圆与相似的综合运用

一、考标要求:

(1）灵活掌握与圆有关的概念,定理，性质和判定。

（2)充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、•动态型问题、探索型问

题,并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计。 （3)综合运用圆、方程、函数、三角、•相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题． （4）考察了数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法；同时,考查学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力，以及创新意识和实践的能力．

二、典例精析

例1．如图，点A，B，C，D在延长DB到点F，使FBO上，ABAC，AD与BC相交于点E，AE1BD，连结AF． 2（1)证明△BDE∽△FDA；

（2）试判断直线AF与O的位置关系,并给出证明．

1

1ED,2A C E F B D

O

例2．如图，已知直线y = －m （x－4）(m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点,以OA为直径作半圆，圆心为C。 过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N,交AB于F，切点为P.连结CN、CM。

y T （1)证明：∠MCN=90°；

N (2）设OM＝x,AN＝y,求y关于x的函数解析式； B F (3）若OM=1,当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积. P M O C A x

【反馈练习】

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D

作⊙O的切线，交BC于点E。 （1）求证:点E是边BC的中点；

（2）若EC=3，BD=26,求⊙O的直径AC的长度；

（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC的形状,并说明理由。

2

2．如图,AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E,连结BE，DE．

（1）求证：BEDC； C

(2）若OA5，AD8，求AC的长．

E D

A

O

B

3． （本题满分12分)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC = 60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连结OC．

（1）求证:△CDQ是等腰三角形；

（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．

3

4、如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，与x轴的正半轴交于

A，B两点，A在B的左侧,且OA，OB的长是方程x212x270的两根,ON是

的切线，N为切点，N在第四象限． （1)求的直径．

（2）求直线ON的解析式．

y A M B x O

N

图1

4

5．如图12－1所示,在△ABC中,ABAC2，∠A90，O为BC的中点,动点E在BA边上自由移动,动点F在AC边上自由移动．

(1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF45的等腰三角形？若能，请指出△OEF为等腰三角形时动点E，F的位置．若不能，请说明理由．

(2)当∠EOF45时,设BEx，CFy,求y与x之间的函数解析式,写出x的取值范围．

（3)在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图12－2），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

A

A E F E F B C

O B C O 图12-1 图12-2

5

6．如图,A是以BC为直径的⊙O上一点，ADBC于点D,过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P． （1）求证:BFEF；

(2）求证:PA是⊙O的切线；

(3）若FGBF,且⊙O的半径长为32,求BD和FG的长度．

E A F G P B D O C

6

1、解：(1)在△BDE和△FDA中,

11BDED2BD，AEED,∴． 22FDAD3又∵BDEFDA， ∴△BDE∽△FDA． （2)直线AF与O相切． 证明：连结OA，OB，OC．

∵ABAC，BOCO，OAOA,∴△OAB≌△OAC．

∴OABOAC．所以AO是等腰三角形ABC顶角BAC的平分线． ∴AOBC．由△BDE∽△FDA，得EBDAFD．∴BE∥FA． 由AOBE知，AOFA．∴直线FA与O相切． ∵FB【点评】．这是一道利用圆内的有关性质，得出三角形相似的结论。再次巩固了全等三角形,相似三角形，平行线的知识，得出直线与圆的位置关系．同时同学们在做题的过程中，要注意思维的逻辑性和书写的规范性．

2、解（1）证明:∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径， ∴AT、OM是⊙C的切线．又∵MN切⊙C于点P

∴∠CMN=错误!∠OMN,∠CNM=错误!∠ANM ∵OM∥AN

y T ∴∠ANM＋∠OMN =180°∴∠CMN＋∠CNM =错误!∠OMN＋错误!

N ∠ANM B =错误!（∠OMN＋错误!∠ANM ）=90°， ∴∠CMN=90° 3 F G P （2)由（1）可知:∠1+∠2 = 90 °,而∠2 +∠3 = 90 0，∴∠1 =∠3；

M ∴Rt△MOC∽Rt△CAN ∴错误! = 错误! 2 1 A ∵直线y=－m（x – 4）交x轴于点A，交y轴于点B， C O ∴A（4，0)， ∴AC =CO = 2∵ OM= x，AN = y， ∵错误! = 错误! ∴y = 错误!

（3）∵ OM = 1，∴ AN =y = 4,此时S四边形ANMO = 10 ∵直线AB平分梯形ANMO的面积, ∴ △ANF的面积为5 过点F作FG⊥AN于G,则错误!FG·AN=5，∴FG= 错误! ∴点F的横坐标为4－错误! = 错误! ∵M（0，1），N（4,4） ∴直线MN的解析式为y= 错误!x＋1 ∵F点在直线MN上， ∴ F点的纵坐标为y= 错误! ∴ F(错误!，错误!) ∵点F又在直线y=－m（x－4)上 ∴错误! =－m（错误!－4) ∴m= 错误!

【点评】这是一道是几何与代数的相结合的中考压轴题．包含了相似的判定和性质，切线的性质等等；在变化中建立函数模型以及面积、坐标与线段之间的巧妙转化．的确是一道覆盖面广，综合性强的妙题．

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