2022年广东省中考数学试卷-含答案详解

绝密★启用前

2022年广东省中考数学试卷

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. |−2|=( ) A. −2

B. 2

C. −1

1

2

D. 2

2. 计算22的结果是( ) A. 1

B. √2

C. 2

D. 4

3. 下列图形中有稳定性的是( ) A. 三角形

B. 平行四边形

C. 长方形

D. 正方形

4. 如图，直线𝑎//𝑏，∠1=40°，则∠2=( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°

5. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=4，点𝐷，𝐸分别为𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，则𝐷𝐸=( )

第1页，共13页

……线…………○…………

A. 4 1

B. 2 1

C. 1 D. 2

6. 在平面直角坐标系中，将点(1,1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是( ) A. (3,1)

B. (−1,1)

C. (1,3)

D. (1,−1)

7. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为( ) A. 4 1

B. 3 1

C. 2 1

D. 3

2

8. 如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，一定正确的是( ) ……线…………○………… A. 𝐴𝐷=𝐶𝐷 B. 𝐴𝐶=𝐵𝐷 C. 𝐴𝐵=𝐶𝐷 D. 𝐶𝐷=𝐵𝐶

9. 点(1,𝑦1)，(2,𝑦2)，(3,𝑦3)，(4,𝑦4)在反比例函数𝑦=4

𝑥图象上，则𝑦1，𝑦2，𝑦3，

𝑦4中最小的是( ) A. 𝑦1

B. 𝑦2 C. 𝑦3 D. 𝑦4

10. 水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为𝑟，则圆周长𝐶与𝑟的关系式为𝐶=2𝜋𝑟.下列判断正确的是( ) A. 2是变量 B. 𝜋是变量 C. 𝑟是变量 D. 𝐶是常量

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 𝑠𝑖𝑛30°=______．

12. 单项式3𝑥𝑦的系数为______．

13. 菱形的边长为5，则它的周长是______．

14. 若𝑥=1是方程𝑥2−2𝑥+𝑎=0的根，则𝑎=______．

15. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积(结果保留𝜋)为 ．

第2页，共13页

…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○………………

……线…………○………… ……线…………○…………

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. (本小题8.0分)

3𝑥−2>1

解不等式组：{．

𝑥+1<3

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………17. (本小题8.0分)

先化简，再求值：𝑎+𝑎2

−1𝑎−1

，其中𝑎=5．

18. (本小题8.0分)

如图，已知∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐶，点𝑃在𝑂𝐶上，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，垂足分别为𝐷，𝐸.求证：△𝑂𝑃𝐷≌△𝑂𝑃𝐸．

19. (本小题9.0分)

《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则

多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？

20. (本小题9.0分)

物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度𝑦(𝑐𝑚)与所挂物体质量𝑥(𝑘𝑔)满足函数关系𝑦=𝑘𝑥+15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．

𝑥 0 2 5 𝑦 15 19 25 (1)求𝑦与𝑥的函数关系式；

(2)当弹簧长度为20𝑐𝑚时，求所挂物体的质量．

第3页，共13页

……线…………○…………

21. (本小题9.0分)

为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：

10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8

(1)补全月销售额数据的条形统计图．

……线…………○…………

(2)月销售额在哪个值的人数最多(众数)？中间的月销售额(中位数)是多少？平均月销售额(平均数)是多少？

(3)根据(2)中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销额定为多少合适？

22. (本小题12.0分)

如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，𝐴𝐶为⊙𝑂的直径，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵． (1)试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并给出证明； (2)若𝐴𝐵=√2，𝐴𝐷=1，求𝐶𝐷的长度．

23. (本小题12.0分)

如图，抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑏,𝑐是常数)的顶点为𝐶，与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，𝐴(1,0)，𝐴𝐵=4，点𝑃为线段𝐴𝐵上的动点，过𝑃作𝑃𝑄//𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝑄．

第4页，共13页

…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○………… (1)求该抛物线的解析式；

(2)求△𝐶𝑃𝑄面积的最大值，并求此时𝑃点坐标．

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:……校学………○○……………………外内……………………○○………………第5页，共13页

……线…………○…………

答案和解析

1.【答案】𝐵

【解析】解：根据绝对值的意义：|−2|=2， 故选：𝐵．

根据绝对值的意答即可．

……线…………○………… 本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解答本题的关键．

2.【答案】𝐷

【解析】解：22=4． 故选：𝐷．

利用有理数的乘方运算法则进行计算即可得出答案．

本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．

3.【答案】𝐴

【解析】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 故选：𝐴．

根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案． 本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．

4.【答案】𝐵

【解析】解：∵𝑎//𝑏，∠1=40°， ∴∠2=∠1=40°． 故选：𝐵．

利用平行线的性质可得结论．

本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解决本题的关键．

5.【答案】𝐷

【解析】解：∵点𝐷，𝐸分别为𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，𝐵𝐶=4， ∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线，

