【人教版】数学八年级下学期《期中考试题》(含答案)

1. 下列各式:A. 1个

2. 2019021等于( ) A 2

B. 0

C.

7纳米就是0.000000007是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，3. 中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，米，数据0.000000007用科学记数法表示为( ) A. 0.7×10-8

B. 7×10-8

C. 7×10-9

4. 如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是( )

.人教版八年级下学期期中考试数学试题

abx35yab1 , ，，， 中，是分式共有( )

xabm2B. 2个

C. 3个

D. 4个

1 2

A. 10 B. 12 C. 15

5. 2017年世界未来委员会与联合国防治荒漠化公约授予我国“未来政策奖”，以表彰我国在防治土地荒漠化方面的突出成就．如图是我国荒漠化土地面积统计图，则荒漠化土地面积是五次统计数据的中位数的年份是( )

的D. -2019 D. 7×10-10 D. 20 D. 2014年

A. 1999年 B. 2004年 C. 2009年

，AC=16，则图中长度为8的线6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°段有（ ）

精品数学期中测试

A. 2条 B. 4条 C. 5条 D. 6条

7. A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）

48489 x4x448 +4＝9 C. xA. 48489 4x4x96969 D.

x4x4B.

8. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，AD＝5，DH⊥AB于点H，则DH的长为( )

A. 24 B. 10 C. 4.8 D. 6

9. 已知a2b26ab，且a>b>0，则A.

ab的值为( ) abC. 2

D. ±2

2 B. ±2

10. 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论:①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题

x29

当x __________时,分式的值为零. 11. 分式

x3

12. 计算:

2a4＝_____． a22a13. 商店某天销售了11件衬衫，其领口尺寸统计如下表:

精品数学期中测试

领口尺寸（单位:cm） 件数 38 1 39 4 40 3 41 1 42 2 则这11件衬衫领口尺寸的中位数是________cm． 14. 若关于x的分式方程

xm无解，则m的值为__________ 2x3x315. 如图，平行四边形ABCD中，AB8，BC12，∠B120，点E是BC的中点，点P在ABCD的边上，若PBE为等腰三角形，则EP的长为__________．

，连接CP，过点P作16. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合）PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．

（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ=_________；

（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ=___________．

三、解答题

117. 计算:53.14

20118. 解方程:

2362x1x1x1

2m216）2，其中m＝2019． 19. 先化简，再求值:（1﹣

m2m2m20. 如图，BD是▱ABCD对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证:AE=CF．

.精品数学期中测试

21. 某校八年级在一次广播操比赛中，三个班的各项得分如下表: 八（1）班 八（2）班 八（3）班

(1) 填空:根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是_________；在动作准确方面最有优势的是_________班

(2) 如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面按20%、30%、50%的比例计算各班的得分，请通过计算说明哪个班的得分最高．

22. 如图，在▱ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥DB，且CF＝DE，连接AE，BF，EF

服装统一 80 97 90 动作整齐 84 78 78 动作准确 87 80 85

（1）求证:△ADE≌△BCF；

（2）若∠ABE+∠BFC＝180°，则四边形ABFE是什么特殊四边形？说明理由． 23. 阅读下列材料:

∵

111111111111,,13233523557257,1111

171921719∴

1111111111191 1335577917192335171919解答问题: （1）在式

111中，第六项为 ，第n项为 ，上述求和的想法是通过逆133557用 法则，将式中各分数转化为两个实数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 从而

精品数学期中测试

达到求和的目的． （2）解方程

1115

x(x2)(x2)(x4)(x8)(x10)24，过P作PECP，且CPPE，连接24. 已知正方形ABCD，P为边AB上一点(P不与A、B重合）

AE．

（1）如图1，求EAD的度数；

（2）如图2，连接CE交BD于G，求证:AE2DG2CD； （3）如图2，当BC10，PA6，则BG （直接写出结果）

25. 在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作▱ECFG.

(1)如图1，证明▱ECFG为菱形；

(2)如图2,若∠ABC=120°,连接BG、CG,并求出∠BDG的度数: (3)如图3,若∠ABC=90°，AB=6,AD=8,M是EF的中点，求DM的长.

