指数对数的运算

指数对数的运算 【知识要点】 一、指数 1、分数指数幂 ①amna（a0,m,nN，且n1） ②a nnnmmn1amn1nam（a0,m,nN，且n1） 2、根式的性质

①(na)na ②当n为奇数时，aa；当n为偶数时，a|a|3、有理指数幂的运算性质 ① aaarrrrsrsnna,a0a,a0 (a0,r,sQ) ②(ar)sars(a0,r,sQ) ③(ab)ab(a0,b0,rQ) ④amanamn(a0,m,nQ) 注： 若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 二、对数 1、对数的定义：如果aN(a0,且a1)，那么幂指数b叫做以a为底N的对数.记作：logaNb,其中a叫做底数，N叫做真数.见下表： b指数真数对数底数 aNblogabN底数幂2、指数式与对数式的互化式: abNlogaNb(a0,a1,N0)3、对数的换底公式 :logaN logmN (a0,且a1,m0,且m1, N0)； logmalogablogba1；logab4、对数恒等式：alogaN1.

logbaN(a0,且a1, N0)； logaan ；loga10.

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5、对数的四则运算法则:若a0,a1，M0,N0，则 ①loga(MN)logaMlogaN; ②logaMlogaMlogaN; NnlogaN(n,mR) m③logaMnnlogaM(nR); ④logamNn6、常用对数和自然对数 以10为底的对数log10x，叫做常用对数，简记为lgx.以无理数e为底的对数叫做自然对数，记作

logex，简记为lnx，其中e2.718.

三、温馨提示 1、当n为偶数时，a|a|

2、不要把loga(MN)logaMlogaN记成了loga(MN)logaMlogaN等. 四、方法总结 1、 解决指数问题时常常需要取对数，而解决对数问题又需要将它转化成指数问题，这种互化是数学 解题的有力杠杆.我们在这里称之为“对指互化”.

2、 注意对数恒等式、对数换底公式以及恒等式loganbm活运用.

3、 对于对数连等式等问题，常需要引入参数，用参数作为桥梁. 4、 注意方程和方程组思想的有效运用.

5、 解对数和指数不等式，常用同底法，即把不等式的两边变成底数相同的对数和指数. 如：log2x3log2xlog223x238x8. 2x32x2【方法讲评】 题型一 指数幂对数的运算 1、有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.3、底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数

解题方法 的，先化成假分数.4、若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用 指数幂的运算性质来解答. 学科*网 log23nnm1在解题中的灵 logab,logabnlogbaxlog23.

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【例1】(0.0001)141227()(21)0 94-14233【解析】原式（0,1）332312()21(0.1)132271=9 33【点评】指数幂运算时，要注意一些平方数和立方数，并把它写成数的平方和立方的形式. 如： 27=323323=32=9. 11log23+lne+2lg42lg5-4(2)4的值. 100【例2】求log2.56.25+lg 【点评】（1）对数的公式和运算法则比较多，要注意灵活运用. （2）

44(2)42，

(2)4|2|2 lg51lg2这些可以作为公式记住，提高计算效率. （3）lg2lg51lg21lg5【反馈检测1】计算：（1）（2） 题型二 解题方法 对指互化和换底公式 ； 1324lglg8lg245 2493把指数化成对数，再利用对数运算法则运算；把对数化成指数，再利用指数运算法则运算. 【例3】已知3a5bc，且

112，求c的值. ab【解析】由3ac得alog3c 由5bc得blog5c 111122logc3logc52logc152c215c0c15ablog3clog5c 【点评】（1）对于形如3a5bc的一般要马上联想到对指互化.(2)对于

112的化简是log3clog5c一个关键，不能去分母，要观察到它们的分母都是对数，但是底数不同，真数相同，所以联想到对数换底

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公式. （3）换底公式是一个比较重要的公式，它有三种形式，logaNlogmN (a0,且a1,m0,

logma且m1, N0)；logablogba1；logabab1.注意灵活运用. logba【反馈检测2】若1005,102,求2ab的值. 11c，a0,且a1,b0,且b1,且ab10，求c的值. 【例4】已知

loga2logb5 【点评】（1）对于

11c,要联想到换底公式变成整式,再利用对指互化. （2）换底公 loga2logb5logmN (a0,且a1,m0,且m1, N0)；

logma式是一个比较重要的公式，它有三种形式，logaNlogablogba1；logab1.注意灵活运用. logba【反馈检测3】已知 11c，a0,且a1,b0,且b1,且2ab3，求c的值.

loga2logb4【反馈检测4】【2017课标1，理11】设x、y、z为正数，且2x3y5z，则（ ） A．2x<3y<5z 题型三 解题方法 【例5】已知函数f(x)(复杂的指数对数运算 按照指数对数的运算法则认真计算.

B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z

11)x. 2x12４

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(1) 讨论f(x)的奇偶性； （2）求证：f(x)0.

【点评】（1）本题中的化简就比较复杂，涉及到指数运算、分数的通分，一不小心，就容易化简错.（2）遇到复杂的指数运算，先要把指数是带负号的指数幂运算化成指数是没有负号的指数幂运算. （3）

x1xxx2x12x是可以化简的，不能不化简. 222(21)2. 【反馈检测5】已知函数f(x)ln(x x21)满足f(a1)f(b3)0，则ab . 参考答案 【反馈检测1答案】（1）100；（2）

1. 2 【反馈检测2答案】1 【反馈检测2详细解析】由题得lg100lg52alg5102lg10lg2 abbblg22ablg5lg2lg101 ５

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【反馈检测3答案】clog23 【反馈检测3详细解析】由题得log2ac,a2clog4bcb4c 22c4c3(2c)222c30(2c3)(2c1)0 所以2c3clog23 【反馈检测4答案】D 【反馈检测4详细解析】令235k(k1)，则xlog2k，ylog3k，zlog5k ∴

xyz2x2lgklg3lg92x2lgklg5lg251，则2x3y，1，则2x5z，故选D. 3ylg23lgklg85zlg25lgklg32【反馈检测5答案】4 【反馈检测5详细解析】由题得函数的定义域是R. xx21) 由题得f(x)ln(x(x)1)ln(xx1)ln(122 x21x(x21x)(x21x)(x21x2)ln()ln()ln()221x1xx1xln(1x21x)ln(x21x)1ln(x21x)f(x) 所以函数f(x)是奇函数, ６