抛物线焦点弦的性质及应用

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抛物线焦点弦的性质及应用

设抛物线

的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则称

；（2）

线段AB为抛物线的焦点弦。关于抛物线的焦点弦具有如下性质：（1）

；（3）

（为焦点弦所在直线的倾斜角）（证明从略）。准确、合

理、灵活地应用上述性质可简捷、巧妙地解答一些相关抛物线焦点弦的问题。现举例解析如下：

例1. （2001年全国高考试题）设抛物线线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且

的焦点为F，经过焦点F的直轴，求证：AC经过原点。

证明：设两点的坐标为，因为点C在抛物线的准线上，且

轴，则，因为，由抛物线焦点弦性质（1）

得

点。

，代入得，故，所以AC经过原

例2. 设抛物线的焦点为F，经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B，

的位置关系，并加以证明。

试判断以|AB|为直径的圆C与直线

解：设两交点A、B的坐标为，则AB的中点，

由性质（2）知：圆C的直线，因为点C到直线

，故|AB|为直径的圆C与直线

的距离为相交。

例3. （苏州大学高三数学教学测试题）设抛物线线焦点F的直线交抛物线于A、B，记求证：

恒为定值。

的焦点为F，经过抛物

的面积为S（O为坐标原点），若AB变化时，

证明：设焦点弦所在的直线的倾斜角为，过O作

，在

中，（定值）。

于M，由性质（3）可知

，故

从以上几例的解析能够看出：应用焦点弦的性质不但能使很多问题的解答快捷、方便，而且能够优化学生的思维品质，提升解决问题的水平。

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