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答案与解析

一、选择题

1. 下列各式:A. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】

abx35yab1 , ，，， 中，是分式的共有( )

xabm2B. 2个

C. 3个

D. 4个

A，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式，进行判断即可． Babx31 【详解】解:， ， 这三个式子分母中都含有字母，因此是分式．

xmab根据分式的定义，形如故选:C

【点睛】本题考查了分式的定义，注意2. 2019021等于( ) A. 2 【答案】C 【解析】 【分析】

根据0指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可得答案． 【详解】2019021=1×故选:C．

【点睛】本题考查0指数幂及负整数指数幂，任何不为0的数的0次幂都等于1，熟练掌握运算法则是解题关键．

7纳米就是0.000000007是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，3. 中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，米，数据0.000000007用科学记数法表示为( ) 10-8 A. 0.7×【答案】C 【解析】

10-8 B. 7×

10-9 C. 7×

10-10 D. 7×

B. 0

C.

5y中，π表示圆周率，是常数，所以

5y不是分式，是整式．

1 2D. -2019

11=， 22精品数学期中测试

【分析】

10-n，其中1≤|a|＜10，与较大数的科学计数法不绝对值小于1的数也可以用科学计数法表示，一般形式为a×

同的是其使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 10-9， 【详解】0.000000007=7×故选:C．

10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不【点睛】题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×为零的数字前面的0的个数决定．

4. 如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是( )

A. 10 【答案】C 【解析】

B. 12 C. 15 D. 20

试题分析:∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD． 又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形． ∴△ABD的周长=3AB=15． 故选C．

5. 2017年世界未来委员会与联合国防治荒漠化公约授予我国“未来政策奖”，以表彰我国在防治土地荒漠化方面的突出成就．如图是我国荒漠化土地面积统计图，则荒漠化土地面积是五次统计数据的中位数的年份是( )

A. 1999年 B. 2004年 C. 2009年 D. 2014年

精品数学期中测试

【答案】C 【解析】 【分析】

把数据的年份从小到大排列，根据中位数的定义即可得答案，

【详解】把数据的年份从小到大排列为:2014年、1994年、2009年、2004年、1999年， ∵中间的年份是2009年，

∴五次统计数据的中位数的年份是2009年， 故选:C．

【点睛】本题考查中位数，把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字(或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．

，AC=16，则图中长度为8的线6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°段有（ ）

A. 2条 【答案】D 【解析】 【分析】

B. 4条 C. 5条 D. 6条

根据矩形性质得出DC=AB，BO=DO=

11BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，推出BO=OD=AO=OC=8，再22证得△ABO是等边三角形，推出AB=AO=8=DC，由此即可解答． 【详解】∵AC=16，四边形ABCD是矩形， ∴DC=AB，BO=DO=

11BD，AO=OC=AC=8，BD=AC， 22∴BO=OD=AO=OC=8， ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°，

∴△ABO是等边三角形， ∴AB=AO=8， ∴DC=8，

精品数学期中测试

即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条， 故选D．

【点睛】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，矩形的对角线互相平分且相等，矩形的对边相等．

7. A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中速度为x千米/时，则可列方程（ ）

48489 x4x448 +4＝9 C. xA. 【答案】A 【解析】 【分析】

根据轮船在静水中的速度为x千米/时可进一步得出顺流与逆流速度，从而得出各自航行时间，然后根据两次航行时间共用去9小时进一步列出方程组即可. 【详解】∵轮船在静水中的速度为x千米/时， ∴顺流航行时间为:

4848，逆流航行时间为:， x4x448489， ∴可得出方程:

x4x4故选:A．

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握顺流与逆流速度的性质是解题关键． 8. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，AD＝5，DH⊥AB于点H，则DH的长为( )

的C. 4.8

D. 6

48489 4x4x96969 D.

x4x4B.

A. 24 【答案】C 【解析】 【分析】

B. 10

运用勾股定理可求DB的长，再用面积法可求DH的长．

精品数学期中测试

【详解】解:∵四边形ABCD是菱形，AC＝8， ∴AC⊥DB，OA＝4， ∵AD＝5，

∴运用勾股定理可求OD＝3， ∴BD＝6． ∵

1×6×8＝5DH， 2∴DH＝4.8. 故选C．

【点睛】本题运用了菱形的性质和勾股定理的知识点，运用了面积法是解决本题的关键． 9. 已知a2b26ab，且a>b>0，则A. 2 【答案】A 【解析】

【分析】已知a2+b2=6ab，变形可得（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，可以得出（a+b）和（a-b）的值，即可得出答案．

【详解】∵a2+b2=6ab，

∴（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab， ∵a＞b＞0，

∴a+b=8ab，a-b=4ab， ∴

B. ±2

ab的值为( ) abC. 2

D. ±2

ab8ab=2， ab4ab故选A.

