四川2023年大专生专升本数学考试及答案 (1)



2.在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC（3

A．2



2B．3



2C．3

3D．2

）.

）.

π

ycosx

3的图象，只需将函数ysinx的图像（3.为得到函数

π

A．向左平移6个长度单位5π

C．向左平移6个长度单位

π

B．向右平移6个长度单位5π

D．向右平移6个长度单位

）.

4.函数f(x)x|lgx|在定义域上零点个数为（A．1

B．2

C．3

）.D．4

5.如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（A．1

1B．2

1C．3

1D．6

）.

6.一个等差数列{an}中，a1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下项的平均值是4，则抽取的是(A.a11

B.a10

)

C.a9

D.a8

7.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)满足f(9)=2,则f－1(log92)等于(A.2

B.21C.2

)

D.±28.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a,则三棱锥D—ABC的体积为(

a3A.6

)

a3B.12

33aC.1223aD.129.设O、A、B、C为平面上四个点，OA=a，OB=b，OC=c，且a+b+c=0，a·b=b·c=c·a=－1,则|a|+|b|+|c|等于(A.22B.23)C.32D.3310.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2 f(x)，且当x(0,1]时，f(x)x(x1).若对任意x(,m]，都有

9,4A．5,2C．

f(x)

8

9，则m的取值范围是（

）

7,3B．8,

3D．

11.已知

1A．533πa∈（0，2），2sin2α=cos2α+1，则

55sinα=（）

B．C．

25D．5x2y2212abC：（a>0，b>0）的右焦点，O

12.设F为双曲线

为坐标原点，以OF为直径

）

的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（A．2B．3C．2D．5二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）

1、如果ABC的三个内角A，B，C成等差数列，则B一定等于______.2、已知tan2，

tan（）

1

7，则tan的值为______

.

3．如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是______.

4

yx(x0)

x4．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0

的距离的最小值是______.三、大题：(满分70分)1、已知函数

x3xbf(x)x，{an}是等差数列，且a2f(1)，a3f(2)，a4f(3)．

（1）求{an}的前n项和；（2）求f(x)的极值．

2、已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.3.（本题满分12分）已知四边形ABCD是菱形，BAD60

0

四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，G、H分别是CE、CF的中点.(1)求证：平面AEF//平面BDGH

(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60，

0

求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值

4.设

P(x1,y1),Q(x2,y2)

2y是抛物线2px(p0)上相异两点，Q、P到y轴的距离的积为4

且OPOQ0．

（1）求该抛物线的标准方程.

（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．

5.已知椭圆C1以直线

（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；

所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．

（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若6.已知函数

，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．（a∈R）．

（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；

（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．

参：一、选择题：1-5题答案:CDCCC6-10题答案:ABDCB11-12题答案:BA二、填空题：1、60;2、3；3、10；4、4.三、大题：1、【解析】（1）由

x3xbf(x)x11b232bba2f(1)b2a3f(2)5122得，，

bb333bb(b2)(10)2(5)a4f(3)103233，由于{an}为等差数列，a2a42a3，即，解

a3b6b6552a4101082233，，设数列{an}的公

得b6，a2b2624，

差为d，则da3a26，首项a1a2d10，故数列{an}的通项公式为ana1(n1)d6n16，

数列{an}的前n项和为

Snn(a1an)n(106n16)3n213n22；

62x362(x33)x3xbx3x662f(x)x1(x0)f(x)2x22xxx2xxx（2）法一（导数法）：，

，

33333f(x)0f(x)(,3)上单调递减，x30x3当，即时，，函数在当x30，即x3时，f(x)0，函数f(x)在(极小值为f(35333,)上单调递增，故函数f(x)在x33处取得极小值，且3)31，无极大值．

6x3xbx3x66f(x)x21f(x)x21(x0)xxxx，当x0时，

法二（基本不等式法）：

为单调递增函数，故f(x)在(0,)上无极值．当x0时，则

32536633336f(x)x21(x)2()1(x)2()()133(x)2()()10xxxxxxx，(x)23x33131，当且仅当，即x33时，等号成立．353综上所述，函数f(x)在x33处取得极小值，且极小值为f(3)31，无极大值．

【评注】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和、函数单调性及应用，数列与函数进行结合考查，综合性较强，属于中档题．2、解：

由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，3∴a＝－1或a＝－.2

则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．

37当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，

223∴a＝－.2

3.参：解:

（1）G、H分别是CE、CF的中点所以EF//GH------①

---1分连接AC与BD交

与O,因连-----3分

为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，

OG,OG是三角形ACE的中位线OG//AE-②

由①②知，平面AEF//平面BDGH----4分

（2）BFBD,平面BDEF平面ABCD，所以BF平面ABCD-------5分



取EF的中点N,ON//BFON平面ABCD，建系{OB,OC,ON}B1，0，0,C0，3,0,F1，0，tAB2，BFt,则设

13t

H2,2,2

--------6分

13t

OB1,0,0,OH2,2,2

设平面BDGH的法向量为n1x,y,z

n1OBx0

13tyz0n1OHxn0,t,3n0,0,1222,所以1平面ABCD的法向量2----9

分

|cosn1,n2|

33t2

12

所以



CF1,3,32t,所以9,t3

----10分

,设直线CF与平面BDGH所成的角为63313131323sin|cosCF,n1|

→·OQ→＝0，则x1x2＋y1y2＝0，-1分4.参：解：（1）∵OP

又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得y12y22·＋y1y2＝0，y1y2＝－4p22p2p

(y1y2)22|x1x2|4p

4p2-------3分又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．

2y2x-------------4分所以抛物线的方程为:

（2）设直线PQ过点E(a,0）且方程为x＝my＋a

xmya

2联立方程组y2x消去x得y2－2my－2a＝0

y1y22m

y1y22a

∴①

设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR方程为x＝ny＋b,并设R(x3,y3)，同理可知，

y1y32n

y1y32b

y3by2a②--7分由①、②可得由题意，Q为线段RT的中点，

∴y3＝2y2，∴b=2a

又由（Ⅰ）知，y1y2＝－4，代入①，可得－2a＝－4∴∴

y1y38

a＝2．故b＝4．

∴

|PR|1n2|y1y3|1n2(y1y3)24y1y321n2n2842.当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值425.已知椭圆C1以直线

（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；

所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．

（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若

，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．

，

【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为可知直线所过定点为∴椭圆焦点在y轴，且c=

．，

依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为

；

（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），

∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，

（不是零向量），不合条件；

故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由

由韦达定理得∵

，得

．

．

，而点C（﹣1，0），

∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故

．

∴△OAB的面积为S△OAB=S△AOC+S△BOC

=

上式取等号的条件是∴直线的方程为6.已知函数

或

===．

，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．

．

（a∈R）．

（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若

．证明：当x＞0，且x≠1时，

．

【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），

…（1分）

方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）

①当时，△≤0，g'（x）≥0，

此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当若

时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，则x1＜x2≤0，

，

此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，

此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；

当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知∴考虑函数则

，…（7分），…（8分），

…（9分）

所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，x∈（1，+∞）时，从而当x＞0，且x≠1时，

．，可得，可得

，

，…（11分）