人教版高中不等式复习讲义

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba (2)传递性：ab,bcac (3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd(同向可加) (4)乘法法则：ab,c0acbc； ab,c0acbc

ab0,cd0acbd(同向同正可乘)

(5)倒数法则：

ab,ab011ab (6)乘方法则：

ab0anbn(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

222设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，

2则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 0 0 0 yax2bxc （a0）的图象 yax2bxc yax2bxc yax2bxc 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2) x1x2b 2a xxx或xx 12bxx 2a  R xx1xx2  2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x) 0g(x)g(x)03、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA 若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

（四）基本不等式2

ab2

ab 2abab(当且仅当ab时取\"\"号). 221．若a,b∈R,则a+b≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2．如果a,b是正数，那么

ab变形： 有:a+b≥2ab；ab≤,当且仅当a=b时取等号.

23．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;

S2如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.

4注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可

以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且

仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解

（一） 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质

1. 对于实数中，给出下列命题：

①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧，则。 其中正确的命题是______

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

2. 设a2，pa

21，q2a4a2，试比较p,q的大小 a23. 比较1+logx3与2logx2(x0且x1)的大小

4. 若ab1,P是 .

lgalgb,Q1ab则P,Q,R的大小关系(lgalgb),Rlg()，

22

（二） 解不等式 题型三：解不等式

5. 解不等式

6. 解不等式(x1)(x2)20。

7. 解不等式

8. 不等式ax2bx120的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=_____, b=_______

5x1 2x2x3

9. 关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式

集为

10. 解关于x的不等式ax2(a1)x10

axb0的解x2题型四：恒成立问题

11. 关于x的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________

12. 若不等式x22mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范

围.

13. 已知x0,y0且

191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 xy

（三）基本不等式题型五：求最值

abab 214. （直接用）求下列函数的值域

11 2

（1）y＝3x＋ 2 （2）y＝x＋

2xx

15. （配凑项与系数）

（1）已知x

（2）当时，求yx(82x)的最大值。

5，求函数y4x21的最大值。 44x5

x27x10(x1)的值域。 16. （耐克函数型）求yx1

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x单调性。

17. （用耐克函数单调性）求函数y

18. （条件不等式）

（1） 若实数满足ab2，则3a3b的最小值是 .

（2） 已知x0,y0，且

（3） 已知x，y为正实数，且x＋

2

a的xx25x42的值域。

191，求xy的最小值。 xyy 2

2

＝1，求x1＋y 的最大值.

21

（4） 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.

ab

题型六：利用基本不等式证明不等式

19. 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a

20. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

21. 已知a、b、cR，且abc1。求证：

题型七：均值定理实际应用问题：

22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m的三级污水处理池（平面图如图），如

果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

2

2b2c2abbcca

1111118 abc

（四）线性规划

题型八：目标函数求最值

23. 满足不等式组，求目标函数的最大值

已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,．则的取值范围是 24.

x03x4y4y022xy2x的最小值是 x,y25. 已知满足约束条件： ,则

26. 已知变量（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为 。

y1，27. 已知实数x，y满足y2x1，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于

xym．（ ）

题型九：实际问题

28. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30

元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

复习――不等式的基本知识参

高中数学必修内容练习---不等式

1. 2. 3.

②③⑥⑦⑧；

pq；

当0x1或x44时，1+logx3＞2logx2；当1x时，1+logx3＜2logx2；当33x4.

∵a4时，1+logx3＝2logx2 3b1 ∴

lga0,lgb0Q1（lgalgb)lgalgbp 2ab1Rlg()lgablgabQ ∴R>Q>P。

225. 6. 7.

{x|x1或x2}；

； (1,1)(2,3)）不等式ax28. 9.

bx120的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=___-6____, b=__6_____

(,1)(2,)）.

10. 解：当a＝0时，不等式的解集为xx1； 2分

当a≠0时，a(x－

11)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0

aa1....................................... 6分 ； a不等式的解集为xx1或x当0＜a＜1时，1＜

11，不等式的解集为x1x； ...................... 8分

aa11当a＞1时，＜1，不等式的解集为xx1； ........................ 10分

aa当a＝1时，不等式的解为φ． ............................................ 12分

11. _____0≤x＜4________ 12. 13.

m1） 2m,16

1 2

14. 解：（1）y＝3x＋ 2 ≥22x1

（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2

x

1 2

3x· 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

2x1

x· ＝2；

x

1

x· =－2 x

11

当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2

xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

15. （1）解

511x,54x0，y4x254x3231

44x554x当且仅当54x（2）

1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

54xyx(82x)的最大值为8。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，16. 解析一： 当,即时,

y2（x1)459（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 x1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t5

ttt当,即t=时,

y2t459（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 t1t(t2)

tx24117. 解：令2x24t(t2)，则yx5x24x24110,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

tt15因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。

t2因t所以，所求函数的值域为

5,。 218. （条件不等式） （1） 当3a解： 3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b23ab6

3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是

6．

（2） 解：

19y9x19x0,y0,1，xyxy1061016

xyxyxy当且仅当

19y9x1，可得x4,y12时，xymin16 时，上式等号成立，又xyxy解：x1＋y ＝x

2

2

（3）

1＋y2· ＝2 x·2

2

1y ＋ 22

2

下面将x，1y ＋ 分别看成两个因式： 22

x＋(

2

x·2 （4）

1y ＋ ≤22

2

1yy12 2

＋ )x＋ ＋ 222232

＝ ＝ 即x1＋y ＝2 ·x

224

2 2

1y3

＋ ≤ 224

2

30－2b30－2b－2 b ＋30b解：法一：a＝ ， ab＝ ·b＝

b＋1b＋1b＋1

2

由a＞0得，0＜b＜15

－2t ＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2

2

tttt· ＝8

t16

∴ ab≤18 ∴ y≥

1

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 18

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab 令u＝ab 则u＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32 ∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥

1 18

2

19. 已知

a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

20. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

21. 已知a、b、cR，且abc1。求证：1111118 abc。同理

证明：

a、b、cR，abc1。11abc2bc1aaaa12ac1bb，

12ab。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1cc11112bc2ac2ab。当且仅当时取等号。 abc11183abcabc22. 解： 若设污水池长为x米，则宽为 （米）

水池外圈周壁长： （米） 中间隔墙长： （米） 池底面积：200（米） 目标函数： ≥ 23. 4

24. 25. 1

26. 。 27. 5

解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元 则x，y必须满足， 目标函数为z＝15x＋10y

在可行区內的顶点附近z＝f ( x，y ) 的最大值，

所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。

2