【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a、b的大小关系以及本身的正负关系．

10. 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论:①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）.

精品数学期中测试

A. 1个 【答案】D 【解析】

B. 2个 C. 3个 D. 4个

分析:如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；

详解:如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．

∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH，

∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG，

∵DF=FC，∠DFE=∠CFG， ∴△DFE≌△FCG， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ， ∴∠AEB=90°∵AD∥BC，

， ∴∠AEB=∠EBG=90°∴BF=EF=FG，故②正确， ∵S△DFE=S△CFG，

精品数学期中测试

∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四边形BCFH是平行四边形， ∵CF=BC，

∴四边形BCFH是菱形， ∴∠BFC=∠BFH，

∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE，

∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故选D．

点睛:本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题

x29

当x __________时,分式的值为零. 11. 分式

x3

【答案】= -3 【解析】 【分析】

根据分子为0，分母不为0时分式的值为0来解答. 【详解】根据题意得:

x290 且x-3 0

解得:x= -3 故答案为= -3.

【点睛】本题考查的是分式值为0的条件，易错点是只考虑了分子为0而没有考虑同时分母应不为0. 12. 计算: 【答案】2 【解析】

2a4＝_____． a22a精品数学期中测试

【分析】

根据分式的性质，先将异分母化成同分母，再相加计算即可. 【详解】解:原式＝

2a4 a2a22a4 a2＝2， 故答案为2

【点睛】考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13. 商店某天销售了11件衬衫，其领口尺寸统计如下表: 领口尺寸（单位:cm） 件数 38 1 39 4 40 3 41 1 42 2 则这11件衬衫领口尺寸的中位数是________cm． 【答案】40 【解析】 【分析】

根据中位数的概念，中位数，是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据，再根据题中所给表格，找出中位数.

【详解】将所卖衬衫按照领口尺寸从小到大排列后，处于中间的衬衫领口尺寸为40cm，此中位数是40cm 故答案:40

【点睛】本题首先要掌握中位数的概念，能看懂题中所给表格，根据中位数的概念来解答的. 14. 若关于x的分式方程【答案】3 【解析】 【分析】

首先将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，再根据分式方程无解确定x的值，然后再求m的值. 【详解】解:去分母得:x−2（x−3）＝m， 解得:x＝6−m，

由分式方程无解可得:x＝3，即6−m＝3， 解得:m＝3，

xm无解，则m的值为__________ 2x3x3精品数学期中测试

故答案为3.

【点睛】本题考查了分式方程无解问题．分两种情况:一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根． 15. 如图，平行四边形ABCD中，AB8，BC12，∠B120，点E是BC的中点，点P在ABCD的边上，若PBE为等腰三角形，则EP的长为__________．

