2019届安徽省合肥市庐江县中考数学一模试卷 原卷版+解析版

2019年安徽省合肥市庐江县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小4分，满分40分，每小题给出A、B、C、D个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格相应题号对应的格子中．） 1．（4分）与﹣的和是0的实数是（ ） A．﹣

B．

C．﹣3

D．3

2．（4分）2019年前2个月，我省货物贸易出口总值379.1亿元，比去年同期增长14.3%，其中379.1亿用科学记数法表示为（ ） A．3.791×106

B．3.791×108

C．3.791×1010

D．379.1×108

3．（4分）下列运算正确的是（ ） A．3x﹣x＝3

B．2x•x＝3x2

C．x6÷x2＝x3

D．（x3）2＝x6

4． （4分）将一副三角板如图放置，其中直角顶点C重合，若DE∥BC，则∠1的度数为（ ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

5．（4分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ）

A．主视图改变，左视图改变 B．主视图改变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．俯视图不变，左视图不变 6．（4分）不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A．C．

B．D．

7．（4分）某深度贫困村2018年人均收入只有a万元，自精准扶贫实施以后，人均收入稳步提高．预计以后几年人均收入都将比上一年增长b%，到2020年人均收人达到y万元，实现全面脱贫，那么y用a，b表示正确的是（ ） A．y＝a（1+b）2

B．y＝a（1+b%）2

C．y＝a[1+（b%）2] D．y＝a（1+b2）

8．（4分）3月12日植树节，某单位组织职工开展植树活动，如图是根据植树情况绘制的条形统计图，下面说法错误的是（ ）

A．.参加本次植活动共有30人 B．.每人植树量的众数是4棵

C．.每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵

9．（4分）如图，EF垂直平分矩形ABCD的对角线AC，与AB、CD分别交于点E、F，连接AF．已知AC＝4，设AB＝x，AF＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）

A． B．

C． D．

10．（4分）如图在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径的半圆与AB交于点E、F，则线段EF的最大值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）分解因式：3a2﹣6a+3＝ ． 12．（5分）方程＝

的解为 ．

cm，则此弧所在圆的半径是 ．

13．（5分）已知9°的圆周角所对的弧长是

14．（5分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点， 若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝ ．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：﹣（）﹣2+

﹣6tan30°．

16．（8分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用绳子去量一根木材的

长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”请解答上述问题．

四、（本大题共2小题，每题8分，共16分）

17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知△ABC的顶点均为网格线的交点．

（1）将△ABC向下平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于直线l轴对称的△A2B2C2；

（3）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3以A、A3、B、B3为顶点的四边形的面积为 ．

18．（8分）【阅读理解】

借助图形的直观性，我们可以直接得到一些有规律的算式的结果，比如：由图①，通过对小黑点的计数，我们可以得到1+2+3+…+n＝n（n+1）；由图②，通过对小圆圈的计数

，

我

们

可

以

得

到

1+3+5+

…

+

（

2n

﹣

1

）

＝

n2．

那么13+23+33+…+n3结果等于多少呢？

AB是正方形ABCD的一边，BB′＝n，B′B″＝n﹣1，B″B′′′＝n﹣2，如图③，……，显然AB＝1+2+3+…+n＝n（n+1），分别以AB′、AB″、AB′′′、…为边作正方形，将正方形ABCD分割成块，面积分别记为Sn、Sn﹣1、Sn﹣2、…、S1． 【规律探究】

结合图形，可以得到Sn＝2BB′×BC﹣BB′2＝ ， 同理有Sn﹣1＝ ，Sn﹣2＝ ，…，S1＝13． 所以13+23+33+…+n3＝S四边形ABCD＝ ． 【解决问题】 根据以上发现，计算

五、（本大题共2小题，每题10分，共20分）

19．（10分）为培养学生庭好的学习习惯，某校九年级年级组举行“整理错题集“的征集展示活动，并随机对部分学生三年“整理题集”中收集的错题数x进行了抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．

