庐阳区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 函数f（x）=A．[1，2）

2． 若a=ln2，b=5

的定义域为（ ） B．（1，+∞） ，c=

C．[1，2）∪（2，+∞） D．[1，+∞）

xdx，则a，b，c的大小关系（ ）

A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a

3． 如果函数f（x）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间上是（ ） A．增函数且最小值为3

B．增函数且最大值为3

C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣3

4． 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=﹣2，S5=0，则S6=（ ） A．0

B．1

D．2

C．2

D．3

5． 若复数（2+ai）2（a∈R）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（ ） A．﹣2 B．±2 C．0

6． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（ ）

A．2 B． C． D．3

7． 已知数列an的各项均为正数，a12，an1an（ ）

A．35 B． 36 C．120 A．（0，+∞）

B．（0，2） C．（1，+∞）

14，若数列则n的前n项和为5，

an1anaan1n D．121 D．（0，1）

8． 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）

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9． 复数z=A．第一象限

在复平面上对应的点位于（ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

10．已知直线m：3x4y110与圆C：3x4y40上任意(x2)2y24交于A、B两点，P为直线n：一点，则PAB的面积为（ ） A．23 B.

33 C. 33 D. 43 211．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．1616321632 B．16 C．8 D．8 3333

【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 12．已知空间四边形ABCD，M、N分别是AB、CD的中点，且AC4，BD6，则（ ） A．1MN5 B．2MN10 C．1MN5 D．2MN5

二、填空题

13．抛物线y2=4x的焦点为F，过F且倾斜角等于为 ．

﹣

的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长

14．已知圆O：x2+y2=1和双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）．若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O

﹣

= ．

外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，则

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15．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1），为 ．

+

=．若数列{

}的前n项和大于62，则n的最小值

16．若函数f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________.

17．在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为 ． 18．命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|x2||x1|，g(x)x. （1）解不等式f(x)g(x)；

（2）对任意的实数，不等式f(x)2x2g(x)m(mR)恒成立，求实数m的最小值.111]

20．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．

（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；

2

（2）令F（x）=f（x）+ax+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求

实数a的取值范围；

2

（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

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21．已知复数z=

（1）求z的共轭复数；

（2）若az+b=1﹣i，求实数a，b的值．

22．（本题满分15分）

．

x2y2x22设点P是椭圆C1:过点P作椭圆的切线，与椭圆C2:221(t1)交于A，y1上任意一点，

4tt4B两点．

（1）求证：PAPB；

（2）OAB的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．

23．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．

（1）求顶点C的坐标； （2）求△ABC的面积．

1x24．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe．（a∈R，e为自然对数的底数）

（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在0,1上无零点，求a的最小值； 2（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．

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庐阳区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：要使函数f（x）有意义，则即

，

，

解得x≥1且x≠2， 故选：C．

即函数f（x）的定义域为[1，2）∪（2，+∞）．

【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．

2． 【答案】C 【解析】解：∵b=5c=

=xdx=

a=ln2＜lne即， ，

，

∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a． 故选：C．

【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．

3． 【答案】D

【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3， 则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3， 故选：D

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．

4． 【答案】D 【解析】解：设等差数列{an}的公差为d， 则S4=4a1+联立解得∴S6=6a1+

d=3

d=﹣2，S5=5a1+，

d=0，

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故选：D

【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．

5． 【答案】C

22

【解析】解：∵复数（2+ai）=4﹣a+4ai是实数，

∴4a=0， 解得a=0． 故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．

6． 【答案】C

解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面． 则体积为故选：C． 7． 【答案】C

【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n项和．由an1an2222a，∴ana4n是等差数列，公差为4，首项为4，∴an44(n1)4n，由an0得1n=，解得x=．

4得

an1anan2n．1111(n1n)，∴数列的前n项和为

an1an2n12n2aan1n1111(21)(32)(n1n)(n11)5，∴n120，选C． 22228． 【答案】D

22

【解析】解：∵方程x+ky=2，即

表示焦点在y轴上的椭圆

∴故0＜k＜1

故选D．

【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．

9． 【答案】A

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【解析】解：∵z===+i，

∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限． 故选A．

【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．

10．【答案】 C

【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.