【答案】63或57或6 【解析】 【分析】

根据点P所在的线段分类讨论，再分析每种情况下PBE腰的情况，然后利用直角三角形的性质和勾股定理分别求值即可．

【详解】解:①当点P在AB上时,由∠ABC=120°,此时PBE只能是以∠PBE为顶角的等腰三角形,BP=BE,过点B作BF⊥PE于点F,如下图所示

∴∠FBE=

1∠ABC=60°,EP=2EF 2∴∠BEF=90°－∠FBE=30° ∵BC12，点E是BC的中点 ∴BE=

1BC6 2在Rt△BEF中，BF=

1BE3 2根据勾股定理:EF=BE2BF233 精品数学期中测试

∴EP=2EF=63；

②当点P在AD上时，过点B作BF⊥AB于F，过点P作PG⊥BC，如下图所示

∵∠ABC=120° ∴∠A=60°

∴∠ABF=90°－∠A=30° 在Rt△ABF中AF=

1AB4，BF=AB2AF243BE 2∴BP≥BF＞BE，EP≥BF＞BE

∴此时PBE只能是以∠BPE为顶角的等腰三角形,BP=PE, ∴PG=BF=43，EG=

1BE3 2根据勾股定理:EP=PG2GE257；

③当点P在CD上时，过点E作EF⊥CD于F，过点B作BG⊥CD

由②可知:BE的中垂线与CD无交点， ∴此时BP≠PE

∵∠A=60°，四边形ABCD为平行四边形 ∴∠C=60°

在Rt△BCG中，∠CBG=90°－∠C=30°，CG=根据勾股定理:BG=BC2CG263BE ∴BP≥BG＞BE

∵EF⊥CD，BG⊥CD，点E为BC的中点 ∴EF为△BCG的中位线

1BC6 2精品数学期中测试

∴EF=

1BG33BE 2∴此时PBE只能是以∠BEP为顶角的等腰三角形,BE=PE=6． 综上所述:EP的长为63或57或6． 故答案为:63或57或6

【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质和勾股定理，掌握三线合一、30°所对的直角边是斜边的一半、利用勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．

，连接CP，过点P作16. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合）PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．

（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ=_________；

（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ=___________．

【答案】 (1). 【解析】 【分析】

4 (2). ２ 3（1）由全等三角形的性质得到DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理求解即可． （2）过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，得出ME=DF=线的性质定理求解即可．

【详解】（1）∵△CDQ≌△CPQ， ∴DQ=PQ，PC=DC， ∵AB=DC=5，AD=BC=3， ∴PC=5，

在RT△PBC中，PB5，然后用梯形的中位2PC2BC252324，

∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1， 设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x， 在RT△PAQ中，(3x)x1，

222精品数学期中测试

解得x44，∴AQ=． 33，

（2））如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB

∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°，∴∠PME+∠DMF=90°， ∵∠FDM+∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME，

∵M是QC的中点，根据直角三角形直线的性质求得DM=PM=

1QC， 2在△MDF和△PME中，∵∠MDF=∠PME，∠DFM=∠MEP，DM=PM， ∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME=DF，PE=MF， ∵EF⊥CD，AD⊥CD， ∴EF∥AD， ∵QM=MC， ∴DF=CF=∴ME=

51DC=， 225， 2∵ME是梯形ABCQ的中位线， ∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3， ∴AQ=2．

【点睛】熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，及梯形中位线的使用，是解题的关键．

三、解答题

117. 计算:53.14. 201【答案】6. 【解析】 【分析】

负数的绝对值为其相反数，非0的实数的零次方为1，求解.

精品数学期中测试

【详解】原式=5+1-2+2=6．

【点睛】本题考查绝对值，乘方，解题的关键是清楚负数的绝对值为其相反数，非0的实数的零次方为1. 18. 解方程:

236. 2x1x1x1【答案】方程无解 【解析】 【分析】

先去分母得到整式方程，再解所得的整式方程即可，注意解分式方程最后要写检验. 【详解】解:去分母得解得经检验

是原方程的增根

2362 x1x1x1

∴原方程无解. 考点:解分式方程

点评:解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.

2m216）2，其中m＝2019． 19. 先化简，再求值:（1﹣

m2m2m【答案】

2019 2023【解析】 【分析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．

m22m（m2）m4m（m2）m）••． m2m2（m4）（m4）m2（m4）（m4）m420192019当m=2019时，原式．

201942023【详解】原式=（

【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20. 如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证:AE=CF．

精品数学期中测试

【答案】详见解析. 【解析】

试题分析:根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，再由平行线的性质证得∠ABE=∠CDF，根据AE⊥BD，CF⊥BD可得∠AEB=∠CFD=90°，由AAS证得△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质即可证得结论．

试题解析:证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°， 在△ABE和△CDF中，

，

， ∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE=CF．

考点:平行四边形的性质；全等三角形的判定及性质.