分组 第一组（0≤x＜120） 第二组（120≤x＜160） 第三组（160≤x＜200） 第四组（200≤x＜240） 请你根据图表中的信息完成下列问题：

（1）频数分布表中a＝ ，b＝ ，并将统计图补充完整；

（2）如果该校九年级共有学生360人，估计整理的错题数在160或160题以上的学生有多少人？

（3）已知第一组中有两个是甲班学生，第四组中有一个是甲班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈整理错题的体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？

b 0.1 7 0.35 8 a 频数 3 频率 0.15 的结果为 ．

20．（10分）如图是某款篮球架的示意图，支架AC与底座BC所成的∠ACB＝65°，支架AB⊥BC，AH＝篮球支架HE∥BC，且篮板DF⊥HE于点E，已知底座BC＝1米，HF＝

米，HE＝1米．

米，

（1）求∠FHE的度数；

（2）已知该款篮球架符合国际篮联规定的篮板下沿D距地面2.90米的规定，求DE的长度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.41，

≈1.41）

六、（本题满分12分）

21．（12分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D是

上的一点，且

，

连接AD交BC于点F，过点A作⊙O的切线AE交BC的延长线于点E． （1）求证：CF＝CE；

（2）若AD＝8，AC＝5，求⊙O的半径．

七、（本题满分12分）

22．（12分）如图．直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2），与直线y＝﹣

交于点B（n，

1）．

（1）求k，b，n的值；

（2）将抛物线y＝x2平移，使其顶点在直线y＝﹣为x＝h．

①若h＝﹣1，则此时抛物线的解析式为 ； ②当抛物线与线段OB有公共点时，求h的取值范围．

上移动，移动后的抛物线的对称轴

八、（本题满分14分）

23．（14分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，边BC、CD的垂直平分线交于四边形内部一点O，连接BO、DO，已知BO∥AD．

（1）判断四边形ABOD的形状？并证明你的结论； （2）连接AO并延长，交BC于点E，若CE＝2①求AB的长．

②若∠BAD＝135°，求AO•AE的值．

，BE＝6

，∠ODC＝45°．

2019年安徽省合肥市庐江县中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小4分，满分40分，每小题给出A、B、C、D个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格相应题号对应的格子中．） 1．（4分）与﹣的和是0的实数是（ ） A．﹣

B．

C．﹣3

D．3

【分析】根据题意列出相应的算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：0﹣（﹣）＝， 故选：B．

【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．（4分）2019年前2个月，我省货物贸易出口总值379.1亿元，比去年同期增长14.3%，其中379.1亿用科学记数法表示为（ ） A．3.791×106

B．3.791×108

C．3.791×1010

D．379.1×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：379.1亿＝3.791×1010， 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（4分）下列运算正确的是（ ） A．3x﹣x＝3

B．2x•x＝3x2

C．x6÷x2＝x3

D．（x3）2＝x6

【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方求出每个式子的值，再得出选项即可． 【解答】解：A、3x﹣x＝2x，故本选项不符合题意； B、2x•x＝2x2，故本选项不符合题意； C、x6÷x2＝x4，故本选项不符合题意；

D、（x3）2＝x6，故本选项符合题意； 故选：D．

【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．

4． （4分）将一副三角板如图放置，其中直角顶点C重合，若DE∥BC，则∠1的度数为（ ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

【分析】根据∠1＝∠B+∠BCD，求出∠BCD即可解决问题． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠D＝∠BCD＝45°，

∴∠1＝∠B+∠BCD＝60°+45°＝105°， 故选：A．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

5．（4分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ）

A．主视图改变，左视图改变 B．主视图改变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．俯视图不变，左视图不变

【分析】分别得到将正方体①移走前后的三视图，依此即可作出判断．

【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，1，2；发生改变．

将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．

将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数1，1，3；发生改变． 故选：B．

【点评】考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键． 6．（4分）不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A．C．

B．D．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【解答】解：由3x﹣1＜2x，得x＜1， 由﹣x≥﹣1，得x≤4， 不等式组的解集为x＜1． 在数轴上表示为：

故选：C．

【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

7．（4分）某深度贫困村2018年人均收入只有a万元，自精准扶贫实施以后，人均收入稳步提高．预计以后几年人均收入都将比上一年增长b%，到2020年人均收人达到y万元，实现全面脱贫，那么y用a，b表示正确的是（ ） A．y＝a（1+b）2

