华中科技大学2012级第一学期期中考试试卷

华中科技大学2012级微积分学

一、计算（每小题5分，共60分）

1. 计算极限 l=lim1

⎞

n→∞⎜

⎜⎛1+1⎝

n+1n+2

+L+

n+n⎟⎟⎠.

2. 计算极限 l=1+cosx

xlim→π+

sinx

.

1

3. 计算极限 l=lim⎛ln(1+x)⎞e

x−1

x→0⎜⎝x⎟⎠

4. 计算极限l=lim

1+2x−1−x

x→0

sinx

2

5. 设f(x)=

(x−1)(x−2)L(x−100)

(x+1)(x+2)L(x+100)

，求f′(1).

6. 设f(x)=ln

x+x+x+1，求f′(0).

7. 设y=y(x) 由xe

f(y)

=xyln3确定，f(y)可导，且f′(y)≠lnx，求dy.

⎧⎨

y=tmdn8. 设y=y(x)由参数方程给出，计算y

.

⎩x=ln2t

dxnt=1

9. 设当x→0时，u=31+x

231−x−1~cxk，求c,k的值.

⎧

10. 设g(x)=⎪⎨xarctan1,x<0

在x=0可导，f(x)=sinx。求b及d⎪x⎩

bx,x≥0dxf(g(x)). x=011. 设f(x)=

3x2x2

+x−1

，计算f(n)

(0). 12. 设f(x)=limxn

n→∞1+xn

，求出其所有间断点，并说明间断点类型.

二、综合证明（每小题7分，共28分）

1

2012微积分第一学期期中考试 共6页 考试时间9：00-11：00

13. 如图所示，在单位圆内，当θ→0时，证明三角形ABC的面积a(θ)与

y

阴影部分的面积b(θ)是同阶无穷小.

1

C

14. 证明：当n充分大时，n1+n2

⎛⎜1⎞⎜1+n2−1⎟1⎟θA

B

x15. 证明：在(−∞,∞)处处可导的周期函数f(x)的导函数依旧是周期函数。 反过来对否？给出理由。

16. 设物体P沿抛物线x=y2

(y>0)自原点向右移动，与原点的距离为r。设其水平

速度

dxdt保持为常量A，（1）计算drdt（2）随着物体的移动，dr

dt

是单调变大还是 单调变小或者忽大忽小；（3）计算当P沿抛物线向右无限移动时，dr

dt

的极限。

17. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f′(x)≠0，试证存在ξ,η∈(a,b)，使得：f′(ξ)eb−ea−f′(η)=

b−a

eη. 18. 设f(x)在闭区间[0,1]上连续，f(0)=f(1)，证明存在

x[0,1]，使得f(x10∈0)=f(x0+4

).

第7-8页撕下作为草稿纸。

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