21. 某校八年级在一次广播操比赛中，三个班的各项得分如下表: 八（1）班 八（2）班 八（3）班

(1) 填空:根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是_________；在动作准确方面最有优势的是_________班

服装统一 80 97 90 动作整齐 84 78 78 动作准确 87 80 85 精品数学期中测试

(2) 如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面按20%、30%、50%的比例计算各班的得分，请通过计算说明哪个班的得分最高．

【答案】（1）89；八（1）；（2）八（1）班得分最高． 【解析】 【分析】

（1）用算术平均数的计算方法求得三个班的服装统一的平均数，找到动作准确的分数最高即可； （2）利用加权平均数分别计算三个班的得分后即可得解． 【详解】解:（1）服装统一方面的平均分为:动作准确方面最有优势的是八（1）班； 故答案为:89；八（1）；

（2）∵八（1）班的平均分为:8020%8430%8750%=84.7分； 八（2）班的平均分为:9720%7830%8050%=82.8分； 八（3）班的平均分为:9020%7830%8550%=83.9分； ∴得分最高的是八（1）班．

【点睛】本题考查了平均数和加权平均数计算．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数与原数据的单位相同，不要漏单位．

22. 如图，在▱ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥DB，且CF＝DE，连接AE，BF，EF

809790=89分；

3

（1）求证:△ADE≌△BCF；

（2）若∠ABE+∠BFC＝180°，则四边形ABFE什么特殊四边形？说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABFE是菱形 【解析】 【分析】

（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；

（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答即可．

的【详解】证明:（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC． ∵CF∥DB，∴∠BCF=∠DBC，∴∠ADB=∠BCF

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在△ADE与△BCF中

DE＝CFADE＝CBFAD＝BC， ∴△ADE≌△BCF（SAS）．

（2）四边形ABFE是菱形

理由:∵CF∥DB，且CF=DE，∴四边形CFED是平行四边形，∴CD=EF，CD∥EF．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=EF，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形． ∵△ADE≌△BCF，∴∠AED=∠BFC．

∵∠AED+∠AEB=180°，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴四边形ABFE是菱形．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答．

23. 阅读下列材料:

∵

111111111111,,13233523557257,1111

1719217191111111111191 ∴1335577917192335171919解答问题: （1）在式

111中，第六项为 ，第n项为 ，上述求和的想法是通过逆133557用 法则，将式中各分数转化为两个实数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 从而达到求和的目的． （2）解方程

1115

x(x2)(x2)(x4)(x8)(x10)2411【答案】（1），，分式的加减法，相互抵消

1113(2n1)(2n1) （2）x12或x2 【解析】 【分析】

（1）观察式子可得，每一项的分母为相邻两个奇数的积，据此可得第六项，第n项的表达式；而运算过程采用的是分式的加减法，达到相互抵消的目的

（2）根据（1）的规律得出相互抵消后的结果，按照分式方程的解法运算即可

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【详解】（1）第一空:根据以上分析可得，分母为相邻两个奇数的积；第一项分母为13，第二项分母为35，……，依此类推，得第六项分母为1113，故第六项为:

1

1113第二空:又因为奇数的表示为2n1，故相邻两个奇数的表示为:2n1，2n1，故第n项的表示为:

1

(2n1)(2n1)第三空:运算过程是逆用分式的加减法，故填写:分式的加减法 第四空:运算过程是为了达到相互抵消的目的，故填写:相互抵消 （2）

1115

x(x2)(x2)(x4)(x8)(x10)24化简得:

1111xx2x2x41115)即:(

2xx1024115 x8x1024方程两边都乘24x(x+10)，得

12(x+10)12x5x(x10)

解得:x12或x2

检验:当x12时， 24x(x+10)0 当x2时，24x(x+10)0 故x12或x2是原分式方程的解 故答案为:x12或x2

【点睛】本题熟知分式加减法的逆向运用，即分式方程的解法，是解题的关键

，过P作PECP，且CPPE，连接24. 已知正方形ABCD，P为边AB上一点(P不与A、B重合）

AE．

（1）如图1，求EAD的度数；

（2）如图2，连接CE交BD于G，求证:AE2DG2CD； （3）如图2，当BC10，PA6，则BG （直接写出结果）

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【答案】（1）∠EAD=45°；（2）证明见详解；（3）72 【解析】 【分析】

HE=PB，（1）如图1中，作EH⊥BA于H．只要证明△HPE≌△CBP，推出BC=PH=AB，推出PB=AH=EH，推出∠HAE=45°，即可解决问题；

（2）作EK∥AB交BD于K．首先证明四边形ABKE是平行四边形，再证明△GEK≌△GCD，可得GD=GK，根据BD=2CD，即可解决问题； （3）利用（1）（2）中结论即可解决问题； 详解】(1)如图1中，作EH⊥BA于H.