B．y＝a（1+b%）2

C．y＝a[1+（b%）2] D．y＝a（1+b2）

【分析】由2020年人均收人＝2018年人均收入×（1+增长率）2，即可用含a，b的代数式表示出y值，此题得解．

【解答】解：依题意，得：y＝a（1+b%）2． 故选：B．

【点评】本题考查了列代数式，根据数量之间的关，用含a，b的代数式表示出y值是解题的关键．

8．（4分）3月12日植树节，某单位组织职工开展植树活动，如图是根据植树情况绘制的条形统计图，下面说法错误的是（ ）

A．.参加本次植活动共有30人 B．.每人植树量的众数是4棵

C．.每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵

【分析】根据众数、平均数、中位数的定义分别进行解答，即可得出答案 【解答】解：A、∵4+10+8+6+2＝30（人）， ∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确； B、∵10＞8＞6＞4＞2，

∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确； C、∵共有30个数，第15、16个数为5， ∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；

D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵）， ∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确． 故选：D．

【点评】本题考查了条形统计图、中位数、众数以及加权平均数，逐一分析四个选项的

正误是解题的关键．

9．（4分）如图，EF垂直平分矩形ABCD的对角线AC，与AB、CD分别交于点E、F，连接AF．已知AC＝4，设AB＝x，AF＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）

A． B．

C． D．

【分析】先由自变量x的取值，函数y的最小值，排除掉选项B和C，再得出y为关于x的反比例函数，排除A，从而得正确答案． 【解答】解：

由AB＜AC＝4可知，B错误；

由EF垂直平分矩形ABCD的对角线AC，得FA＝FC，连接EC，则EC＝EA， 易证△CFO≌△AEO（ASA）

∴AE＝CF＝AF＝CE＝y，BE＝AB﹣AE＝x﹣y， ∵在直角三角形AEO中，AE＞AO＝∴y＞2，排除C；

在直角三角形ABC和直角三角形ECB中， 由勾股定理可得：AC2﹣AB2＝EC2﹣BE2，

，

16﹣x2＝y2﹣（x﹣y）2， 化简得：xy＝8， ∴

，故y为关于x的反比例函数，排除A；

综上，D正确． 故选：D．

【点评】本题属于动点函数图象问题，需要数形结合，并合理运用排除法，在必要时写出函数的解析式，从而求解，难度较大．

10．（4分）如图在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径的半圆与AB交于点E、F，则线段EF的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接MF，当直线过O点时，EF的值最大；利用sin∠OAB＝解．

【解答】解：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接MF， 当直线过O点时，EF的值最大； ∵A（6，0），B（0，8）， ∴AB＝10， ∵sin∠OAB＝∴OM＝4.8， ∵AB＝6， ∴OG＝3，

＝

，

，求出OM，MG，在利用勾股定理求出FM即可求

∴GM＝1.8， ∴FM＝2.4， ∴EF＝4.8； 故选：A．

【点评】本题考查一次函数的图象及性质；能够确定EF最大时的位置，利用直角三角函数求边是解题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）分解因式：3a2﹣6a+3＝ 3（a﹣1）2 ．

【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．

12．（5分）方程＝

的解为 x＝2 ．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x+2＝2x， 解得：x＝2，

经检验x＝2是分式方程的解， 故答案为：x＝2

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．（5分）已知9°的圆周角所对的弧长是

cm，则此弧所在圆的半径是 2cm ．

【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案．

【解答】解：设此弧所在圆的半径为r， 弧所对的圆心角为：9°×2＝18°， 则

＝

，

解得，r＝2，即此弧所在圆的半径为2cm， 故答案为：2cm．

【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键． 14．（5分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝ ．

或

【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时；

【解答】解：①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，设AQ＝PQ＝x， ∵PQ∥AC， ∴△BPQ∽△BCA， ∴∴∴x＝∴AQ＝

＝

， ＝， ， ．

②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时，设AQ＝PQ＝y． ∵△BQP∽△BCA， ∴

＝

， ，

∴＝

∴y＝．

或

．

综上所述，满足条件的AQ的值为

【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：﹣（）﹣2+

﹣6tan30°．

【分析】先分别计算负整指数幂、二次根式、三角函数值，然后算和减法． 【解答】解：原式＝﹣4+2＝﹣4

【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整指数幂、二次根式、特殊三角函数值的运算是解题的关键．

