 两只都是次品事件 ; (2)

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第二次取出的是次品事件.

解: 设 A 为事件“第 i 次取出的是正品”

i(i1,2)，则

1）

A) …………………………………

1（

P(A1A2)P(A1)P(A2…………….. 2分

21110945 ………………………………………

……………………… 4分

（2）P(A)P(AAAA)P(AA)P(AA)

P(A)P(AA)P(A)P(AA) ……………………

212121212121121…………………. 7分

82211 ……………………………1091095……………………….. 9分 7. 设

X,Y 是两个相互独立的随机变量， X

在（0，1）上服从均匀分布， Y 的概率密度为

12ye,fY(y)20,y0y0 ;

求：（1） X 和 Y 的联合概率密度；

（2）关于 t 的二次方程 根的概率 (已知 解

(1)0.8413)t22XtY0 有实(1)

.

:

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10x1fX(x)其它0 …………………………………

……………. 1分

由于 X 和 Y 相互独立, 因此 X 和 Y 的联合概率密度为

12ye,0x1,y0f(x,y)fX(x)fY(y)20,其它 …………………..

3分 (2) 方程

4X24Y0t22XtY0 有实根的充要条件为

,

即

X2Y, …………………………………………

…………………. 4分

所以方程有实根的概率为

P(YX)2yx212yf(x,y)dxdydxedy2001x2 ……………………

….. 6分 (1e01x221)dx1221e0x22dx

12[(1)(0)]10.341320.1445 ……………….. 9

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分

得分 阅卷人

四．应用题： （本题共3 个小题，每小题10分，共30分）

1． 一帐篷，下部为圆柱形，上部覆以圆锥形的蓬顶（如图所示）。设帐篷的容积规定必须是

225 立方米，试设计出篷布用料最小

1lr2的方案及求出此时的蓬布用料数。 （扇形面积计算公式是 ，其中 r 是扇形半径，l 是扇形弧长） 设圆柱高为 H , 圆锥高为 h , 圆柱底半径为 R ;

帐篷的容积

1VRHRh225 ………… . 3 约束条件

1RHRh2250 ;…………1 分.. 3 篷布用料

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1S(H,R,h)2RH2Rh2R22RHRh2R22……... 2

分. 令

1L(H,R,h,)S(H,R,h)(R2HR2h225)3…………………

…………

12RHRh2R2(R2HR2h225)3………………4 分 求 L(H,R,h,) 的驻点：

L'H2RR20,(1)2RhL'R2HhR(2RH)0,(2)223hRRhR2L'h0,(3)223hR1L'R2HR2h2250,(4)322R2………..

…. 5 分

由（1）得 R2 ；

hR2由（3）得 hR3322h2R23h2h2R5

（5） 由（2）得

02HhR2HhR02HhR222222R2h2R2(2RH4H2Rh)3

R2h2R24h3

R2h2R24h3

3h2R24hh2R212R5R202H2H2H2HR23h363h6535R5Hh2R2H5

…………………………………..…

束

条

件

：

…..… 8 分.. 代入约

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125H225330RHRh2255H2H225H2253332

米 ； R5H35 米 ； h2H6米 ;

因为驻点唯一，且由实际问题意义知 S(H,R,h) 必有最小值， 故

篷布用料最小的方案是 H3 米 ； R35 米 ； h6 米 ；……... 9 分 SS(3,35,6)2353356（35）455 平方米 ……... 10 分..

H322最小2. 设矩阵 A =

c1ba5301cbA*

, 其行列式

0

A1,

又 A 的伴随矩阵 于 解

A*0 有一个特征值

(1,1,1)T,

, 属

a,b,c00 的一个特征向量为 求

和  的值.

:

…………………………………………

……………………..…….. 1分

AAAAAA, …………………

*

000……….. 3分

c11b11bc111a5310a530101cb11cb1 …………

…….. 5分

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0(1bc)10(a2)1(1cb)10(1)(2)(3) ………………………………

………………………. 6分 (1)+(3)得

a3,bc0=1 , 代入(2) , (3) 得

, ……………………………….. 8分

1bb533bb41bb1A30

以

所

a3,bc4,01 …………………………………

X………….…… 10分

3. 一工厂生产的某种设备的寿命 计 ) 服从指数分布, 概率密度为

14xef(x)40x0x0 ( 以年

.

工厂规定, 出售的设备若在一年之内损坏可予以调换. 若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元. 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

解: 出售的设备在一年之内调换的概率为 :

114xp1p(X1)f(x)dxedx1e440011

不需调换的概率为 :

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p21p1e14 ……………………………………

…………………….. 4分

记Y为工厂出售一台设备的净赢利, 则

p(Y100)p1e14,

14p(Y300100)p21e , ………………………

14……………….. 7分

EY100e200(1e)300e20033.641414 ………………

….. 10分 得分 阅卷人

五．证明题： （本题共2 个小题，第一小题6分，第二小题7分，共13分）

f(x) 在 1． 设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续 ， f(0)0 ；内可导，且导数值处处大于零 。试证：在曲线 上存在某一种点

P(,f()),(0,1)(0,1)

yf(x)，

yf(x)该种点在 x 轴上的投影将会平分 x 轴上的线段 AB ； 其中 A 是曲线 点 ( 1 , 0 ) 。

证：过 P 点的切线方程是

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上过

P 点的切线与 x 轴的交点，B 是 x 轴上的

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yf'()(x)f() ……………………………1 分

它与 x 轴的交点横坐标是

x0f()f'() ……………………….…………2 分

据

f()f'()根题意，

f'(x)0,f(0)0x0， ……….….…………

3 分

且  需满足：

x0f()1f'()x01， 即

……………

令

(1)f'()f()0…………4 分 现

g(x)(1x)f(x),x[0,1] ； …………………….……

，

(0,1)..……5 分

则有 使得

2. 设 A 为 m×n 实矩阵, E 为 n 阶单位阵, 矩阵 BkEAA, 试证明: 当 k0 时,矩阵 B

Tg(0)f(0)0g(1)根据罗尔定理，必至少存在一点

g'()0 ，证

，即

.

g'()(1)f'()f()0,(0,1)毕 ……….……………. 6 分

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为正定矩阵. 证: BT(kEATA)TkEATAB, 故 B 是 n 阶实对

称阵; ....... 2分

又对任意实 n 维列向量 X ,

XTBXXT(kEATA)XkXTXXTATAXkXX(AX)(AX)TT ………………

………… 4分 当分 故当

k0

X0 时, 有

XTX0,(AX)T(AX)0, ……………………………. 5

XTBXkXT 时, 对任意 X0 有 X(AX)(AX)0

T所以矩阵 …… 7分

B 为正定矩

阵. ……………………………………………

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