2.在ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,则ABAC(3
A.2
2B.3
2C.3
3D.2
).
).
π
ycosx
3的图象,只需将函数ysinx的图像(3.为得到函数
π
A.向左平移6个长度单位5π
C.向左平移6个长度单位
π
B.向右平移6个长度单位5π
D.向右平移6个长度单位
).
4.函数f(x)x|lgx|在定义域上零点个数为(A.1
B.2
C.3
).D.4
5.如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图,如果直角三角形的直角边长均为1,那么这个几何体的体积为(A.1
1B.2
1C.3
1D.6
).
6.一个等差数列{an}中,a1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取一项,余下项的平均值是4,则抽取的是(A.a11
B.a10
)
C.a9
D.a8
7.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)满足f(9)=2,则f-1(log92)等于(A.2
B.21C.2
)
D.±28.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D—ABC的体积为(
a3A.6
)
a3B.12
33aC.1223aD.129.设O、A、B、C为平面上四个点,OA=a,OB=b,OC=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1,则|a|+|b|+|c|等于(A.22B.23)C.32D.3310.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x1)2 f(x),且当x(0,1]时,f(x)x(x1).若对任意x(,m],都有
9,4A.5,2C.
f(x)
8
9,则m的取值范围是(
)
7,3B.8,
3D.
11.已知
1A.533πa∈(0,2),2sin2α=cos2α+1,则
55sinα=()
B.C.
25D.5x2y2212abC:(a>0,b>0)的右焦点,O
12.设F为双曲线
为坐标原点,以OF为直径
)
的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(A.2B.3C.2D.5二、填空题(共4小题,每小题5分;共计20分)
1、如果ABC的三个内角A,B,C成等差数列,则B一定等于______.2、已知tan2,
tan()
1
7,则tan的值为______
.
3.如图,长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是______.
4
yx(x0)
x4.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线上的一个动点,则点P到直线x+y=0
的距离的最小值是______.三、大题:(满分70分)1、已知函数
x3xbf(x)x,{an}是等差数列,且a2f(1),a3f(2),a4f(3).
(1)求{an}的前n项和;(2)求f(x)的极值.
2、已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求a.3.(本题满分12分)已知四边形ABCD是菱形,BAD60
0
四边形BDEF是矩形,平面BDEF平面ABCD,G、H分别是CE、CF的中点.(1)求证:平面AEF//平面BDGH
(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60,
0
求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值
4.设
P(x1,y1),Q(x2,y2)
2y是抛物线2px(p0)上相异两点,Q、P到y轴的距离的积为4
且OPOQ0.
(1)求该抛物线的标准方程.
(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与x轴交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.
5.已知椭圆C1以直线
(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程;
所过的定点为一个焦点,且短轴长为4.
(Ⅱ)已知椭圆C2的中心在原点,焦点在y轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍(λ>1),过点C(﹣1,0)的直线l与椭圆C2交于A,B两个不同的点,若6.已知函数
,求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.(a∈R).
(Ⅰ)讨论g(x)的单调性;
(Ⅱ)若.证明:当x>0,且x≠1时,.
参:一、选择题:1-5题答案:CDCCC6-10题答案:ABDCB11-12题答案:BA二、填空题:1、60;2、3;3、10;4、4.三、大题:1、【解析】(1)由
x3xbf(x)x11b232bba2f(1)b2a3f(2)5122得,,
bb333bb(b2)(10)2(5)a4f(3)103233,由于{an}为等差数列,a2a42a3,即,解
a3b6b6552a4101082233,,设数列{an}的公
得b6,a2b2624,
差为d,则da3a26,首项a1a2d10,故数列{an}的通项公式为ana1(n1)d6n16,
数列{an}的前n项和为
Snn(a1an)n(106n16)3n213n22;
62x362(x33)x3xbx3x662f(x)x1(x0)f(x)2x22xxx2xxx(2)法一(导数法):,
,
33333f(x)0f(x)(,3)上单调递减,x30x3当,即时,,函数在当x30,即x3时,f(x)0,函数f(x)在(极小值为f(35333,)上单调递增,故函数f(x)在x33处取得极小值,且3)31,无极大值.
6x3xbx3x66f(x)x21f(x)x21(x0)xxxx,当x0时,
法二(基本不等式法):
为单调递增函数,故f(x)在(0,)上无极值.当x0时,则
32536633336f(x)x21(x)2()1(x)2()()133(x)2()()10xxxxxxx,(x)23x33131,当且仅当,即x33时,等号成立.353综上所述,函数f(x)在x33处取得极小值,且极小值为f(3)31,无极大值.