16．（8分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”请解答上述问题．

【分析】设木材的长为x尺，绳子的长为y尺，根据“用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设木材的长为x尺，绳子的长为y尺， 依题意，得：

，

﹣6×

解得：．

答：木材的长为6.5尺．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

四、（本大题共2小题，每题8分，共16分）

17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知△ABC的顶点均为网格线的交点．

（1）将△ABC向下平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于直线l轴对称的△A2B2C2；

（3）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3以A、A3、B、B3为顶点的四边形的面积为

．

【分析】（1）作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．

（3）作出A，B的对应点A3，B3即可，利用分割法求四边形的面积即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1；如图所示． （2）△A2B2C2如图所示． （3）△A3B3C3如图所示，．

＝3×4﹣×1×3﹣×2×2﹣×1×4＝

故答案为：．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18．（8分）【阅读理解】

借助图形的直观性，我们可以直接得到一些有规律的算式的结果，比如：由图①，通过对小黑点的计数，我们可以得到1+2+3+…+n＝n（n+1）；由图②，通过对小圆圈的计数

，

我

们

可

以

得

到

1+3+5+

…

+

（

2n

﹣

1

）

＝

n2．

那么13+23+33+…+n3结果等于多少呢？

AB是正方形ABCD的一边，BB′＝n，B′B″＝n﹣1，B″B′′′＝n﹣2，如图③，……，显然AB＝1+2+3+…+n＝n（n+1），分别以AB′、AB″、AB′′′、…为边作正方形，将正方形ABCD分割成块，面积分别记为Sn、Sn﹣1、Sn﹣2、…、S1． 【规律探究】

结合图形，可以得到Sn＝2BB′×BC﹣BB′2＝ n3 ，

同理有Sn﹣1＝ （n﹣1）3 ，Sn﹣2＝ （n﹣2）2 ，…，S1＝13． 所以13+23+33+…+n3＝S四边形ABCD＝ [n（n+1）2] ． 【解决问题】

根据以上发现，计算的结果为 1275 ．

【分析】将BB′＝n，AB＝BC＝n（n+1），代入求Sn；以此规律得到Sn﹣1，Sn﹣2，13+23+33+…+n3＝S

四边形

ABCD＝[

n（n+1）]2；利用得到的结论直接代入公式计算

＝×＝1275；

【解答】解：∵BB′＝n，AB＝BC＝n（n+1）， ∴Sn＝2BB′×BC﹣BB′2＝2n（n（n+1））﹣n2＝n3， 同理Sn﹣1＝（n﹣1）3，Sn﹣2＝（n﹣2）3， ∴13+23+33+…+n3＝S四边形ABCD＝[n（n+1）]2，

＝×＝25×51＝1275；

故答案为n3；（n﹣1）3；（n﹣2）2；[n（n+1）2]；1275；

【点评】本题考查探索规律，整式的运算；能够利用已有规律，探索新的规律，并能将得到结论直接进行运用是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每题10分，共20分）

19．（10分）为培养学生庭好的学习习惯，某校九年级年级组举行“整理错题集“的征集展示活动，并随机对部分学生三年“整理题集”中收集的错题数x进行了抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．

分组 第一组（0≤x＜120） 第二组（120≤x＜160） 第三组（160≤x＜200） 7 0.35 8 a 频数 3 频率 0.15

第四组（200≤x＜240） b 0.1 请你根据图表中的信息完成下列问题：

（1）频数分布表中a＝ 0.4 ，b＝ 2 ，并将统计图补充完整；

（2）如果该校九年级共有学生360人，估计整理的错题数在160或160题以上的学生有多少人？

（3）已知第一组中有两个是甲班学生，第四组中有一个是甲班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈整理错题的体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？

【分析】（1）先利用第一组的频数和频率计算出调查的总人数，然后计算a、b的值，最后补全统计图；

（2）用360乘以样本中第三、四的频率和，则可估计出整理的错题数在160或160题以上的学生数；

（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出所选两人正好都是甲班学生的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）3÷0.15＝20， a＝