【

∵四边形ABCD是正方形， ∵EP⊥PC， ∴∠EPC=90°， ∴∠HPE=∠BCP， 在△HPE和△CBP中，

∴∠B=∠BAD=∠HAD=90°，AB=BC，

∴∠BPC+∠HPE=90°,∠BPC+∠BCP=90°，

HB90HPEBCP PEPC∴△HPE≌△CBP， ∴BC=PH=AB，HE=PB，

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∴PB=AH=EH， ∴∠HAE=45°， ∴∠EAD=45°.

（2）证明:作EK∥AB交BD于K.

∵∠EAD=∠ADB=45°， ∴AE∥BK, ∵AB∥EK，

∴四边形ABKE是平行四边形， ∴EK=AB=CD，AE=BK， ∵AB∥CD,∴EK∥CD， ∴∠GEK=∠GCD， ∴△GEK≌△GCD， ∴GD=GK，

∵BD=2CD，BD=BK+DK=AE+2DG， ∴AE+2DG=2CD.

（3）由(1)可知AE=42,由(2)可知42+2DG=102， ∴DG=32， ∵BD=102， ∴BG=72 【点睛】本题主要考查正方形的综合应用，熟练的在其中找到可以使用的全等三角形，平行四边形并进行证明，可得出相应结论，同时对已证结果的直接使用，也很重要

25. 在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作▱ECFG.

(1)如图1，证明▱ECFG为菱形；

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(2)如图2,若∠ABC=120°,连接BG、CG,并求出∠BDG的度数: (3)如图3,若∠ABC=90°，AB=6,AD=8,M是EF的中点，求DM的长.

【答案】（1）见解析；（2）∠BDG=60°；（3）DM=52 【解析】 【分析】

（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题； =∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出△BEG≌△DCG（2）先判断出∠BEG=120°

（SAS），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；

（3）连接BM，MC，结合题意，根据矩形的判定得到四边形ABCD和四边形ECFG为正方形.因为∠BAF=∠DAF，则BE=AB=DC，因为M为EF中点，所以∠CEM=∠ECM=45°，故∠BEM=∠DCM=135°，根据全等三角形的判定(SAS)得到△BME≌△DMC，则由全等三角形的性质可得MB=MD，∠DMC=∠BME.结合题意得到等腰直角三角形.根据勾股定理得到BD=10，故DM=52. 【详解】(1)证明: ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE， ∴∠CEF=∠CFE， ∴CE=CF，

又∵四边形ECFG是平行四边形， ∴四边形ECFG

菱形；

(2)结论:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC，

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∵∠ABC=120°，

∴∠BCD=60°,∠BCF=120° 由(1)知，四边形CEGF是菱形， ∴CE=GE,∠BCG=

1∠BCF=60°， 2∴CG=GE=CE,∠DCG=120°， ∵EG∥DF，

∴∠BEG=120°=∠DCG， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， ∴BE=CD，

∴△BEG≌△DCG(SAS)， ∴BG=DG，∠BGE=∠DGC， ∴∠BGD=∠CGE， ∵CG=GE=CE，

∴△CEG是等边三角形， ∴∠CGE=60°， ∴∠BGD=60°， ∵BG=DG，

∴△BDG是等边三角形， ∴∠BDG=60°；

(3)如图2中，连接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，

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∴四边形ABCD是矩形， 又由(1)可知四边形ECFG为菱形， ∠ECF=90°，

∴四边形ECFG为正方形. ∵∠BAF=∠DAF， ∴BE=AB=DC， ∵M为EF中点， ∴∠CEM=∠ECM=45°， ∴∠BEM=∠DCM=135°， 在△BME和△DMC中，

∵BE=CD,∠BEM=∠DCM，EM=CM, ∴△BME≌△DMC(SAS)， ∴MB=MD， ∠DMC=∠BME.

∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°， ∴△BMD是等腰直角三角形. ∵AB=6，AD=8，则BD=AB2AD26282=10，∴DM=52.

【点睛】本题考查全等三角形的判定(SAS)和性质、菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定(SAS)和性质、菱形的判定.

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