圆心C到直线m的距离d1，|AB|2r2d223，两平行直线m、n之间的距离为d3，∴PAB的面积为

1|AB|d33，选C． 211．【答案】D

【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为V12．【答案】A 【解析】

试题分析：取BC的中点E，连接ME,NE，ME2,NE3，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以1MN5，故选A．

11322244428，故选D． 233

考点：点、线、面之间的距离的计算．1

【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 4 ．

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【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），

2

联立直线与抛物线方程消元得：3x﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），

由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．

14．【答案】 1 ．

【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外）， 均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD， 可通过特殊点，取A（﹣1，t），

则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t）， 由直线和圆相切的条件可得，t=1． 将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得故答案为：1．

【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．

15．【答案】 1 ．

【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数， ∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，

﹣

=1．

再左右扩展知f（x）为周期函数． 故答案为：1．

结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．

【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

16．【答案】a2 【解析】

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试题分析：因为f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增，所以x(1,2)时，f'xa10恒成立，即xax恒成立，可得a2，故答案为a2.1

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 17．【答案】 （1，2） ．

222

【解析】解：由2ρcosθ=sinθ，得：2ρcosθ=ρsinθ， 即y=2x．

2

．

由ρcosθ=1，得x=1． 联立

，解得：

∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．

18．【答案】 真命题

【解析】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题， 则命题的逆否命题也为真命题， 故答案为：真命题．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．

三、解答题

19．【答案】（1）{x|3x1或x3}；（2）. 【

解

析

】

试

题解析：（1）由题意不等式f(x)g(x)可化为|x2|x|x1|， 当x1时，(x2)x(x1)，解得x3，即3x1； 当1x2时，(x2)xx1，解得x1，即1x1；

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当x2时，x2xx1，解得x3，即x3 （4分） 综上所述，不等式f(x)g(x)的解集为{x|3x1或x3}. （5分）

（2）由不等式f(x)2x2g(x)m可得|x2||x1|m， 分离参数m，得m|x2||x1|，∴m(|x2||x1|)max

∵|x2||x1||x2(x1)|3，∴m3，故实数m的最小值是. （10分） 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．1 20．【答案】

【解析】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．… 当a=2，b=1时，f（x）=lnx﹣x﹣x，

2

f′（x）=﹣2x﹣1=﹣令f′（x）=0，解得x=．…

．

当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增； 当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．

所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．… （2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]， 所以k=F′（x0）=

≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…

2

所以a≥（﹣x0+x0）max，x0∈[2，3]…

2

当x0=2时，﹣x0+x0取得最大值0．所以a≥0．…

（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，

2

因为方程f（x）=mx在区间[1，e]内有唯一实数解，

所以lnx+x=mx有唯一实数解． ∴m=1+

，…

，则g′（x）=

．…

设g（x）=1+

令g′（x）＞0，得0＜x＜e； g′（x）＜0，得x＞e，

2

∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e]上是减函数，…1 0分

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∴g（1）=1，g（e）=1+

2=1+．…

，g（e）=1+，…

所以m=1+，或1≤m＜1+

21．【答案】

【解析】解：（1）∴=1﹣i．

．

（2）a（1+i）+b=1﹣i，即a+b+ai=1﹣i， ∴

，

解得a=﹣1，b=2．

【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．

22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

∴点P为线段AB中点，PAPB；…………7分

（2）若直线AB斜率不存在，则AB:x2，与椭圆C2方程联立可得，A(2,t21)，B(2,t21)，

2故SOAB2t1，…………9分

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若直线AB斜率存在，由（1）可得

1k2t218km4m24t22x1x22，x1x2，AB1kx1x24，…………11分

24k14k214k1点O到直线AB的距离d∴SOABm1k24k211k2，…………13分

1ABd2t21，综上，OAB的面积为定值2t21．…………15分 2

=﹣2．

23．【答案】

【解析】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，∴∵直线AC⊥BH，∴kACkBH=﹣1． ∴

，

，

， ，即

． ． ，

．

直线AC的方程为联立

∴点C的坐标C（1，1）． （2）

∴直线BC的方程为联立

，

点B到直线AC：x﹣2y+1=0的距离为又∴

【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．

24．【答案】（1） f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f（x）在0,无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（3）a的范围是,21 上23. e1【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增

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区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，

11）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞220恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；

试题解析：

（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣由f′（x）＞0，得x＞2； 由f′（x）＜0，得0＜x＜2．

故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； （2）因为f（x）＜0在区间故要使函数只要对任意的

上恒成立不可能，

上无零点，

，f（x）＞0恒成立，即对

恒成立．

，

令再令则

从而，l（x）＞0，于是l（x）在故要使

，则

，

，故m（x）在

上为增函数，所以

，

上为减函数，于是

，

，

恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），

综上，若函数f（x）在0,1 上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2； 2（3）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，

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当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． 又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0， 所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；

当a≠2时，f′（x）=当x=

时，f′（x）=0．

，即

，x∈（0，e]

由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故①

此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下： x f′（x） f（x） （0，﹣ ↘ ） 0 最小值 （+ ↗ ，e] 又因为，当x→0时，2﹣a＞0，f（x）→+∞，

，

所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2）， 使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：

即

令h（a）=则h

，

，令h′（a）=0，得a=0或a=2，

故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增； 当

所以，对任意

时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．

，有h（a）≤h（0）=0，

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即②对任意由③式解得：

恒成立． ．④

综合①④可知，当a的范围是,23 时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的e1xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立．

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