＝0.4；

b＝20×0.1＝2； 故答案为0.4；2； 统计图补充为：

（2）360×（0.35+0.1）＝162，

所以估计整理的错题数在160或160题以上的学生有162人； （3）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中所选两人正好都是甲班学生的结果数为2， 所以所选两人正好都是甲班学生的概率＝＝．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．

20．（10分）如图是某款篮球架的示意图，支架AC与底座BC所成的∠ACB＝65°，支架AB⊥BC，AH＝篮球支架HE∥BC，且篮板DF⊥HE于点E，已知底座BC＝1米，HF＝

米，HE＝1米．

米，

（1）求∠FHE的度数；

（2）已知该款篮球架符合国际篮联规定的篮板下沿D距地面2.90米的规定，求DE的长度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.41，

≈1.41）

【分析】（1）解Rt△EFH，便可求得结果；

（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，

在Rt△ABC中求出AB，在Rt△ANH中求出HN，进而求得结果． 【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∵cos∠FHE＝∴∠FHE＝45°；

（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，

，

∴GM＝AB，HN＝EG， 在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝

，

∴AB＝BC•tan65°＝1×2.41＝2.41， ∴GM＝AB＝2.41，

在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°， ∴HN＝AH•sin45°＝

，

∴EM＝EG+GM＝HN+GM＝+2.41＝2.91， ∴DE＝EM﹣DM＝2.91﹣2.9＝0.01（米）， 答：DE的长度为0.01米．

【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 六、（本题满分12分）

21．（12分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D是

上的一点，且

，

连接AD交BC于点F，过点A作⊙O的切线AE交BC的延长线于点E． （1）求证：CF＝CE；

（2）若AD＝8，AC＝5，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理得到∠CAE＝∠B，∠DAC＝∠B，即可得到∠CAE＝∠CAF，然后通过证得△CAE≌△CAF即可证得结论；

（2）连接OC，则根据垂径定理得到OC⊥AD，AH＝DH，根据勾股定理求得CH＝3， 设⊙O的半径为r，在Rt△AOH中，OA2＝AH2+OH2，得到r2＝42+（r﹣3）2，解得即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴AB是⊙O的直径，AC⊥EF， ∵AE是⊙O的切线， ∴∠CAE＝∠B， ∵

，

∴∠DAC＝∠B， ∴∠CAE＝∠CAF， 在△CAE和△CAF中

∴△CAE≌△CAF（SAS）， ∴CF＝CE；

（2）解：连接OC，交AD于H， ∵

，

∴OC⊥AD，AH＝DH， ∵AD＝8，AC＝5， ∴AH＝4，

在Rt△ACH中，CH＝设⊙O的半径为r， ∴OH＝r﹣3，

＝3，

在Rt△AOH中，OA2＝AH2+OH2， ∴r2＝42+（r﹣3）2， 解得r＝

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 七、（本题满分12分）

22．（12分）如图．直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2），与直线y＝﹣1）．

（1）求k，b，n的值；

（2）将抛物线y＝x2平移，使其顶点在直线y＝﹣为x＝h．

①若h＝﹣1，则此时抛物线的解析式为 y＝（x+1）2+ ； ②当抛物线与线段OB有公共点时，求h的取值范围．

上移动，移动后的抛物线的对称轴

交于点B（n，

【分析】（1）将点B坐标代入直线y＝﹣＝kx+b，求出k，b．从而得出答案；

，求出n的值；再将点A、点B坐标代入y

（2）①写出平移后的解析式，且知顶点在直线y＝﹣入直线y＝﹣

和平移后的抛物线解析式，即可求解；

上移动，可以把h＝﹣1分别代

②写出平移后的解析式表示为：y＝（x﹣h）2﹣，分别代入线段OB的端点O和B，

即可求解．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣过点B（n，1），

∴1＝﹣

，

∴n＝﹣2；

∵直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2）， ∴将A（0，2），B （﹣2，1）代入y＝kx+b得