【评注】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和、函数单调性及应用,数列与函数进行结合考查,综合性较强,属于中档题.2、解:
由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,3∴a=-1或a=-.2
则当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去.
37当a=-时,a-2=-,2a2+5a=-3,
223∴a=-.2
3.参:解:
(1)G、H分别是CE、CF的中点所以EF//GH------①
---1分连接AC与BD交
与O,因连-----3分
为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,
OG,OG是三角形ACE的中位线OG//AE-②
由①②知,平面AEF//平面BDGH----4分
(2)BFBD,平面BDEF平面ABCD,所以BF平面ABCD-------5分
取EF的中点N,ON//BFON平面ABCD,建系{OB,OC,ON}B1,0,0,C0,3,0,F1,0,tAB2,BFt,则设
13t
H2,2,2
--------6分
13t
OB1,0,0,OH2,2,2
设平面BDGH的法向量为n1x,y,z
n1OBx0
13tyz0n1OHxn0,t,3n0,0,1222,所以1平面ABCD的法向量2----9
分
|cosn1,n2|
33t2
12
所以
CF1,3,32t,所以9,t3
----10分
,设直线CF与平面BDGH所成的角为63313131323sin|cosCF,n1|
→·OQ→=0,则x1x2+y1y2=0,-1分4.参:解:(1)∵OP
又P、Q在抛物线上,故y12=2px1,y22=2px2,故得y12y22·+y1y2=0,y1y2=-4p22p2p
(y1y2)22|x1x2|4p
4p2-------3分又|x1x2|=4,故得4p2=4,p=1.
2y2x-------------4分所以抛物线的方程为:
(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x=my+a
xmya
2联立方程组y2x消去x得y2-2my-2a=0
y1y22m
y1y22a
∴①
设直线PR与x轴交于点M(b,0),则可设直线PR方程为x=ny+b,并设R(x3,y3),同理可知,
y1y32n
y1y32b
y3by2a②--7分由①、②可得由题意,Q为线段RT的中点,
∴y3=2y2,∴b=2a
又由(Ⅰ)知,y1y2=-4,代入①,可得-2a=-4∴∴
y1y38
a=2.故b=4.
∴
|PR|1n2|y1y3|1n2(y1y3)24y1y321n2n2842.当n=0,即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值425.已知椭圆C1以直线
(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程;
所过的定点为一个焦点,且短轴长为4.
(Ⅱ)已知椭圆C2的中心在原点,焦点在y轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍(λ>1),过点C(﹣1,0)的直线l与椭圆C2交于A,B两个不同的点,若
,求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.
,
【解答】解:(Ⅰ)所给直线方程变形为可知直线所过定点为∴椭圆焦点在y轴,且c=
.,
依题意可知b=2,∴a2=c2+b2=9.则椭圆C1的方程标准为
;
(Ⅱ)依题意,设椭圆C2的方程为,A(x1,y1),B(x2,y2),
∵λ>1,∴点C(﹣1,0)在椭圆内部,直线l与椭圆必有两个不同的交点.当直线l垂直于x轴时,
(不是零向量),不合条件;
故设直线l为y=k(x+1)(A,B,O三点不共线,故k≠0),由
由韦达定理得∵
,得
.
.
,而点C(﹣1,0),
∴(﹣1﹣x1,﹣y1)=2(x2+1,y2),则y1=﹣2y2,即y1+y2=﹣y2,故
.
∴△OAB的面积为S△OAB=S△AOC+S△BOC
=
上式取等号的条件是∴直线的方程为6.已知函数
或
===.
,即k=±时,△OAB的面积取得最大值.
.
(a∈R).
(Ⅰ)讨论g(x)的单调性;(Ⅱ)若
.证明:当x>0,且x≠1时,
.
【解答】(Ⅰ)解:由已知得g(x)的定义域为(0,+∞),
…(1分)
方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a.…(2分)
①当时,△≤0,g'(x)≥0,
此时,g(x)在(0,+∞)上为增函数;…(3分)②当若
时,设方程2x2+x﹣a=0的两根为,则x1<x2≤0,
,
此时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上为增函数;…(4分)若a>0,则x1<0<x2,
此时,g(x)在(0,x2]上为减函数,在(x2,+∞)上为增函数,…..…(5分)综上所述:当a≤0时,g(x)的增区间为(0,+∞),无减区间;
当a>0时,g(x)的减区间为(0,x2],增区间为(x2,+∞).…(6分)(Ⅱ)证明:由题意知∴考虑函数则
,…(7分),…(8分),
…(9分)
所以x≠1时,h'(x)<0,而h(1)=0…(10分)故x∈(0,1)时,x∈(1,+∞)时,从而当x>0,且x≠1时,
.,可得,可得
,
,…(11分)
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