第6页，共13页

…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………

∴𝐷𝐸=2𝐵𝐶=2×4=2， 故选：𝐷．

由题意可得𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出𝐷𝐸的长度． 本题考查了三角形中位线，熟练掌握三角形中位线的定义和性质是解决问题的关键．

11

6.【答案】𝐴

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………【解析】解：将点(1,1)向右平移2个单位后，横坐标加2，所以平移后点的坐标为(3,1)， 故选：𝐴．

根据平面直角坐标系中点的坐标的平移特点解答即可．

本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点的平移规律是解答本题的关键．

7.【答案】𝐵

【解析】解：根据题意可得， 𝑃(从中任取1本书是物理书)=1

3． 故选：𝐵．

应用简单随机事件概率计算方法进行计算即可得出答案．

本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．

8.【答案】𝐶

【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴𝐴𝐵=𝐶𝐷， 故选：𝐶．

根据平行四边形的性质即可得出答案．

本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边相等的性质是解决问题的关键．

9.【答案】𝐷

【解析】解：∵𝑘=4>0，

∴在第一象限内，𝑦随𝑥的增大而减小，

∵(1,𝑦1)，(2,𝑦2)，(3,𝑦3)，(4,𝑦4)在反比例函数𝑦=4

𝑥

图象上，且1<2<3<4， ∴𝑦4最小．

第7页，共13页

……线…………○…………

故选：𝐷．

根据𝑘>0可知增减性：在每一象限内，𝑦随𝑥的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．

本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象的增减性是解答此题的关键．

10.【答案】𝐶

【解析】解：根据题意可得，

……线…………○………… 在𝐶=2𝜋𝑟中．2、𝜋为常量，𝑟是自变量，𝐶是因变量． 故选：𝐶．

根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．

本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义进行求解是解决本题的关键．

11.【答案】1

2

【解析】解：𝑠𝑖𝑛30°=12． 故答案为：1

2．

熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．

本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值进行求解是解决本题的关键．

12.【答案】3

【解析】解：单项式3𝑥𝑦的系数为3． 故答案为：3．

应用单项式的定义进行判定即可得出答案．

本题主要考查了单项式，熟练掌握单项式的定义进行求解是解决本题的关键．

13.【答案】20

【解析】解：∵菱形的四边相等，边长为5， ∴菱形的周长为5×4=20， 故答案为20．

根据菱形的性质即可解决问题；

第8页，共13页

…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………

本题考查菱形的性质、解题的关键是记住菱形的四边相等，属于中考基础题．

14.【答案】1

【解析】解：把𝑥=1代入方程𝑥2−2𝑥+𝑎=0中， 得1−2+𝑎=0， 解得𝑎=1． 故答案为：1．

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………把𝑥=1代入方程𝑥2−2𝑥+𝑎=0中，计算即可得出答案．

本题主要考查了一元二次方程的解，应用一元二次方程的解的定义进行求解是解决本题的关键．

15.【答案】𝜋

【解析】解：𝑆=𝑛𝜋𝑟2

=90𝜋×22

360360=𝜋．

故答案为：𝜋．

应用扇形面积计算公式进行计算即可得出答案．

本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解即可得出答案．

16.【答案】解：{

3𝑥−2>1①

𝑥+1<3②

，

由①得：𝑥>1， 由②得：𝑥<2，

∴不等式组的解集为1<𝑥<2．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 此题考查了解一元一次不等式组的解法，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

17.【答案】解：原式=𝑎(𝑎−1)+𝑎

2−1

𝑎−1

=

𝑎(𝑎−1)+(𝑎+1)(𝑎−1)

𝑎−1

=

(2𝑎+1)(𝑎−1)

𝑎−1 =2𝑎+1，

当𝑎=5时，原式=2×5+1=11．

第9页，共13页

……线…………○…………

【解析】原式通分并利用平方差公式分解因式，然后化简得到最简结果，把𝑎的值代入计算即可求出值．

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】证明：∵∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐶，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，

∴𝑃𝐷=𝑃𝐸，

在𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐷和𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐸中，

……线…………○………… {𝑃𝐷=𝑃𝐸𝑂𝑃=𝑂𝑃

,

∴𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐷≌𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐸(𝐻𝐿)， 即△𝑂𝑃𝐷≌△𝑂𝑃𝐸．

【解析】根据角平分线性质得出𝑃𝐷=𝑃𝐸，即可利用𝐻𝐿证明𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐷≌𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐸． 此题考查直角三角形全等的判定及角平分线性质，熟记直角三角形全等的判定定理是解题的关键．

19.【答案】解：设学生有𝑥人，该书单价𝑦元，

根据题意得：{8𝑥−𝑦=3𝑦−7𝑥=4，

解得：{𝑥=7

𝑦=53

．

答：学生有7人，该书单价53元．

【解析】设有𝑥人，该书单价𝑦元，根据“如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元钱”，即可得出关于𝑥，𝑦的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