∴

故k＝﹣，b＝2，n＝﹣2．

（2）①∵将抛物线y＝x2平移，移动后的抛物线的对称轴为x＝h， ∴若h＝﹣1，则设平移后的解析式为y＝（x+1）2+m， 又因为顶点在直线y＝﹣上移动，

∴m＝，

此时抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+， 故答案为：y＝（x+1）2+，

②移动后的抛物线的对称轴为x＝h，顶点在直线y＝﹣

上，则其顶点坐标为（h，﹣

），

∴平移后的抛物线的解析式可表示为：y＝（x﹣h）2﹣， 当抛物线过点O（0，0）时，将（0，0）代入得＝0，

∴h1＝0（舍），

；

当抛物线经过点B时，将B（﹣2.1）代入y＝（x﹣h）2﹣

得 ，

解得h3＝﹣2，

（舍）．

综上，当抛物线与线段OB有公共点时，h的取值范围为：﹣2≤h≤．

【点评】本题考查了直线解析式的求法，同时还考查了抛物线平移的解析式表达方式，以及线段与抛物线有交点的取值范围问题，综合性较强，难度较大． 八、（本题满分14分）

23．（14分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，边BC、CD的垂直平分线交于四边形内部一点O，连接BO、DO，已知BO∥AD．

（1）判断四边形ABOD的形状？并证明你的结论； （2）连接AO并延长，交BC于点E，若CE＝2①求AB的长．

②若∠BAD＝135°，求AO•AE的值．

【分析】（1）连接AO、CO，根据中垂线知OB＝OC＝OD，证△ABO≌△ADO得∠BAO＝∠DAO，由BO∥AD知∠BOA＝∠DAO，从而得∠BAO＝∠BOA，据此知AB＝BO，继而得证；

（2）连接CO、DE，设DE交OC于点P，先证△BOE≌△DOE得BE＝DE、∠OBE＝∠ODE，结合∠OBC＝∠OCB知∠OCE＝∠ODE，由∠EPC＝∠OPD知∠CEP＝∠DOP＝90°，根据CE2+DE2＝DC2知CE2+BE2＝2AB2，代入计算可得；

（3）由△BOE≌△DOE，∠DEB＝90°知∠OEB＝∠OED＝45°，结合四边形ABOD是菱形，∠BAD＝135°知∠ABO＝45°，从而得∠ABO＝∠AEB，证△ABO∽△AEB得AO•AE＝AB2，代入计算可得．

【解答】解：（1）四边形ABOD是菱形，理由如下： 如图1，连接AO、CO，

，BE＝6

，∠ODC＝45°．

∵边BC、CD的垂直平分线交于点O， ∴OB＝OC＝OD， 又AB＝AD，AO＝AO， ∴△ABO≌△ADO（SSS）， ∴∠BAO＝∠DAO， ∵BO∥AD， ∴∠BOA＝∠DAO， ∴∠BAO＝∠BOA， ∴AB＝BO，

∴AB＝BO＝OD＝AD， ∴四边形ABOD是菱形；

（2）如图2，连接CO、DE，设DE交OC于点P，

∵∠ODC＝45°，OC＝OD，

∴∠COD＝90°，△OCD是等腰直角三角形， ∴CD＝

OD＝

AB，

∵四边形ABOD是菱形， ∴∠DOA＝∠BOA， ∴∠BOE＝∠DOE， 在△BOE和△DOE中，

∵，

∴△BOE≌△DOE（SAS）， ∴BE＝DE、∠OBE＝∠ODE， ∵∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCE＝∠ODE， 又∵∠EPC＝∠OPD， ∴∠CEP＝∠DOP＝90°，

在Rt△DCE中，CE2+DE2＝DC2，即CE2+BE2＝2AB2， ∵CE＝2

，BE＝6

，

）2＝200，

∴2AB2＝（2∴AB＝10；

）2+（6

（3）由（2）知△BOE≌△DOE，∠DEB＝90°， ∴∠OEB＝∠OED＝45°，

∵四边形ABOD是菱形，∠BAD＝135°， ∴∠ABO＝45°， ∴∠ABO＝∠AEB， 又∵∠BAO＝∠EAB， ∴△ABO∽△AEB， ∴

＝

，

∴AO•AE＝AB2， ∵AB＝10， ∴AO•AE＝100．

【点评】本题是相似形的综合问题，解题的关键是掌握菱形的判定与性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点．