20.【答案】解：(1)把𝑥=2，𝑦=19代入𝑦=𝑘𝑥+15中，

得19=2𝑘+15， 解得：𝑘=2，

所以𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=2𝑥+15； (2)把𝑦=20代入𝑦=2𝑥+15中， 得20=2𝑥+15， 解得：𝑥=2.5．

所挂物体的质量为2.5𝑘𝑔．

第10页，共13页

…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………

【解析】(1)把𝑥=2，𝑦=19代入𝑦=𝑘𝑥+15中，即可算出𝑘的值，即可得出答案； (2)把𝑦=20代入𝑦=2𝑥+15中，计算即可得出答案．

本题主要考查了函数关系式及函数值，熟练掌握函数关系式及函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键．

21.【答案】解：(1)销售4万元和8万元的人数分别为4和2，补全统计图，如图，

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………；

(2)根据条形统计图可得，

众数为：4(万元)，中位数为：5(万元)， 平均数为：

3×1+4×4+5×3+7×1+8×2+10×3+18×1

15=7(万元)

(3)应确定销售目标为7万元，要让一半以上的销售人员拿到奖励．

【解析】本题主要考查了条形统计图，中位数，众数，加权平均数，熟练掌握条形统计图，中位数，众数，加权平均数的计算方法进行求解是解决本题的关键． (1)根据销售成绩统计，即可得出销售4万元和8万元的人数，即可补充完整图形； (2)根据众数，中位数，加权平均数的计算方法进行求解即可得出答案； (3)根据(2)中的结论进行分析即可得出答案．

22.【答案】解：(1)△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，证明过程如下：

∵𝐴𝐶为⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∵∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵， ∴𝐴𝐵

⏜=𝐵𝐶⏜， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶， 又∵∠𝐴𝐵𝐶=90°，

∴△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形． (2)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=√2，

第11页，共13页

……线…………○…………

∴𝐴𝐶=2，

在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐷=1，𝐴𝐶=2， ∴𝐶𝐷=√3． 即𝐶𝐷的长为：√3．

【解析】(1)根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可； (2)根据勾股定理解答即可．

本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解……线…………○………… 答本题的关键．

23.【答案】(1)∵抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑏,𝑐是常数)的顶点为𝐶，与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，

𝐴(1,0)，𝐴𝐵=4， ∴𝐵(−3,0)， ∴{

1+𝑏+𝑐=0

9−3𝑏+𝑐=0

，

解得{𝑏=2𝑐=−3

，

∴抛物线的解析式为𝑦=𝑥2+2𝑥−3；

(2)过𝑄作𝑄𝐸⊥𝑥轴于𝐸，过𝐶作𝐶𝐹⊥𝑥轴于𝐹，

设𝑃(𝑚,0)，则𝑃𝐴=1−𝑚， ∵𝑦=𝑥2+2𝑥−3=(𝑥+1)2−4， ∴𝐶(−1,−4)， ∴𝐶𝐹=4，𝐴𝐵=4， ∵𝑃𝑄//𝐵𝐶， ∴△𝑃𝑄𝐴∽△𝐵𝐶𝐴， ∴𝐴𝑄

𝐴𝑃

𝐴𝐶=𝐴𝐵， ∵𝐶𝐹//𝑄𝐸，

第12页，共13页

…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………

∴△𝐴𝐸𝑄∽△𝐴𝐹𝐶，

∴

∴

𝑄𝐸𝐶𝐹𝐴𝑄𝑄𝐸

=

𝐴𝐶𝐶𝐹=

𝐴𝑃𝑄𝐸，即𝐴𝐵4=

1−𝑚

， 4∴𝑄𝐸=1−𝑚，

∴𝑆△𝐶𝑃𝑄=𝑆△𝑃𝐶𝐴−𝑆△𝑃𝑄𝐴

11

𝑃𝐴⋅𝐶𝐹−𝑃𝐴⋅𝑄𝐸 22=

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………=12(1−𝑚)×4−1

2(1−𝑚)(1−𝑚) =−1

2(𝑚+1)2+2， ∵−3≤𝑚≤1，

∴当𝑚=−1时 𝑆△𝐶𝑃𝑄有最大值2，

∴△𝐶𝑃𝑄面积的最大值为2，此时𝑃点坐标为(−1,0)．

【解析】(1)根据𝐴(1,0)，𝐴𝐵=4求出𝐵(−3,0)，把𝐴、𝐵的坐标代入抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，即可求解；

(2)过𝑄作𝑄𝐸⊥𝑥轴于𝐸，过𝐶作𝐶𝐹⊥𝑥轴于𝐹，设𝑃(𝑚,0)，则𝑃𝐴=1−𝑚，易证△𝑃𝑄𝐴∽△𝐵𝐶𝐴，利用相似三角形的性质即可表示出𝑄𝐸的长，又因为𝑆△𝐶𝑃𝑄=𝑆△𝑃𝐶𝐴−𝑆△𝑃𝑄𝐴，进而得到△𝐶𝑃𝑄面积和𝑚的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积最大值． 本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．此题综合性较强，中等难度，是一道很好的试题．

第13页，共13页